九年级上学期第二次月考(数学)试题含答案

（考试总分：120 分）

一、 单选题 （本题共计6小题，总分18分）

1.（3分）下列物体中心对称的是哪个？

A  课桌     B 书本     C  秋千     D  手机

2.（3分）下列哪个方程是一元二次方程（　　）

A．2x+y=1    B．x2+1=2xy    C．x2+=3    D．x2=2x﹣3

3.（3分）如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（　　）

A．    B．         C．       D．

第3题                                    

4.（3分）如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（　　）

A．70°    B．45°    C．35°    D．30°

5.（3分）为了让江西的山更绿、水更清，2020年、省提出了确保到2022年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2020年我省森林覆盖率为60.05%，设从2020年起我省森林覆盖率的年平均增长率为，则可列方程（    ）

A．    B．    

C．     D．

6.（3分）二次函数图象如图，下列结论正确的是（）

A．               B．若且，则

C．           D．当时，

二、 填空题 （本题共计6小题，总分18分）

7.（3分）若二次函数的图象开口向下，则_____0（填“＝”或“>”或“<”）．

8.（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____．

   第8题                      

9.（3分）一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .

10.（3分）已知A(﹣2，y1)，B(﹣1，y2)，C(1，y3)两点都在二次函数y＝(x+1)2+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为______．

11.（3分）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为______．

12.（3分）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=________．

三、 解答题 （本题共计11小题，总分84分）

13.（6分）解方程：（1）2x2-4x-6=0；         （2）x2+6x-3=0．

14.（6分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16m，宽（）9m的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？

15.（6分）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）如图1，AC=BC；

（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l//BC．      

16.（6分）已知关于的一元二次方程：.

(1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；

(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.

17.（8分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长?

18.（6分）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上．

（1）将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′；

（2）将△ABC向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″；

（3）若将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是．                                                                 

19.（8分）一个不透明的口袋中装有红、黄、绿三种颜色的小球（它们除颜色不同外其余都相同），其中红球2个，黄球1个，从中任意摸出1球是红球的概率是．

(1) 求口袋中绿球的个数；

(2) 第一次从袋中任意摸出1球（不放回），第二次再任意摸出1球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸到红球的概率．

20.（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．

（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？

（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？

21.（9分）将两块全等的含30°角的直角三角板按如图1所示的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°．固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转（旋转角小于90°）至如图2所示的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．

（1）当旋转角等于20°时，∠BCB1＝　　°；

（2）当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．

22.（9分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

⑴求证：BE是⊙O的切线；

⑵若BC=，AC=5，求圆的直径AD的长．

23.（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC

①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

答案

一、 单选题 （本题共计6小题，总分18分）

1.（3分）B

【分析】

根据中心对称图形的概念逐一进行分析即可得.

【详解】

第一个图形是中心对称图形；

第二个图形不是中心对称图形；

第三个图形是中心对称图形；

第四个图形不是中心对称图形，

故选B.

【点睛】

本题考查了中心对称图形，熟知中心对称图形是指一个图形绕某一个点旋转180度后能与自身完全重合的图形是解题的关键.

2.（3分）D

【分析】

方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义判断即可．

【详解】

A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；

B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；

C. x2＋＝3是分式方程，故不正确；

D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；

故选：D

3.（3分）D

【解析】

分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

详解：∵共6个数，大于3的有3个，

∴P（大于3）=.

故选D．

点睛：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

4.（3分）C

【分析】

先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．

【详解】

解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，

∴=，

∴∠ADC=∠AOB=35°．

故选C．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

5.（3分）D

【解析】

试题解析：设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x，依题意得60.05%（1+x）2=63%．

即60.05（1+x）2=63．

故选D．

6.（3分）D

【分析】

根据二次函数的图象得到相关信息并依次判断即可得到答案.

【详解】

由图象知：a<0，b>0，c>0，，∴abc<0，故A选项错误；

若且，∴对称轴为，故B选项错误；

∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点的横坐标小于3，

∴与x轴的另一个交点的横坐标大于-1，

当x=-1时，得出y=a-b+c<0，故C选项错误；

∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，开口向下，

∴函数的最大值为y=a+b+c，

∴，

∴，故D选项正确，

故选：D.

【点睛】

此题考查二次函数的图象，根据函数图象得到对应系数的符号，并判断代数式的符号，正确理解二次函数图象与系数的关系是解题的关键.

二、 填空题 （本题共计6小题，总分18分）

7.（3分）<

【解析】

【分析】

由二次函数图象的开口向下，可得．

【详解】

解：∵二次函数的图象开口向下，

∴．

故答案是：<．

【点睛】

考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．

8.（3分）17°

【详解】

解：∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′，

∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，

∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.

故答案为17°.

9.（3分）2

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得.

【详解】由题意得：+2=0，=2，

∴=-2，=4，

∴=-2+4=2，

故答案为2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.

