| 2005年北京市中考数学试卷（大纲卷） |
2005年北京市中考数学试卷（大纲卷）
一、选择题（共11小题，每小题4分，满分44分）
1．（4分）（2013•大连）﹣2的相反数是（ ）
| A． | ﹣2 | B． | ﹣ | C． | D． | 2 |
2．（4分）（2008•旅顺口区）下列运算中，正确的是（ ）
| A． | =2 | B． | 2﹣3=﹣6 | C． | （ab）2=ab2 | D． | 3a+2a=5a2 |
3．（4分）（2005•北京）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
4．（4分）（2005•北京）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
| A． | 圆 | B． | 菱形 | C． | 矩形 | D． | 等边三角形 |
5．（4分）（2005•北京）据国家环保总局通报，北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市．预计今年年底，北京市污水处理能力可以达到每日1 684 000吨．将1 684 000吨用科学记数法表示为（ ）
| A． | 1.684×106吨 | B． | 1.684×105吨 | C． | 0.1684×107吨 | D． | 16.84×105吨 |
6．（4分）（2005•北京）如图，在半径为5的⊙O中，如果弦AB的长为8，那么它的弦心距OC等于（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 6 |
7．（4分）（2005•北京）用换元法解方程+1=0时，如果设，那么原方程可化为（ ）
| A． | y++1=0 | B． | y2﹣6y+1=0 | C． | y﹣+1=0 | D． | y++1=0 |
8．（4分）（2005•北京）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2，那么∠AOB等于（ ）
| A． | 90° | B． | 100° | C． | 110° | D． | 120° |
9．（4分）（2005•北京）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）
| A． | ∠AEF=∠DEC | B． | FA：CD=AE：BC | C． | FA：AB=FE：EC | D． | AB=DC |
10．（4分）（2005•北京）李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
| 序 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 质量（千克） | 14 | 21 | 27 | 17 | 18 | 20 | 19 | 23 | 19 | 22 |
| A． | 200千克，3000元 | B． | 1900千克，28500元 | |
| C． | 2000千克，30000元 | D． | 1850千克，27750元 |
11．（4分）（2007•攀枝花）如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
12．（4分）（2013•普洱）函数y=中，自变量x的取值范围是 _________ ．
13．（4分）（2005•北京）不等式组的解集是 _________ ．
14．（4分）（2007•海南）反比例函数y=的图象经过点（1，﹣2），则这个反比例函数的关系式为 _________ ．
15．（4分）（2005•北京）如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是 _________ ．
16．（4分）（2005•北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为 _________ ．
三、解答题（共9小题，满分56分）
17．（4分）（2005•北京）分解因式：m2﹣n2+2m﹣2n
18．（5分）（2005•北京）计算：﹣（cos30°）0
19．（6分）（2005•北京）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0
20．（5分）（2005•北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE=2EA，CF=2FD．求证：∠BEC=∠CFB．
21．（6分）（2005•北京）如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．
22．（6分）（2005•北京）夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施．某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度．求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？
23．（7分）（2005•北京）已知：关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当|x1|+|x2|=时，求a的值．
24．（8分）（2005•北京）已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）．
在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．
（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由；
（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD，求sin∠CAB的值；
②若=n（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．
25．（9分）（2005•北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA=∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2005年北京市中考数学试卷（大纲卷）
参与试题解析
一、选择题（共11小题，每小题4分，满分44分）
1．（4分）（2013•大连）﹣2的相反数是（ ）
| A． | ﹣2 | B． | ﹣ | C． | D． | 2 |
| 考点： | 相反数．2014057 |
| 分析： | 一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． |
| 解答： | 解：﹣2的相反数是2．故选D． |
| 点评： | 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． |
2．（4分）（2008•旅顺口区）下列运算中，正确的是（ ）
| A． | =2 | B． | 2﹣3=﹣6 | C． | （ab）2=ab2 | D． | 3a+2a=5a2 |
| 考点： | 负整数指数幂；平方根；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．2014057 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据算术平方根，负指数幂，幂的乘方与积的乘方，合并同类项的运算法则分别计算结果即可判断正确与否． |
