高中数学初中数学三角函数难题(含答案)

A．1    B．    C．    D．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是　   　．

3．观察下列等式

①sin30°=     cos60°=

②sin45°=   cos45°=

③sin60°=    cos30°=

…

根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=　   　．

4．有四个命题：

①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；

②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；

③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；

④某细菌每半小时一次（每个为两个），则经过2小时它由1个为16个．

其中正确命题的序号是 　   　（注：把所有正确命题的序号都填上）．

5．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为　   　．

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA=　   　．

7．如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α=　   　度．

8．因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣；

因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=﹣；

猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°的值等于　   　．

9．在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C=　   　．

10．在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A=　   　．

11．若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是 　   　．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）

12．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．

13．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：

sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）

（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；

（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长；

（2）当MN∥AB时，求t的值；

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

15．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．

16．自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号

1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（　　）

A．1    B．    C．    D．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．

∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，

∴∠ADB=60°．

∴sin∠ADB=sin60°=．

故选C．

2．（2013•崇明县一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是　　．

【解答】解：∵∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，

∵将△BCD沿着直线BD折叠，

∴C1点恰好在斜边AB上，

∴∠DC1A=90°，

∴∠ADC1=∠ABC，

∵AB=5，AC=4，

∴sin∠ADC1=．

故答案为：．

3．（2012•衡阳）观察下列等式

①sin30°=     cos60°=

②sin45°=   cos45°=

③sin60°=    cos30°=

…

根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=　1　．

【解答】解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；

sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；

sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；

故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．

故答案为：1．

4．（2010•防城港）有四个命题：

①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；

②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；

③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；

④某细菌每半小时一次（每个为两个），则经过2小时它由1个为16个．

其中正确命题的序号是 　①④　（注：把所有正确命题的序号都填上）．

【解答】解：①因为sin45°=cos45°=，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；

②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；

③根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣，x1x2=．

∴x1+x2+x1x2=，是正数．

故此选项错误；

④根据题意，得2小时它由1个24个，即16个，故此选项正确．

故正确的有①④．

5．（2011•莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为　5　．

【解答】解：如图所示，

延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．

作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．

∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．

即光线从点A到点B经过的路径长为5．

6．（2007•眉山）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA=　　．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，

∴设BC=3x，则AC=4x，

∴AB=5x，

∴cosA===．

7．（2002•西城区）如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α=　35　度．

【解答】解：∵sin2α十cos235°=1，

∴α=35°．

8．（2010•湛江）因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣；

因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=﹣；

猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°的值等于　﹣　．

【解答】解：∵当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，

∴cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．　

9．（2013•邵阳模拟）在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C=　105°　．

【解答】解：∵sinA=，cosB=，

∴∠A=30°，∠B=45°，

∴∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．

故答案为：105°．

10．（2012•海南模拟）在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A=　105°　．

【解答】解：∵（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，

∴tanC﹣1=0，﹣2cosB=0，

即tanC=1，cosB=，

又∵B、C在同一个三角形中，

∴B=30°，C=45°，

∴A=180°﹣30°﹣45°=105°．

故答案是105°．

11．（2011•九江模拟）若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是 　①②④　．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）

【解答】解：∵sinα＜sinβ，则α＜β；

故此选项正确；

②若α+β=90°，则sinα=cos（90°﹣α）=cosβ，

∴故此选项正确；

③存在一个角α，sinα=，

∴sinα≤1，

∴sinα=1.02，故此选项错误；

④tanα=．根据对应边之间关系得出，

故此选项正确．

故答案为：①②④．

12．（2008•庆阳）附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．

【解答】解：存在的一般关系有：

（1）sin2A+cos2A=1；

（2）tanA=．

证明：（1）∵sinA=，cosA=，

a2+b2=c2，

∴sin2A+cos2A==1．

（2）∵sinA=，cosA=，

∴tanA==，

=．　

13．（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：

sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）

（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；

（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．

【解答】解：（1）由题意得，

sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，

cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=﹣，

sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=；

（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，

∴三个内角分别为30°，30°，120°，

①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，

将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，

解得：m=0，

经检验﹣是方程4x2﹣1=0的根，

∴m=0符合题意；

②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；

③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，

将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，

解得：m=0，

经检验不是方程4x2﹣1=0的根．

综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．

14．（2010•密云县）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长；

（2）当MN∥AB时，求t的值；

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

【解答】解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．

∴KH=AD=3．

在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4，BK=AB•cos45°=4=4．

在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．

∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．

∵MN∥AB，

∴MN∥DG．

∴BG=AD=3．

∴GC=10﹣3=7．

由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．

∵DG∥MN，

∴∠NMC=∠DGC．

又∵∠C=∠C，

∴△MNC∽△GDC．

∴，

即．

解得，．

（3）分三种情况讨论：

①当NC=MC时，如图③，即t=10﹣2t，

∴．

②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．

解法一：

由等腰三角形三线合一性质得：

EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．

在Rt△CEN中，cosC==，

又在Rt△DHC中，cosC=，

∴．

解得t=．

解法二：

∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，

∴△NEC∽△DHC．

∴，

即．

∴t=．

③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t．

解法一：（方法同②中解法一），

解得．

解法二：

∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，

∴△MFC∽△DHC．

∴，

即，

∴．

综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．

15．（2015•甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．

【解答】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，

EF∥AB，CD⊥AB于点D．

∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．

在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，

∴AD==90×=90．

在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，

∴DB==30．

∴AB=AD+BD=90+30=120．

答：建筑物A、B间的距离为120米．

16．（2013•遂宁）自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）

【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．

由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，

∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，

在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20×=10（海里），

在Rt△BCD中，BC===20（海里）．

答：此时船C与船B的距离是20海里．