湖北省钟祥六中2012届高三五月适应性考试试题(理数)

数 学  试  题（理）

    本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分，考生应首先阅读有关的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合，则A∩B为（    ）

    A．[0，3]        B．    C．        D．[1，3]

2．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为和，则复数为纯虚数的概率为（    ） 

A．             B．　　　　    C．            D．

3．如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（－1＜ξ≤1）=（    ）

A．2Φ（1）－1   B．Φ（－4）－Φ（－2）  C．Φ（2）－Φ（4）  D．Φ（4）－Φ（2）

4．设，下列向量中，与向量Q=（1，-1）一定不平行的向量是（    ）

    A．b=（k，k）            B．c=（-k，-k）

    C．d=（k2 +1,k2 +1）        D．e=（k2一l,k2—1）

5．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（    ）m2．

            正视图             侧视图             俯视图 

A．      B．       C．      D．

6.设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则（    ）

A.的图象过点  

 B.在上是减函数

    C.的一个对称中心是

D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象.

7．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（    ）

    A．258        B．2 

C．780        D．1538

8．双曲线的离心率为2，则的最小值为（    ）.

     A．       B．    C．2       D．

9．若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是(    )

A．4    B．3    C．2    D. 1 

10．设是正三棱锥的底面⊿的中心，过的动平面与交于，与、的延长线分别交于、，则(    )

A、有最大值而无最小值        B、有最小值而无最大值

C、无最大值也无最小值        D、是与平面无关的常数

第Ⅱ卷

    本卷包括必考题和选考题两部分，第11题至第14题，第17题至第22题为必考题，第15题、第16题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，）

11．对任意的实数x，有，则a2的值是        。

12．若点在直线上,则=         .

13．如图所示高脚杯的轴截面是方程为的抛物线，现放一半径为r小球到高脚杯中，若小球能落到杯子底部，则小球的半径r的取值范围为        . 

14．由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：

    ①第二列中的必成等比数列；    ②第一列中的不一定成等比数列；

    ③；       ④若9个数之和大于81，则 >9．

    其中正确的序号有       ．（填写所有正确结论的序号）．

（以下两题为选做题，请将所选作题号填在答题卡相应位置。）

15．如图，是圆的切线，是切点，直线交圆于、两点，是的中点，连结并延长交圆于点，若，∠，则________．

16．若曲线：（为参数，）与曲线：有公共点，则的取值范围是____________．

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分11分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q=（，1），p=（， ）且．求：

（I）求sin A的值；（II）求三角函数式的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

根据上表：

（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

   （2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA = 1，

 PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．

（Ⅰ）求证：PA 平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？

若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

20、（本小题满分13分）

圆有如下两个性质：（1）圆上任意一点与任意不过该点的圆的直径的两端点的连线的斜率（若斜率存在）之积为定值－1；（2）圆的任意一条弦的中点与圆心的连线的斜率（若斜率存在）与该弦的斜率（若斜率存在）之积为定值－1。

（Ⅰ）试探究：椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心但不过该点的弦的端点连线的斜率（若斜率存在）之积是否为定值，若是请求出该定值；

（Ⅱ）写出类比圆的性质（2）得到的椭圆的类似性质，并证明之。

21．（本小题满分13分）

已知数列满足，（）。

  （Ⅰ）求数列的通项公式；

  （Ⅱ）设，求的前n项和；

  （Ⅲ）设，数列的前n项和，求证：对。

22．（本小题满分14分）

已知函数的图象在处的切线与直线平行．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设常数，数列满足（），．

求证：．

五月适应性考试参   数 学（理）   

一、选择题：BCDCA    CBABD

二、填空题：11、6  12、－2  13、  14、①②③  15、  16、

三、解答题：

17、解：（I）∵，∴，                   

根据正弦定理，得，  

又，             

，，，

又；sinA=                        ………………………5分

（II）原式，

                                                            ，                      

∵，∴，∴，

∴，∴的值域是．     ……………………………11分

18、解（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，

则………………………………………………………4分

（II）的可能值得为0，1，2，3，4，5

……………………………………………………………9分

所以随机变量的分布列如下：

19、解：（Ⅰ）  PA = PD = 1 ,PD = 2 , 

 PA2 + AD2 = PD2, 即：PA  AD      ---2分

 又PA  CD , AD , CD 相交于点D, 

 PA  平面ABCD                -------4分

（Ⅱ）过E作EG//PA 交AD于G，

从而EG  平面ABCD，

且AG = 2GD , EG = PA =,                                 ------5分

连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ，交AC于H，

连接EH．GH  AC , EH  AC , 

 EHG为二面角D—AC―E的平面角．                        -----6分

tanEHG = =．二面角D—AC―E的平面角的余弦值为-------8分

（Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ,）, = （1,1,0）, 

 = （0 , , ）                                                ---9分

设平面AEC的法向量= （x, y,z） , 则

 ，即：， 令y = 1 , 

则 = （- 1,1, - 2 ）                                      -------------10分

假设侧棱PC上存在一点F, 且＝  ， 

（0    1）, 使得：BF//平面AEC, 则 ＝ 0．

又因为：＝ +  ＝ （0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）,

 ＝+ 1- - 2 = 0 ,  =,

所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC．                  ----------------12分

20、解：（Ⅰ）设为椭圆上的任意一点，为椭圆的任意一条过中心的弦，且（±），则，则：，，

两式作差得：；…………………………………………………………2分

，，则·=，

则椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心的弦的端点连线的斜率之积为定值。…6分

（Ⅱ）椭圆的任意一条弦的中点与椭圆中心的连线的斜率（若斜率存在）与该弦的（若斜率存在）之积为定值。……………………………………8分

证明：设为椭圆的任意一条不平行与坐标轴的弦，，，中点，椭圆中心,的方程为，

联立并整理得：（，，

由韦达定理：，则：，…………11分

（，），=，·。………………13分

21、解：（Ⅰ）∵，∴，

        又∵，∴数列是首项为3，公比为-2的等比数列，

=，即。………………………………4分

（Ⅱ），

     ==。………8分

（Ⅲ）∵=，∴，

     当n≥3时，=

                 =

                 =,……………12分

     又∵，∴对。……………………………13分

22、解：（Ⅰ）， ---------3分

（Ⅱ）由（1），

设，得，

，

---------------------------------------------------9分

（Ⅲ）证明：由

当x>0时， 

由

当n=1时，

结论成立

对                 ----------------------------------------------14分