2020年湘潭市数学中考试题及答案

一、选择题

1．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（    ）

A． ． ． ．

2．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是(   )

A．abc＞0 ．b2﹣4ac＜0 ．9a+3b+c＞0 ．c+8a＜0

3．下列命题中，其中正确命题的个数为（　　）个．

①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件．

A．1 ．2 ．3 ．4

4．阅读理解：已知两点，则线段的中点的坐标公式为：，．如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点．若点，则有满足等式：．设，则满足的等式是（　　）

A． ．

C． ．

5．已知，则A＝(   )

A． ． ． ．x2﹣1

6．某球员参加一场篮球比赛，比赛分4节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球员平均每节得分为（　　）

A．7分 ．8分 ．9分 ．10分

7．如图，直线l1∥l2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l1上，两直角边分别与直线l1、l2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（   ）

A．25° ．75° ．65° ．55°

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（ ）

A． ． ． ．

9．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）

A． ．

C． ．

10．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　

A．5 ．6 ．7 ．8

11．下面的几何体中，主视图为圆的是（  ）

A． ． ． ．

12．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． ．

C． ．

二、填空题

13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为___．

14．如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=70°，则∠2=      ．

15．用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_______．

16．计算：_______________．

17．当____________时,解分式方程会出现增根．

18．正六边形的边长为8cm，则它的面积为____cm2．

19．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率______．

20．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．

三、解答题

21．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．

(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式；

(2)小明选择哪家快递公司更省钱？

22．2018年“妇女节”前夕，扬州某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？

23．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中均为整数），则有．

∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝　   　，＝　   　；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空：   ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；

（3）若，且均为正整数，求的值．

24．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．

（1）求证：四边形BEDF为菱形；

（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．

25．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有　   　人；

（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

【分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为，故答案选A．

2．D

解析：D

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：根据图象可知抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，对称轴是x=1＞0，所以a＜0，c＞0，b＞0，所以abc＜0，所以A错误；因为抛物线与x轴有两个交点，所以＞0，所以B错误；又抛物线与x轴的一个交点为（-1,0），对称轴是x=1，所以另一个交点为（3,0），所以，所以C错误；因为当x=-2时，＜0，又，所以b=-2a，所以＜0，所以D正确，故选D.

考点：二次函数的图象及性质.

3．C

解析：C

【解析】

【分析】

利用方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

①方差是衡量一组数据波动大小的统计量，正确，是真命题；

②影响超市进货决策的主要统计量是众数，正确，是真命题；

③折线统计图反映一组数据的变化趋势，正确，是真命题；

④水中捞月是随机事件，故错误，是假命题，

真命题有3个，

故选C．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件等知识，难度不大．

4．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据中点坐标公式求得点的坐标，然后代入满足的等式进行求解即可.

【详解】

∵点，点，点为弦的中点，

∴，，

∴，

又满足等式：，

∴，

故选D．

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．

5．B

解析：B

【解析】

【分析】

由题意可知A=，再将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再用分式的乘法法则计算即可得到结果．

【详解】

解：A===

故选B.

【点睛】

此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据平均数的定义进行求解即可得．

【详解】

根据折线图可知该球员4节的得分分别为：12、4、10、6，

所以该球员平均每节得分==8，

故选B．

【点睛】

本题考查了折线统计图、平均数的定义等知识，解题的关键是理解题意，掌握平均数的求解方法．

7．C

解析：C

【解析】

【分析】

依据∠1＝25°，∠BAC＝90°，即可得到∠3＝65°，再根据平行线的性质，即可得到∠2＝∠3＝65°．

【详解】

如图，∵∠1＝25°，∠BAC＝90°，

∴∠3＝180°-90°-25°=65°，

∵l1∥l2，

∴∠2＝∠3＝65°，

故选C．

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，运用两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．

【详解】

在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB3．

∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠B．

故选A．

【点睛】

本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．

9．A

解析：A

【解析】

【分析】

共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．

【详解】

解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：

x（x﹣1）＝36，

故选：A．

【点睛】

此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.

10．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．

【详解】

解：∵半径OC垂直于弦AB，

∴AD=DB= AB= 

在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，

解得，OA=4

∴OD=OC-CD=3，

∵AO=OE,AD=DB,

∴BE=2OD=6

故选B

【点睛】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键

11．C

解析：C

【解析】

试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；

B、的主视图是正方形，故B不符合题意；

C、的主视图是圆，故C符合题意；

D、的主视图是三角形，故D不符合题意；

故选C．

考点：简单几何体的三视图．

12．B

解析：B

【解析】

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；

 B．是轴对称图形，也是中心对称图形；

 C．是轴对称图形，不是中心对称图形；

 D．是轴对称图形，不是中心对称图形．

 故选B．

点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

二、填空题

13．【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=ADBC∥OA根据D（84）和反比例函数的图象经过点D求出k=32C点的纵坐标是2×4=8求出C的坐标即可得出答案∵四边形ABCO是菱形∴CD=ADBC∥OA