| 解答： | 解：A、正确； B、2﹣3=； C、（ab）2=a2b2； D、3a+2a=5a； 故选A． |
| 点评： | （1）本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂的运算，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错． （2）同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并． |
3．（4分）（2005•北京）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 同类二次根式．2014057 |
| 分析： | 根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． |
| 解答： | 解：A、=2与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、=与被开方数不同，故不是同类二次根式； C、=2与被开方数相同，故是同类二次根式； D、=3与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． |
| 点评： | 此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． |
4．（4分）（2005•北京）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
| A． | 圆 | B． | 菱形 | C． | 矩形 | D． | 等边三角形 |
| 考点： | 中心对称图形．2014057 |
| 分析： | 根据中心对称图形的概念和各图的性质求解． |
| 解答： | 解：A、B、C中，既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、只是轴对称图形． 故选D． |
| 点评： | 掌握中心对称与轴对称的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． |
5．（4分）（2005•北京）据国家环保总局通报，北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市．预计今年年底，北京市污水处理能力可以达到每日1 684 000吨．将1 684 000吨用科学记数法表示为（ ）
| A． | 1.684×106吨 | B． | 1.684×105吨 | C． | 0.1684×107吨 | D． | 16.84×105吨 |
| 考点： | 科学记数法—表示较大的数．2014057 |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | 在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便． |
| 解答： | 解：1 684 000=1.684×106．故本题选A． |
| 点评： | 本题考查学生对科学记数法的掌握．科学记数法要求前面的部分是大于或等于1，而小于10，小数点向左移动6位，应该为1.684×106． |
6．（4分）（2005•北京）如图，在半径为5的⊙O中，如果弦AB的长为8，那么它的弦心距OC等于（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 6 |
| 考点： | 垂径定理；勾股定理．2014057 |
| 分析： | 连接OA，根据垂径定理及勾股定理解答即可． |
| 解答： | 解：连接OA，在Rt△OAC中，OA=5，AC=4， 根据勾股定理可得，OC===3． 故选B． |
| 点评： | 此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半径，圆心到弦的距离转换到同一直角三角形中，然后通过勾股定理求解． |
7．（4分）（2005•北京）用换元法解方程+1=0时，如果设，那么原方程可化为（ ）
| A． | y++1=0 | B． | y2﹣6y+1=0 | C． | y﹣+1=0 | D． | y++1=0 |
| 考点： | 换元法解分式方程．2014057 |
| 专题： | 换元法． |
| 分析： | 本题考查换元法整理分式方程的能力，要注意本题中两个分式的倒数关系． |
| 解答： | 解：把=y代入方程+1=0得：y﹣+1=0．故选C． |
| 点评： | 用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． |
8．（4分）（2005•北京）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2，那么∠AOB等于（ ）
| A． | 90° | B． | 100° | C． | 110° | D． | 120° |
| 考点： | 切线长定理；全等三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．2014057 |
| 分析： | 由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP=：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值． |
| 解答： | 解：∵△APO≌△BPO（HL）， ∴∠AOP=∠BOP． ∵sin∠AOP=AP：OP=2：4=：2， ∴∠AOP=60°． ∴∠AOB=120°． 故选D． |
| 点评： | 本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，正弦的概念求解． |
9．（4分）（2005•北京）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）
| A． | ∠AEF=∠DEC | B． | FA：CD=AE：BC | C． | FA：AB=FE：EC | D． | AB=DC |
| 考点： | 平行线分线段成比例；平行四边形的性质．2014057 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD∥BF，依据平行线成比例的性质即可得到答案． |
| 解答： | 解：A、根据对顶角相等，此结论正确； B、根据平行线分线段成比例定理，得FA：FB=AE：BC，所以此结论错误； C、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确； D、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确． 故选B． |
| 点评： | 此题综合运用了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理． |
10．（4分）（2005•北京）李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
| 序 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 质量（千克） | 14 | 21 | 27 | 17 | 18 | 20 | 19 | 23 | 19 | 22 |
| A． | 200千克，3000元 | B． | 1900千克，28500元 | |
| C． | 2000千克，30000元 | D． | 1850千克，27750元 |
| 考点： | 算术平均数；用样本估计总体．2014057 |
