专题：已知函数单调性求参数(简单)

1.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　)

A．a＝

B．a＝1

C．a＝2

D．a≤0

2.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)

A． (－∞，－2]

B． (－∞，－1]

C． [2，＋∞)

D． [1，＋∞)

3.若函数f(x)＝alnx＋在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A． (－∞，－2]

B． (－∞，－1]

C． [1，＋∞)

D． [2，＋∞)

4.已知f(x)＝alnx＋x2，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　)

A． [0，＋∞)

B． (0，＋∞)

C． (0,1)

D． (0,1]

5.已知函数f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A． (－∞，)

B． [，＋∞)

C． (，＋∞)

D． (－，)

6.函数f(x)＝ex－ax－1在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)

A．R

B． [0，＋∞)

C． (－∞，0]

D． [－1,1]

7.已知a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，则a＋b的取值范围为(　　)

A． (0，]

B． [，＋∞)

C． (0,1)

D． (1，＋∞)

8.已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是(　　)

A． －3

B． －2

C． 2

D． 3

9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A． (－∞，－)∪[，＋∞)

B． [－，]

C． (－∞，－)∪(，＋∞)

D． (－，)

10.已知函数f(x)＝x－alnx在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A． (0，)

B． (0,2)

C． (，＋∞)

D． [2，＋∞)

11.已知f(x)＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上是单调增函数，则b的取值范围是(　　)

A．b≤－1或b≥2

B．b<－1或b>2

C． －1≤b≤2

D． －112.已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则a的取值范围是(　　)

A． 0B．a≥e

C．a≥

D．a≥4

13.若函数f(x)＝－x2＋alnx在区间(1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围为(　　)

A． [1，＋∞)

B． (1，＋∞)

C． (－∞，1]

D． (－∞，1)

14.若函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A． (3，＋∞)

B． [－3，＋∞)

C． (－3，＋∞)

D． (－∞，－3)

二、填空题                                                                 

15.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．

16.函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0,3)，则m＝________.

17.若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为(－，)，则a的取值范围是________．

18.若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．

19.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.

20.已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．

21.已知函数f(x)＝x3－x2＋mx＋2，若对任意x1，x2∈R，均满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则实数m的取值范围是________．

22.已知a>0，函数f(x)＝lnx＋在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

23.若函数y＝ax＋sinx在R上单调递增，则a的最小值为________．

24.若函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

25.函数y＝x3－ax＋4在(1，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．

三、解答题                                                                 

26.已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a的取值范围．

27.已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；

(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．

28.已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k>0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k的值．

答案解析

1.【答案】D

【解析】y′＝3ax2－1，∵函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，

则3ax2－1≤0在R上恒成立，

∴a＝0或∴a≤0.

2.【答案】D

【解析】由条件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，

∴k≥1.

3.【答案】C

【解析】f′(x)＝－＝.

∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，

∴ax－1≥0在(1，＋∞)上恒成立，

显然，需a>0，

∴函数y＝ax－1在(1，＋∞)上是增函数，

∴a－1≥0，a≥1，

∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．

4.【答案】A

【解析】对任意两个不等的正实数x1，x2，都有>0恒成立，即f(x)为增函数．

则当x>0时，f′(x)>0恒成立，

f′(x)＝＋x>0在(0，＋∞)上恒成立，

则a>(－x2)max，

而－x2<0，则a≥0.

5.【答案】B

【解析】由f(x)＝－x3＋2ax，所以f′(x)＝－3x2＋2a，

因为f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，

所以f′(x)＝－3x2＋2a≥0在(0,1]上恒成立，

即2a≥3x2在(0,1]上恒成立．

因为函数y＝3x2≤3在(0,1]上恒成立，

所以a≥.

6.【答案】C

【解析】∵f(x)＝ex－ax－1在R上单调递增，

∴f′(x)≥0恒成立，

即f′(x)＝ex－a≥0恒成立，

即a≤ex，

∵ex>0，

∴a≤0.

7.【答案】B

【解析】∵a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，

∴f′(x)＝－x2＋2ax＋b，

且f′(x)＝－x2＋2ax＋b≥0在区间[－1,2]上恒成立．

由于二次函数f′(x)＝－x2＋2ax＋b的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x＝a，

故有f′(－1)≥0，且f′(2)≥0，即

化简可得 2a＋2b≥5，a＋b≥，故a＋b的取值范围为[，＋∞)．

8.【答案】A

【解析】f′(x)＝3x2＋a，

∵函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，

∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，

∵f′(x)＝3x2＋a在[1，＋∞)上是增函数，

∴3x2＋a≥3×12＋a＝3＋a，

∴3＋a≥0，

∴a≥－3.