解析：【解析】

试题分析根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D （8，4）和反比例函数的图象经过点D求出k=32，C点的纵坐标是2×4=8，求出C的坐标，即可得出答案．

∵四边形ABCO是菱形，∴CD=AD，BC∥OA，

∵D （8，4），反比例函数的图象经过点D，

∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，∴，

把y=8代入得：x=4，∴n=4﹣2=2，

∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，

故答案为2．

14．110°【解析】∵a∥b∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°

解析：110°

【解析】

∵a∥b，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°

15．2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长列出方程即可解决问题【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R由题意：2πR=解得R=2故答案为2

解析：2

【解析】

【分析】

设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题.

【详解】

设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：

2πR=，

解得R=2．

故答案为2.

16．【解析】【分析】先把化简为2再合并同类二次根式即可得解【详解】2-=故答案为【点睛】本题考查了二次根式的运算正确对二次根式进行化简是关键

解析：

【解析】

【分析】

先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.

【详解】

2-=.

故答案为.

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．

17．2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根且使分式方程的分母为0的未知数的值详解：分式方程可化为：x-5=-m由分母可知分式方程的增根是3当x=3时3-5=-m解得m=2故答案为：2

解析：2

【解析】

分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．

详解：分式方程可化为：x-5=-m，

由分母可知，分式方程的增根是3，

当x=3时，3-5=-m，解得m=2，

故答案为：2．

点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：

①让最简公分母为0确定增根；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

18．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角形∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD

解析：

【解析】

【分析】

【详解】

如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；

∵此多边形是正六边形，

∴∠COD=60°；

∵OC=OD，

∴△COD是等边三角形，

∴OE=CE•tan60°=cm，

∴S△OCD=CD•OE=×8×4=16cm2．

∴S正六边形=6S△OCD=6×16=96cm2．

考点：正多边形和圆

19．【解析】【分析】【详解】画树状图如图：∵共有16种等可能结果两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为

解析：．

【解析】

【分析】

【详解】

画树状图如图：

∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果，

∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为.

20．x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围【详解】解：若式子在实数范围内有意义则x+3≥0解得：x≥﹣3则x的取值范围是：x≥﹣3故答案为：x≥﹣3【点睛】此题主要考查了二次根式

解析：x≥﹣3

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．

【详解】

.解：若式子在实数范围内有意义，

则x+3≥0，

解得：x≥﹣3，

则x的取值范围是：x≥﹣3．

故答案为：x≥﹣3．

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．

三、解答题

21．答案见解析

【解析】

试题分析：（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y乙关于x的函数关系式；

（2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论．

试题解析：（1）由题意知：

当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3；

∴，；

（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜；

令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=；

令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：＜x≤1．

②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；

令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；

令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：0＜x＜4．

综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．

考点：一次函数的应用；分段函数；方案型．

22．20元/束．

【解析】

【分析】

设第一批花每束的进价是x元/束，则第一批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5可得方程．

【详解】

设第一批花每束的进价是x元/束，

依题意得：×1.5=，

解得x=20．

经检验x=20是原方程的解，且符合题意．

答：第一批花每束的进价是20元/束．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用．关键是根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×1.5列方程．

23．（1），；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝13．

【解析】

【分析】

【详解】

(1)∵，

∴，

∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．

故答案为m2＋3n2，2mn．

(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．

故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．

(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．

∵4＝2mn，且m、n为正整数，

∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，

∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．

24．(1)见解析;(2)24.

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；

（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．

【详解】

证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠EBD=∠DBF，

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠DBF，

∴∠EBD=∠EDB，

∴BE=ED，

∴平行四边形BFDE是菱形；

（2）连接EF，交BD于O，

∵∠BAC=90°，∠C=30°，

∴∠ABC=60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=30°，

∴BD=DC=12，

∵DF∥AB，

∴∠FDC=∠A=90°，

∴DF=，

在Rt△DOF中，OF=，

∴菱形BFDE的面积=×EF•BD＝×12×4=24．

【点评】

此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．

25．(1)1000,(2)答案见解析；（3）900.

【解析】

【分析】

（1）结合不剩同学的个数和比例，计算总体个数，即可．（2）结合总体个数，计算剩少数的个数，补全条形图，即可．（3）计算一餐浪费食物的比例，乘以总体个数，即可．

【详解】

解：（1）这次被调查的学生共有600÷60%＝1000人，

故答案为1000；

（2）剩少量的人数为1000﹣（600+150+50）＝200人，

补全条形图如下：

（3），

答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐．

【点睛】

考查统计知识，考查扇形图的理解，难度较容易．