| 专题： | 压轴题；图表型． |
| 分析： | 先求出10棵树的樱桃的质量总和以及平均数，然后乘以总数量100棵，即求得总质量，最后乘以每千克15元即为樱桃所得的总收入． |
| 解答： | 解：（14+21+27+17+18+20+19+23+19+22）÷10×100=2000（千克），2000×15=30000（元）． 故选C． |
| 点评： | 本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． |
11．（4分）（2007•攀枝花）如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 动点问题的函数图象．2014057 |
| 专题： | 压轴题；动点型． |
| 分析： | 本题考查动点函数图象的问题，先求出函数关系式在判断选项． |
| 解答： | 解：当点P在CD上运动时，y为三角形，面积为：×3×x=x，为正比例函数； 当点P在CB上运动时，y为梯形，面积为×（x﹣5+3）×=，为一次函数． 由于后面的面积的x的系数＞前面的x的系数，所以后面函数的图象应比前面函数图象要陡． 故选A． |
| 点评： | 本题需注意的知识点是：两个在第一象限的一次函数，比例系数大的图象较陡． |
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
12．（4分）（2013•普洱）函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
| 考点： | 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．2014057 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0． |
| 解答： | 解：x﹣2≠0，解得x≠2． |
| 点评： | 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0． |
13．（4分）（2005•北京）不等式组的解集是 ﹣＜x＜3 ．
| 考点： | 解一元一次不等式组．2014057 |
| 分析： | 先求出两个不等式的解集，再求其公共解． |
| 解答： | 解：由（1）得：x＜3； 由（2）得：x＞﹣． ∴﹣＜x＜3． |
| 点评： | 求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． |
14．（4分）（2007•海南）反比例函数y=的图象经过点（1，﹣2），则这个反比例函数的关系式为 ．
| 考点： | 待定系数法求反比例函数解析式．2014057 |
| 专题： | 待定系数法． |
| 分析： | 把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式． |
| 解答： | 解：将点（1，﹣2）代入，， 解得k=﹣2，所以y=﹣． 故答案为：y=﹣． |
| 点评： | 本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容． |
15．（4分）（2005•北京）如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是 5 ．
| 考点： | 多边形内角与外角．2014057 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的个数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． |
| 解答： | 解：∵多边形的外角和为360°， ∴边数=360°÷72°=5， 那么它的边数是5． |
| 点评： | 根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记． |
16．（4分）（2005•北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为 65°或115° ．
| 考点： | 相似三角形的判定与性质．2014057 |
| 专题： | 压轴题；分类讨论． |
| 分析： | 根据已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定∠BCA度数． |
| 解答： | 解：（1）当∠C为锐角时，由AD2=BD•DC，AD是BC边上的高得，△BDA∽△ADC， ∴∠CAD=∠B=25，∴∠BCA=65°； （2）当∠C为钝角时，同理可得，△BDA∽△ADC ∴∠BCA=25°+90°=115°． |
| 点评： | 本题涉及相似三角形的性质以及分类讨论思想． |
三、解答题（共9小题，满分56分）
17．（4分）（2005•北京）分解因式：m2﹣n2+2m﹣2n
| 考点： | 因式分解-分组分解法．2014057 |
| 分析： | 当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中m2﹣n2符合平方差公式，2m﹣2n提公因式后作为一项可进行下一步分解． |
| 解答： | 解：m2﹣n2+2m﹣2n， =（m2﹣n2）+（2m﹣2n）， =（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）， =（m﹣n）（m+n+2）． |
| 点评： | 本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题m2﹣n2符合平方差公式，所以首要考虑的就是两两分组法． |
18．（5分）（2005•北京）计算：﹣（cos30°）0
| 考点： | 实数的运算；零指数幂；二次根式的加减法．2014057 |
| 分析： | （1）化简时，往往需要把被开方数分解因数或分解因式； （2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母有理化． |
| 解答： | 解：原式= ==． |
| 点评： | 主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．任何非0数的0次幂等于1． |
19．（6分）（2005•北京）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0
| 考点： | 解一元二次方程-配方法．2014057 |
| 专题： | 配方法． |
| 分析： | 首先把方程移项变形为x2﹣4x=﹣1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． |
| 解答： | 解：移项，得：x2﹣4x=﹣1， 配方，得：x2﹣4x+（﹣2）2=﹣1+（﹣2）2， 即（x﹣2）2=3， 解这个方程，得：x﹣2=±； 即x1=2+，x2=2﹣． |
| 点评： | 配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． |
20．（5分）（2005•北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE=2EA，CF=2FD．求证：∠BEC=∠CFB．
| 考点： | 梯形；全等三角形的判定与性质．2014057 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 要证明两个角相等，根据已知条件显然可以根据全等三角形的性质进行证明．首先根据等腰梯形的性质得到两个底角相等，再根据已知条件得到线段相等，即可证明△EBC≌△FCB． |
