上海市徐汇区2023届高三一模数学试卷及答案

一、填空题

1．已知全集，集合，则__________.

2．在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则_____________.

3．不等式的解集为____________.

4．函数在区间上的零点是___________.

5．已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______

6．在的二项展开式中，项的系数是___________.

7．已知圆锥的侧面积为2π，且侧面展开图为半圆，则底面半径为____.

8．在数列中，，且，则__________.

9．某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________.

10．在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为____________.

11．设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为___________.

12．已知正实数满足，则的取小值___________.

二、单选题

13．设,则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 ．必要非充分条件

C．充分必要条件 ．既非充分也非必要条件

14．已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（    ）

A．0 ．4 ．8 ．12

15．已知平面、、两两垂直，直线a、b、c满足：，，，则直线a、b、c位置关系不可能是（    ）

A．两两垂直 ．两两平行 ．两两相交 ．两两异面

16．设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列.下列判断正确的是（    ）

A．①和②均为真命题 ．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题 ．①为假命题，②为真命题

三、解答题

17．如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的大小.

18．已知.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调区间.

19．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.

(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;

(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）

20．已知曲线的方程为，直线：与曲线在第一象限交于点.

(1)若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值；

(2)若，时，直线与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程；

(3)是否存在不全相等，，满足，且使得成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21．对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，.

(1)若（是正整数），求，，，的值；

(2)若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由；

(3)若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是.

参：

1．

先化简集合，再利用集合补集的定义求解即可.

解：由解得，

所以，所以，

故答案为：

2．

由已知求得，进一步得到，再根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得．

解：解：由题意，，

，

．

故答案为：2．

3．

由一元二次不等式的解法求解，

解：恒成立，原不等式可化为，即，

解得，

故答案为：

4．

根据零点的定义，求解简单的三角方程，即可求得结果.

解：令，解得，又，故可得.

即函数在区间上的零点是.

故答案为：.

5．

由函数奇偶性可得函数在上的解析式，做出图像即可求得值域.

解：因为是定义域为的奇函数，

当时，，则时，，

所以，

作出函数图像如下图所示：

由图像可知：函数值域为.

故答案为：

6．

由二项式的通项公式即可求解.

解：二项式的通项为，

令，得，

所以项的系数是.

故答案为：.

7．1

设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，根据题意可求得母线长，从而可求得底面圆的周长，即可得出答案.

解：解：题中圆锥展开图如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，

因为圆锥的侧面积为2π，且侧面展开图为半圆，

所以，所以，

故底面圆的周长为，

即，解得，

所以底面半径为1.

故答案为：1

8．4

利用递推公式累加即可求解.

解：由题意可得，

所以，，……，，

累加得，

所以，

故答案为：4

9．

根据茎叶图利用古典概型的计算公式求解即可.

解：从甲、乙两班的优秀学生中各取1人所有的可能为：

，

共18种情况，其中甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩的情况有4种，

所以，

故答案为：

10．

根据在方向上的数量投影先求出,取,则,即求的最小值,过点作的垂线即可求得.

解：解:由题知在方向上的数量投影是-2,

,

,

,即,

记,

则,

若求的最小值即求的最小值,

过点作的垂线交于点,此时最小,

如图所示:

,

故答案为:

11．

根据题意，利用韦达定理，求得，和的关系，以及的范围，将目标式转化为关于的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.

解：根据题意，令，解得或，不妨设

作图如下：

又直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；

且为方程，即的两根，

当时，，则，

故；

为方程，即的两根，

当时，，则，

故；

则，

令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，

又，故，即的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程；处理问题的关键是能够数形结合求得，和的关系，从而借助函数单调性求值域，属综合中档题.

12．

利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解.

解：设直线，点在直线上，且在第一象限，

设点，

所以，

如图所示，

点A关于直线对称的点设为，

则有解得，

所以，由图可知，当在直线时，

最小，最小值为，

即的最小值为，

故答案为：.

13．C

由可推出同号,则根据分类讨论可得出,根据,两边同乘可得,即可选出选项.

解：解:由题知,则同号,

当时,有,

当时,有,

故能推出,

当成立时,又,

对不等式两边同时乘以可得,

故“”是“”的充分必要条件.

故选:C

14．C

根据两圆相交圆心距验证各选项即可.

解：因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足，

故选：C

15．B

作出平面以及平面的直线的所有情况即可求解.

