高数下册期末试题 (1)

1．设函数在的两个偏导， 都存在，则           (    )

A．在连续                        B．在可微

    C．及都存在      D．存在

2．若，则等于（  　  ）．

3．设是圆柱面及平面所围成的区域，则　　　）．

4． 4．若在处收敛，则此级数在处（  　   ）．

    A． 条件收敛  B． 绝对收敛  C． 发散  D． 敛散性不能确定

5．曲线在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（     ）.

        A. （-1，3，4）     B.（3，-1，4）   C. （-1，0，3）   D. （3，0，-1）

二、填空题（共15分，每小题3分） 

1．设，则                                                 .

2．交 换的积分次序后， _____________________．

3．设，则在点处的梯度为                                .

4. 已知，则                                                        .

5. 函数的极小值点是                           .

三、解答题（共54分，每小题6--7分）

1.（本小题满分6分）设, 求,.

2.（本小题满分6分）求椭球面的平行于平面的切平面方程，并求切点处的法线方程

3. （本小题满分7分）求函数在点处沿向量方向的方向导数。

4. （本小题满分7分）将展开成的幂级数，并求收敛域。

5．（本小题满分7分）求由方程所确定的隐函数的极值。

6．（本小题满分7分）计算二重积分及围成.

7.（本小题满分7分）利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.

8.（本小题满分7分）计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.

.

四、综合题（共16分，每小题8分）

1．（本小题满分8分）设级数都收敛，证明级数收敛。

2．（本小题满分8分）设函数在内具有一阶连续偏导数，且，

证明曲线积分与路径无关．若对任意的恒有，求的表达式．

参及评分标准

一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C   2 D   3 C    4B    5 A

二、填空题（共15分，每小题3分）

1.-1  2.   3.  4  5. (2,2)

三、解答题（共54分，每小题6--7分）

1．解：;  (3分)   

=+    ( 6分).

2. 解：记切点则切平面的法向量为满足： ，切点为：或(3分)，切平面： ( 4分)， 法线方程分别为：或者( 6分)

3. 解：  ( 3分),        ( 7分)

4. 解： =,  ( 2分)

因为，,所以=,其中，即.( 5分)

当时，级数为发散；当时，级数为发散,故=，， ( 7分)

5. 解：由, 得到与,  ( 2分)

 再代入，得到即。 

由此可知隐函数的驻点为与。 ( 4分)

由，，，可知在驻点与有。( 5分)

在点，，因此，所以为极小值点，极小值为；( 6分)

在点，，因此，所以为极大值点，极大值为， ( 7分)

6. 解：记，则.（2分） 故

   ( 4分)

      （7分）

7. 解：所围区域：,由格林公式，可得= ==.(7分)

O…………O…………O…………O…………O装…………O订…………O线…………O…………O…………O…………O

8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，所以  ( 4分)

==. (7分)

四、综合题（共16分，每小题8分）

1．证明：因为，（2分）

故存在N，当时，，因此收敛。（8分）

2．证明：因为，且，故曲线积分与路径无关．（4分）

因此设，从而

，（5分）

，（6分）

由此得对任意成立，于是，即

．（8分）