广东省深圳高级中学2012届高三第三次测试数学(理)试卷

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．已知集合，，则

A.         B.        C.          D. 

2．若复数为纯虚数,则的值为

A. 1                B.                C.                  D. 

3．已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是 

    A．    B．    C．    D．（—1，1）

4．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为 

Ａ．６         Ｂ．２         Ｃ．         Ｄ．

5．已知随机变量服从正态分布，且，

   ，若，, 则 

A．0.1358         B．0.1359           C．0.2716          D．0.2718

6.在的展开式中不含项的系数的和为  

A.-1            B.0              C.1            D.2

7.如图，正方体的棱长为1，线段上有

两个动点且，则下列结论中错误的是

A.            

B. 三棱锥的体积为定值

C.     

D. 异面直线所成的角为定值

8．已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是 

A．          B．         C．        D．

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是            人.

10．曲线与轴所围成的封闭图形面积为            .

11. 按如图所示的程序框图运算．

若输入，则输出            ；

12．将直线绕点（1，0）顺时针旋转90°，

再向上平移1个单位后，与圆相切，

则半径r的值是            .

13．若方程 有3个不同实数解,则的取值范围

为            。

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）参数方程(是参数)表示的曲线的普通方程是______________.

15．（几何证明选讲选做题）在圆内接△ABC中，AB=AC=，

Q为圆上一点，AQ和BC的延长线交于点P，

且AQ：QP=1：2，则AP=__________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分分）

    已知.

   （1）求函数的单调增区间；

   （2）若的值.

17．（本小题满分12分）

在一次语文测试中，有一道把我国近期新书:《声涯》、《关于上班这件事》、《长尾理论》、《游园惊梦:昆曲艺术审美之旅》与它们的作者连线题，已知连对一个得3分，连错一个不得分，一位同学该题得分.

   （1）求该同学得分不少于6分的概率；

   （2）求的分布列及数学期望.

18．（本小题满分14分）

2,4,6

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1.

   （1）试求的值；

   （2）求二面角F－AC1－C的大小；

   （3）求点C1到平面AFC的距离.

19．（本小题满分14分）

已知函数，数列满足，

   （1）求数列的通项公式；

   （2）若数列满足，求。

20．（本小题满分14分）

已知直线与椭圆相交于A、B两点.

   （1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；

   （2）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值.

21．（本小题满分14分）

已知函数是增函数，为减函数.

   （1）求a的值；

   （2）设函数上的增函数，且对于内的任意两个变量s、t，恒成立，求实数b的取值范围；

   （3）设，求证：

参

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1～8： BDCDB，BDC；

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．760. 10．4；11. 3 ； 12．； 13．。14． ,(); 15． 15.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16解：……2分

    .    …………5分

   （1）由   ………7分

    是增函数    …………8分

   （2）由（1）知    …………10分

        …………12分

17．解：（1）的可能取值为0，3，6，12                          ……………

 ，                    ………

该同学得分不少于6分的概率为 

   （2），  ……

    得分布列为

18．本小题考查空间线线、线面关系及二面角的求法.

解（解法一）（1）连AF，FC1，因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB1中点，∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F，

∴AF＝FC1.  又在△AFC1中，FD⊥AC1，

所以D为AC1的中点，即.（4分）

   （2）取AC的中点E，连接BE及DE，

则得DE与FB平行且相等，所以四边形DEBF是平行四边形，所以FD与BE平行.

因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，

所以△ABC是正三角形，∴BE⊥AC，∴FD⊥AC，又∵FD⊥AC1，∴FD⊥平面ACC1，

∴平面AFC1⊥平面ACC1    所以二面角F－AC1－C的大小为.　　　　（9分）

   （3）运用等积法求解：AC＝2，AF＝CF＝，可求，

，

，得.　　　（12分）

（解法二）取BC的中点O，建立如图所示的空间直欠坐标系.

由已知得

（1）设，则,

得，

即

解得，即.　　（4分）

   （2）设平面FAC1的一个法向量为 

，由得，

又由，得， 

仿上可得平面ACC1的一个法向量为.　　　（6分）

.故二面角F－AC1－C的大小为.　（8分）

   （3）设平面AFC的一个法向量为，

由得， 由得.

解得 

所以C1到平面AFC的距离为.

19解：（1）

20解：（1）    

    ∴椭圆的方程为    …………2分

    联立

    …5分

    （II）

      整理得 …………7分

    整理得：    …………9分

    代入上式得

        …………10分

    由此得   故长轴长的最大值为.…12分

21．解：（1），依题意,    ………2分

    ，

    依题意    …………3分

        ……4分

   （2）

    为减函数，其最小值为1    …………6分

    依题意.    …………8分

    （3）

        …………10分

        …………12分

        …………14分