青海省西宁市第五中学、第四中学、第十四中学三校2015届高三联考数学(理)试题

青海省西宁五中、四中、十四中三校2015届高三联考理科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．集合，则A∩B=（      ）

A．        B．       C．       D． 

2．已知复数为纯虚数，那么实数（     ）

A．              B．             C．                D． 

3．已知,是第二象限角，则(      )

    A．    B．    C．    D． 

4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，

则正视图中的的值是(     )

A．2                           B．             

  C．                          D．3

5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有(       )

A．种                   B．种

C．种                   D．种

6． 对任意非零实数、,若的运算原理如图所示，  

则的值为（     ）

 A．     B．       C．      D． 

7．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为，，，

面积为S，若， 则cosA等于（     ）

 A．     B．       C．     D．  

8．在中，，若为的内心，则的值为（     ）

A．6                B．10              C． 12             D．15

9．直三棱柱中，若，,则异面直线与所成角等于（      ）

A．           B．            C．            D． 

10．下列四个命题： 

  ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

  ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

  ③设随机变量服从正态分布N(o，1)，若P(>1)=p，则P（一l<  ④在回归直线方程y = 0.lx+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，  其中正确的命题个数是(      )

  A．1个       B 2个      C．3个       D．4个

11．如图，已知双曲线：的右顶点为为坐           

标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点,若  

且，则双曲线的离心率为(      )

A．      B．     C．     D． 

12．定义域为R的偶函数满足：对，有，且当时，若函数在(0，+)上至少有三个零点，则的取值范围为(      )

    A．（0，）    B．（0，）    C．（0，）    D．（0，）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设变量x，y满足不等式组，则z=x+y的最小值为_______．

14．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且垂直于轴，若，则该椭圆的离心率为                     ．

15．设，则二项式的展开式的常数项是_______.

16．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集是                .

三、解答题:本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（本题满分12分）

已知正项等差数列的前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，，求数列的前项和

18．（本小题满分12分）

某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，

    并按分组，得到频率分布直方图如下：

假设甲、乙两种酸奶销售且日销售量相互

（1）写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较的大小（只需写出结论）

（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；

（3）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望

19．（本小题满分12分）

如图,在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为与的交点，为上任意一点. 

(1)证明：平面平面；

(2)若∥平面，并且二面角的大小为，

求：的值.

20．（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有。当点的横坐标为3时，为正三角形。

（1）求的方程；

（2）若直线∥，且和有且只有一个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐标

21．（本小题共12分）

已知函数

 （1）求函数的单调区间

 （2）若（其中），求的取值范围，并说明。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．(本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

    如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交             

的延长线于点，的平分线分别交和圆于点            

，若．

（1）求证：；     （2）求的值．

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 

    已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正

半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是

是参数． 

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数． 

（1）当时，解不等式；

（2）若的解集为，，求证：．

答案

一、选择题:

1、B

2、D     为纯虚数，则， 

3、A    由已知，又是第二象限角， 

4、C            

5、D

6、B

7、A                           

               即： 

8、D        分别以AC、AB所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点A为坐标原点，则C（4,0），B（0,3） 设内切圆半径为r ，由等积法得r=1  ∴点I（1,1）

            ∴=15

9、C       

10、C

11、B   是等边三角形，过点A作点C是PQ的中点，所以OP=PC=CQ,在直角三角形ACO中，，，所以，即从而得

12、A    令，所以，，当时，即，由数形结合得且从而得解

二、填空题：

13、2

14、

15、-160    

16、      令，其导函数为，所以在上单调递增，所以，得解

三、解答题:

17、解：（1）

法一：设正项等差数列的首项为，公差为，，

则…………………………………2分

得   ………………………………………………4分

. ……………………………………6分

法二：∵是等差数列且，，

又∵,∴…………………………………2分

∵，，………………3分

,      ………………………………………4分

.  ………………………………6分

（2）∵，且，.

当时，……

……+5+3，…………8分

当时，满足上式，.…………………9分

.…………………………10分

∴………………

… 

.………………………12分         

18、解：（1）；                                ………………2分

.                      ………………4分

（2）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；

事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；

事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则

，.  ……………6分

    所以.………………8分

 （3）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3.  ………………9分

，                        

      ，

，

.                        

所以的分布列为

所以的数学期望.

…13分

另解：由题意可知.

所以的数学期望.        ………………13分     

19、解:(1) 因为，，

又是菱形，，故平面

平面平面…….4分

(2)解：连结，因为平面，

所以，所以平面

又是的中点，故此时为的中点，

以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

设则，

向量为平面的一个法向量……….8分

设平面的一个法向量，

则且，

即，

取，则，则………10分

∴     解得

故……………………………12分

20、解：（1）由题意知，设，则FD的中点为，

因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.

由，解得.  所以抛物线C的方程为.

（2）由（1）知，

设，

因为，则，

由得，故，  故直线AB的斜率为，

因为直线和直线AB平行，  设直线的方程为，

代入抛物线方程得，  由题意，得.

设，则，.

当时，，

可得直线AE的方程为，由，整理可得，

直线AE恒过点.

当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.

21、解：（1）.       ………………2分

（ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是.…………3分

    （ⅱ）当时，令，得.

         当变化时，,的变化情况如下表

（2）由（1）知：

当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.     ………………6分

        当时，因为在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.

        所以.       ………………7分

当时，.

令，则.

当时，，所以，在上是增函数.

所以 当时，.

所以.                     ………………9分

因为，，，

所以在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，

不妨记为.            ………………11分

因为在内是减函数，在内是增函数，

所以.

综上所述，的取值范围是.     ………………12分

因为，，所以.    ………………13分

22、选修4—1：几何证明选讲

解：（1）∵PA是圆O的切线   ∴   又是公共角

                  ∴∽   …………………2分

∴    ∴    …………4分

              （2）由切割线定理得：    ∴

                   又PB=5   ∴    …………………6分

又∵AD是的平分线  ∴

                   ∴     ∴        ………8分

         又由相交弦定理得：………10分

23、选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）由得   ……………3分

（2）将代入圆的方程得，

化简得.  

设、两点对应的参数分别为、,则,……7分

,

, ,或.……………10分

24、 解：（1）当a=2时，不等式为，

不等式的解集为；……………5分

（2）即，解得，而解集是，

，解得a=1,所以

所以. ……………10分