10.（3分）【分析】

先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-1，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1、y2、y3的大小关系．

【详解】

解：对于二次函数,

开口向上,对称轴为直线x=-1,

∴B（﹣1，y2）为此抛物线的顶点,

∴y2最小,

∵A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，

C（1，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，

-2离对称轴的距离小于1离对称轴的距离,

故，

故答案是：．

【点睛】

本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．

11.（3分）(6,0)

【详解】

解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）

∴MB=MA=4-2=2，

∴点B的坐标为(6,0)

12.（3分）80°

【解析】

【详解】

解：连接EM，

∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，

∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，

∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°，

∴∠EOM=2∠EAM=80°，

故答案为80°．

【点睛】

本题考查圆周角定理．

三、 解答题 （本题共计11小题，总分84分）

13.（6分）（1）x1=-1，x2=3. （2）x1=-3+，x2=-3-.

【分析】

（1）先整体除以2，然后利用因式分解法解方程；

（2）利用配方法求解即可.

【详解】

解：（1）原方程整理得x2-2x-3=0

∴

∴x1=-1，x2=3；

（2）原方程整理得x2+6x+9=12

∴

∴x1=-3+，x2=-3-.

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，学会选择最简便的方法求解是关键.

14.（6分）小路的宽应为1．

【解析】

【分析】

设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可．

【详解】

解：设小路的宽应为x米，

根据题意得：，

解得：，．

∵，

∴不符合题意，舍去，

∴．

答：小路的宽应为1米．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．

15.（6分）【解析】

试题分析：（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；

（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．

试题解析：（1）如图1，直径CD为所求；

（2）如图2，弦AD为所求．

考点：1．作图—复杂作图；2．三角形的外接圆与外心；3．切线的性质；4．作图题．

16.（6分）（1）见解析；（2）1，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根；

（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出结论．

试题解析：（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0中，△=[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根；

（2）解：设方程的两根分别为m、n，

∵方程的两个根互为相反数，∴m+n=t﹣1=0，解得：t=1．

∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．

考点：根与系数的关系；根的判别式.

17.（8分）

18.（6分）（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（2，﹣3）．

【分析】

（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）利用关于原点对称点的性质直接得出答案．

【详解】

解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；

（2）如图所示：△A″B″C″，即为所求；

（3）将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是（2，﹣3）．

【点睛】

考点：1.-旋转变换；2.-平移变换．

（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析．

19.（8分）（1）1个；（2）.

【分析】

（1）根据摸出1球是红球的概率求出总球数，然后可求出口袋中绿球的个数；

（2）画出树状图，然后根据概率公式计算即可.

【详解】

（1）口袋中小球的总数=2÷=4（个），

∴口袋中绿球的个数=4-2-1=1（个）.

（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次都摸到红球的有2种，

∴P（两次都摸到红球）=.

【点睛】

本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

20.（8分）（1）如果商场里这批衬衫的库存只有4件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于120元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.

【解析】

【分析】

（1）根据题意列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；

（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解.

【详解】

（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，

∵20+2x≥44，

∴x≥12，

∵y随x的增大而减小，

∴当x＝12时，获利最大值1232；

答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；

（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，

当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，

∴x＝10或x＝20，

∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，

当10≤x≤20时，y≥1200，

答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于120元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.

【点睛】

本题考查一次函数和二次函数的性质；能够从情境中列出函数关系式，借助函数的性质解决实际问题.

21.（9分）（1）160；（2）当旋转角等于30度时，AB与A1B1垂直，理由见解析；

【分析】

（1）旋转角∠A1CA＝20°，所以∠BCB1＝90°＋90°−20°＝160°；

（2）当AB与A1B1垂直时，∠A1ED＝90°，则可求∠A1DE度数，根据三角形外角性质可知∠DCA度数，即旋转角度数．

【详解】

解：（1）当旋转角等于20°时，则∠A1CA＝20°，

∴∠BCB1＝90°+90°﹣20°＝160°．

故答案为160；

（2）当旋转角等于30度时，AB与A1B1垂直，理由如下：

当AB与A1B1垂直时，∠A1ED＝90°

∴∠A1DE＝90°﹣∠A1＝90°﹣30°＝60°．

∵∠A1DE＝∠A+∠DCA，

∴∠DCA＝60°﹣30°＝30°．

即当旋转角等于30度时，AB与A1B1垂直．

故答案为160．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，找准旋转角是解题的关键．

22.（9分）（1）详见解析；（2）6

【分析】

（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；

（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．

【详解】

解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M 

∵BC=BD，

∴∠CAB=∠BAD.

∵OA=OB,

∴∠BAD=∠OBA.

∴∠CAB=∠OBA.

∴OB∥AC.

又AD是直径,

∴∠ABD=∠ACD =90°，

又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.

∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.

又OB是半径,

∴BE是⊙O的切线．

⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.

∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD

设⊙O的半径为r，则

在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;

在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=.

∴r1=3  ,r2=-0.5(舍).

∴圆的直径AD的长是6．

【点睛】

此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．

23.（12分）（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．

【分析】

（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．

【详解】

（1）将A，B，C代入函数解析式，

得，解得，

这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；

（2）设BC的解析式为y=kx+b，

将B，C的坐标代入函数解析式，得

，解得，

BC的解析式为y=x﹣3，

设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），

PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，

当n=时，PM最大=；

②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，

解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，

n2﹣2n﹣3=-3，

P（2，-3）；

当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，

解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-，

n2﹣2n﹣3=2-4，

P（3-，2-4）；

综上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.