初中数学中的转化思想

作者：刘冬生

来源：《理科考试研究·初中》2014年第08期

        转化思想是常用的数学思想之一.它是指在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决.因此转化思想在初中的代数、几何中成为一个重要的数学思想.初中的代数、几何中大量地渗透着转化思想，下面仅举几例加以说明.

        一、代数中的转化思想

        [K]1.概念性的转化

        有些问题，在学习时我们并没有意识到它含有转化思想，然而掌握它以后对解决问题起了重要作用，如[KF（]a2[KF）]与|a|是两个不同的概念.通过算术根的含义建立起了[KF（]a2[KF）]=|a|=[JB（{]a （a≥0），-a （a

        例1[K]解关于x，y的方程组[JB（{]x+ay=a2，x+by=b2.[JB）]

        分析本题若解方程组，解法较繁.但若用方程根的定义则可更漂亮地解决.

        解若a=b时，则方程组有无数组解.因为此时方程组就等价于x+ay=a2这个二元一次方程，对于任意一个实数x，都可求得相应的实数y，因此它有无数组解.若a≠b，则由已知方程组的定义，得a、b是方程x+yt=t2，即t2-yt-x=0的根.

        由韦达定理，得a+b=y，ab=-x.

        故原方程组的解为[JB（{]x=-ab，y=a+b.[JB）]

        [K]2.方法上的转化

        方法上的转化常是通过一定的数学方法使复杂问题降低难度.

        例2[K]已知：x2+x-1=0，求x3+2x2+5的值.

        分析这是条件求值问题，若由x2+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁了.但通过变形，用降次的方法进行转化，便迎刃而解了.

        解x2+x-1=0，所以x2=1-x.

        原式[WB]=x（1-x）+2（1-x）+5=x-x2+2-2x+5

        [DW]=x-（1-x）+7-2x=6.