矩形的性质及判定

中考要求

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

2．矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且相等． 

② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．

④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．

点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．

3．矩形的判定

判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．

判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．

重、难点

重点：掌握矩形的性质，并学会应用．

      难点：理解矩形的特殊性．

      关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．

例题精讲

一、矩形的判定

【例1】☆ 在矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件          时，四边形是矩形

【例2】如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．

【巩固】☆矩形具有而平行四边形不具有的性质为（     ）

A．对角线相等                       B．对角相等

C．对角线互相平分                   D．对边相等

【例3】如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，求证四边形是矩形． 

【巩固】如图，在平行四边形中，是的中点，且，

求证：四边形是矩形．

【例4】如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形．

【例5】如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．

⑴ 求证：．

⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【巩固】☆ 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，若交的平分线于点，交的外角平分线于点

（1）求证： 

（2）当点运动到何处时，四边形为矩形？请说明理由！

【例6】如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接． 

⑴ 求证：四边形是菱形；

⑵ 连接并延长交于连接，请问：四边形

是什么特殊平行四边形？为什么？

【巩固】如图，在中，于，于，的两条高相交于，，，求的长． 

【例7】已知，如图矩形中，延长到，使，是中点．求证：．

板块二、矩形的性质及应用

【例8】如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足

【例9】为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面

【例10】的横线上，然后再加以证明。即           .(写出一条线段即可)

【例11】☆如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，

如果，则         

【巩固】☆如图，矩形中，相交于点，平分交

于，若，求=         

【例12】如图所示，在长方形中，点是边的中点，点是边

的中点，与交于点．若，求的度数．

【例13】☆如图，把矩形的对角线分成四段，以每一段为对角线

作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为，

矩形的周长为，则与的关系式          

【巩固】如图，在矩形中，分别是上的点，且. 求证：≌.

【例14】☆如图，在矩形中，点分别在边上，，若

且，则阴影部分的面积为          

【例15】如图，矩形中，对角线、交于，于，

，则_______．

【巩固】☆如图，在矩形中，的交点在

上，图中面积相等的四边形有（      ）

A．对      B．对      C．对       D．对

【例16】☆如图，周长为的矩形被分成个全等的矩形，则矩形

的面积为         

【例17】☆如图，有一矩形纸片，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，在将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为       

【巩固】如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，

则该主板的周长为   

【例18】如图在矩形中，已知，，是边上任意一点，

、分别是垂足，求的值．

【巩固】如图，在矩形中，，于，若，则        ．  

【例19】☆如图，，四边形和都是矩形，则等于          

【例20】☆某台球桌为如图所示长方形，小球从沿角出击，恰好经过次碰撞到处，则=         

【巩固】☆矩形中，将矩形沿对折，使点与重合，如图，求折痕的长

【例21】☆如图，矩形中，对角线相交于点，于，于，已知

，且，求的长

【例22】已知矩形和点，当点在矩形内时，试求证： 

【例23】☆ 如图所示，矩形内一点到、、的长分别是、、，求的长．

【例24】如图，是矩形的对角线交点，过点作分别交、于、，若，，求四边形的面积．

【例25】☆（西城区抽样测试）如图，将矩形沿翻折，使点落在点处，连接、，过点作，垂足为．

⑴判断是什么图形,并加以证明；

⑵若，．求的长；

⑶四边形中，比较与的大小．

【例26】已知，如图，矩形中，于，平分交于，求证：．

课后练习

1.如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（  ）

A．     B．       C．         D． 

2.矩形的对角线、交于，如果的周长比的周长大，则边的长是         ．

3.设凸四边形的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个

四边形是什么四边形?请证明你的结论。

4.已知，如图，在中，，是边上的高，是的外角平分线，∥交于，试说明四边形是矩形． 

5.☆ 已知，矩形和点，当点如图位置时，求证： 

6.如图所示，在矩形和矩形中，若，求证：．