9.【答案】B

【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，

由Δ＝4a2－12≤0得－≤a≤.

10.【答案】D

【解析】若函数f(x)＝x－alnx在区间(0,2]上单调递减，则等价为f′(x)≤0在(0,2]上恒成立，

即1－≤0，即≥1，即a≥x，

∵011.【答案】C

【解析】∵f(x)＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3，

∴f′(x)＝x2＋2bx＋b＋2，

∵f(x)是R上的单调增函数，

∴x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，

∴Δ≤0，即b2－b－2≤0，

则b的取值是－1≤b≤2.

12.【答案】B

【解析】f′(x)＝，

∵函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，

∴f′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立，

即1－lna≤lnx在[1，＋∞)上恒成立，

∴1－lna≤0，

∴a≥e.

13.【答案】C

【解析】∵f′(x)＝－x＋，

∵f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，

∴f′(x)＝－x＋≤0在区间(1，＋∞)上恒成立，

∴a≤x2在区间(1，＋∞)上恒成立，

∵x2>1，∴a≤1.

14.【答案】B

【解析】因为f(x)＝x3＋ax－2，所以f′(x)＝3x2＋a，因为函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，所以f′(x)＝3x2＋a≥0在区间(1，＋∞)内恒成立且不恒为零，即a≥－3x2在区间(1，＋∞)内恒成立且不恒为零，又x∈(1，＋∞)时，(－3x2)max＝－3，所以实数a的取值范围是[－3，＋∞)．

15.【答案】(－∞，－3]

【解析】由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．

当a＝0时，6x－1≤0，x≤不满足题意，∴a≠0；

当a≠0时，由题意得∴a≤－3.

综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－3]．

16.【答案】

【解析】令f′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，m＝.

17.【答案】(0，＋∞)

【解析】由f′(x)＝a(3x2－1)＝3a(x－)(x＋)<0的解集为(－，)，知a>0.

18.【答案】(0，＋∞)

【解析】y′＝－4x2＋a且y有三个单调区间，

∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，

∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.

19.【答案】－　－6

【解析】∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，

∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－，c＝－6.

20.【答案】(－∞，)

【解析】f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，∴a的取值范围是(－∞，)．

21.【答案】[，＋∞)

【解析】对任意x1，x2∈R，均满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，

即函数f(x)在R上为增函数，

即有f′(x)≥0在R上恒成立．

由f(x)＝x3－x2＋mx＋2的导数为f′(x)＝3x2－2x＋m，

由3x2－2x＋m≥0恒成立，

可得判别式Δ＝4－12m≤0，

解得m≥，

则所求m的取值范围是[，＋∞)．

22.【答案】[1，＋∞)

【解析】f′(x)＝－＝，

若函数f(x)＝lnx＋在[1，＋∞)上是增函数(a>0)，

则ax－1≥0在[1，＋∞)恒成立，即a≥()max＝1.

23.【答案】1

【解析】y′＝a＋cosx，

∵y＝ax＋sinx在R上单调递增，

∴a＋cosx≥0，在R上恒成立．

∴a≥－cosx，

－cosx的最大值为1，

∴a≥1，

即a的最小值为1.

24.【答案】(0，＋∞)

【解析】f′(x)＝(ax－)′＝a＋，

由题意得，a＋≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，

所以a≥－在x∈(0，＋∞)上恒成立，

故a≥0.

25.【答案】(－∞，3)

【解析】y′＝3x2－a，

∵y＝x3－ax＋4在(1，＋∞)上为增函数，

∴y′＝3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，

∴a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，

∵3x2>3在(1，＋∞)上恒成立，

∴a≤3.

26.【答案】解　由已知得f′(x)＝2a＋，

∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．

而g(x)＝－在(0,1]上单调递增，

∴g(x)max＝g(1)＝－1，

∴a≥－1，∴f(x)在(0,1]上为增函数，a的取值范围是[－1，＋∞)．

【解析】

27.【答案】解　f′(x)＝3x2－a.

(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，

∴－1∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，∴a＝3.

(2)∵f(x)在R上是增函数，

∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立．

∵y＝3x2在R上的最小值为0.

∴a≤0.

【解析】

28.【答案】解　f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x，

由题意知x＝0或x＝4为方程f′(x)＝0的两根，

∴0＋4＝4＝，∴k＝1.

【解析】