解：如图1，可得，，可能两两垂直；

如图2，可得，，可能两两相交；

如图3，可得，，可能两两异面.

对于B，如图，

假设，，可得，

平面两两垂直，，

，，

这与相矛盾，假设不成立，

故B不正确；

故选：B.

16．D

由题规律找出的表达式 ，利用不等式的性质判断即可，对 进行分类讨论写出，从而求出 ，利用 即可.

解：由题意得：当时，

其中，

，

所以不存在正整数，使得，故①为假命题；

当时

，

所以

当时；

故数列是严格减数列，

所以②为真命题.

故选：D.

17．(1)证明见解析

(2)

（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可

解：（1）因为三棱柱为直三棱柱，

所以平面，

又平面，

所以.

因为，，，平面，平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

因为，，，平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系.

则，，，，，

设，，，，

因为，所以，即，则，

由（1）平面的一个法向量为.

又

设直线与平面所成角的大小为，则

.

因此，直线与平面所成角的大小为.

18．(1)

(2)答案见解析

（1）由导数的几何意义求解，

（2）由导数与单调性的关系求解，

解：（1）当时，，，

所以，.

所以函数在点处的切线方程为.

（2）因为，定义域为，

所以.

①当时，与在上的变化情况如下：

②当时， 恒成立，所以函数的单调增区间为.

综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为；

当时，函数单调增区间为.

19．(1)(米)

(2)2022万元

(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;

(2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可.

解：（1）解:由题,

,同理,故,

由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,

则,

,

因为,,

所以为等边三角形,

则,

因此三条街道的总长度为（米）.

（2）由图可知,

,

,

,

在中由余弦定理可知:

,

则,

设三条步行道每年能产生的经济总效益,则

,

当即时取最大值,

最大值为.

答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.

20．(1)

(2)或

(3)存在，

（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中的关系即可求解,

（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理以及弦长公式求解，

（3）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，根据假设，代入即可化简求解.

解：（1）由题得，曲线为：，又离心率为，，

则，

又因为，因此，.

（2）设，，

联立方程得，

因为，

则，，

所以，，解得或.

因此，曲线的方程为：或.

（3）联立 得，

又，得，解得，

假设存在（，，不全相等），使得成立.

故，

有，

进一步有，

化简得，

由在第一象限，且，得.

（i），则，，；

（ii），则，得，又因为，

则与已知矛盾.

综上所述：存在（，，不全相等），使得成立，此时

【点睛】圆锥曲线中与直线相交的问题，一般采用联立方程，得韦达定理.常采用设而不求的思想.常用的做题思路为：

(1)设直线的方程为 ，设交点坐标为，

(2)联立直线与曲线的方程，得韦达定理，或者

(3)根据交点坐标计算相关量（例如斜率，弦长等），利用其满足的性质和题目中的条件求得参数值或者参数的关系.

21．(1)，，，

(2)存在，

(3)证明见解析

（1）由“接近数列”得定义可直接求出，，，的值；

（2）分为奇数和偶数讨论，求出，在此基础上，分奇偶令，结合指数函数性质即可求解；

（3）先证若时，则为等差数列，且公差也为，由去绝对值得，即，两式作差即可求证；再证若为等差数列，则，结合绝对值三角不等式得，，两式处理得，化简即可求证.

解：（1）因为，所以，又因为为数列的“接近数列”， ，所以，只能是，，，；

（2）当为奇数时，，由函数的单调性可知，

即，得，进一步有，

当为偶数时，，由函数的单调性可知，

即，得，进一步有，

综上所述：，

由前项和公式化简得，，

当为偶数时，令无解；

当为奇数时，令，

所以，，即.

因此，存在（是正整数），使得，且；

（3）充要条件为：.

①若时，由题意对于任意正整数均有恒成立，且，

则，，

从而，即.

因为，，

所以，即.

因此为等差数列，且公差也为；

②若为等差数列，设公差为，

，

又，

即，亦即对任意正整数都成立，

所以，，又，得.

因此，所求充要条件为.

【点睛】本题整体难度较大，处理第二小问时设计分类讨论思想，融合了数列，函数、不等式，对计算有较高要求；第三小问对充要条件的证明特别是绝对值三角不等式的应用，思维难度高，拼凑法不易想到.

对于绝对值三角不等式，我们应掌握：；

对于数列中含此类数列，我们要注意分奇偶对数列讨论.