2012年高考数学全国卷+答案详解

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数，为z的共轭复数，则（  ）

  (A)  -2i   (B) -i   (C) i   (D) 2i 

2. 函数的反函数为（  ）

  (A)       (B) 

  (C)      (D) 

3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（  ）

  (A) (B)  (C)   (D) 

4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=（  ）

  (A)  8    (B)  7  (C) 6   (D)  5

5.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（  ）

  (A)    (B)   3     (C)  6      (D)  9

6.已知直二面角，点为垂足，为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于（  ）

  (A)   (B)    (C)  (D)  1

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

  (A)  4种  (B)  10种  (C) 18种  (D) 20种

8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（  ）

  (A)  (B)    (C)  (D) 1

9.设是周期为2的奇函数，当时，，则（  ）

  (A) (B)  (C)  (D) 

10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则（  ）

  (A)   (B)     (C)     (D) 

11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为，则圆N的面积为（  ）

  (A)   (B)    (C)     (D) 

12. 设向量满足，则的最大值等于（  ）

  (A) 2   (B)    (C)     (D)   1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

13.的二项展开式中，的系数与的系数之差为           .

14. 已知，，则          .

15. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线，则           .

16. 已知点E、F分别在正方体的棱上，且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于           .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

的内角A、B、C的对边分别为.已知，求的值.

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互。

   （Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

   （Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1.                                  

   （Ⅰ）证明：;

   （Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列满足

   （Ⅰ）求的通项公式；

   （Ⅱ）设，记，证明：。

21.（本小题满分12分）

已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足    

   （Ⅰ）证明：点P在C上；

   （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

   （Ⅰ）设函数，证明：当时， 

   （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明： 

2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

试题参

一、选择题：每小题5分，满分60分．

1．    B    2．    B    3．    A    4．    D    5．C    6．    C

7．    B   8．    D    9．    A    10．D  11.  D   12. A

二、填空题：每小题5分，满分20分．

13． 0    14．          15．    6     16．        

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17.（本小题满分10分）

解：由，得

故， 

由，

故， 

又显然，故，再由，

解得：，于是

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3

故，

所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为

 （Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为

所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为

显然，X服从二项分布，即,

所以

X的期望为20

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，   ，

易算得：，

又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，

所以,

于是, ,

所以

（Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d，

因为，所以,从而,

因而可以算得：，又，故

又因为,所以点C到平面SAB的距离为

另外，显然，

所以

得： 

设AB与平面SBC所成的角为，则

，

即AB与平面SBC所成的角为（显然是锐角）

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由得：

数列是等差数列，首项为

故，从而

   （Ⅱ）

所以

21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：易知：，故：，代入椭圆方程得：，

设，则，，

因为所以

，将此坐标代入椭圆：，

所以点P在C上。

（Ⅱ）由（Ⅰ）：及，得，因为，所以

于是可以算得：，，， 

, ,

于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22 .（本小题满分12分） 

证明：（Ⅰ）时，，

于是在上单调增，所以

（Ⅱ）

   （共有对数相乘）

由（Ⅰ），时，也有，

故在上单调增，所以

即

即，两边同时取的对数得： 

综上所述：