| 解答： | 证明：在梯形ABCD中， ∵AD∥BC，AB=DC， ∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形在同一底上的两个角相等）， ∵BE=2EA，CF=2FD， ∴BE=AB，CF=DC， ∴BE=CF， 在△EBC和△FCB中， ∴△EBC≌△FCB， ∴∠BEC=∠CFB． |
| 点评： | 本题考查了等腰梯形的性质，此题要求学生熟练运用等腰梯形的性质以及全等三角形的判定和性质． |
21．（6分）（2005•北京）如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．
| 考点： | 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2014057 |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | 首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而可求出答案． |
| 解答： | 解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=∠CAE=30°，∠ADB=∠EAD=45°， ∴AC=2AB，DB=AB． 设AB=x，则BD=x，AC=2x，CB=50+x， ∵tan∠ACB=tan30°， ∴AB=CB•tan∠ACB=CB•tan30°． ∴x=（50+x）•． 解得：x=25（1+）， ∴AC=50（1+）（米）． 答：缆绳AC的长为50（1+）米． |
| 点评： | 本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． |
22．（6分）（2005•北京）夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施．某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度．求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？
| 考点： | 二元一次方程组的应用．2014057 |
| 分析： | 本题有多种解法．设甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度列出方程组求解即可． 解法二是设乙种空调每天节电x度，则甲种空调每天节电（x+27）度．只设一个未知数．列出一元一次方程亦可求解． |
| 解答： | 解： 解法一：设只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度（1分） 依题意得：（3分） 解得：（5分） 答：只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度．（6分） 解法二：设只将温度调高1℃后，乙种空调每天节电x度（1分） 则甲种空调每天节电（x+27）度（2分） 依题意得：1.1x+x+27=405（3分） 解得：x=180（4分） ∴x+27=207（5分） 答：只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度．（6分） |
| 点评： | 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． |
23．（7分）（2005•北京）已知：关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当|x1|+|x2|=时，求a的值．
| 考点： | 抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．2014057 |
| 分析： | （1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围．设抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，∴α、β是关于x的方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的两个不相等的实数根，再利用方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的根的判别式求a的取值范围，又∵抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，利用根与系数的关系确定； （2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值． |
| 解答： | 解：（1）∵关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根 ∴ 解得：a＜0，且a≠﹣2 ① 设抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β ∴α、β是关于x的方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的两个不相等的实数根 ∵△=[﹣（2a+1）]2﹣4×1×（2a﹣5）=（2a﹣1）2+21＞0 ∴a为任意实数② 由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=2a﹣5 ∵抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁 ∴α＜2，β＞2 ∴（α﹣2）（β﹣2）＜0 ∴αβ﹣2（α+β）+4＜0 ∴2a﹣5﹣2（2a+1）+4＜0 解得：a＞﹣③ 由①、②、③得a的取值范围是﹣＜a＜0； （2）∵x1和x2是关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0的两个不相等的实数根 ∴x1+x2=，x1x2= ∵﹣＜a＜0，∴a+2＞0 ∴x1x2=＜0不妨设x1＞0，x2＜0 ∴|x1|+|x2|=x1﹣x2=2 ∴x12﹣2x1x2+x22=8，即（x1+x2）2﹣4x1x2=8 ∴（）2﹣=8 解这个方程，得：a1=﹣4，a2=﹣1（16分） 经检验，a1=﹣4，a2=﹣1都是方程（）2﹣=8的根 ∵a=﹣4＜﹣，舍去 ∴a=﹣1为所求． |
| 点评： | 本题综合性强，考查了一元二次方程中的根与系数的关系和根的判别式的综合利用． |
24．（8分）（2005•北京）已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）．
在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．
（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由；
（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD，求sin∠CAB的值；
②若=n（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．
| 考点： | 切线的性质；圆内接四边形的性质；解直角三角形．2014057 |
| 专题： | 综合题；压轴题． |
| 分析： | （1）连接AE，由图不难看出OD是三角形ABC的中线，那么OD=CE，又因为OD是半径，AE是直径，因此AE=CE； （2）若CD=CF，那么AD=CD=CF，由图不难得出Rt△ADE∽Rt△EDF，那么就可用AD，DF表示出DE，然后根据直角三角形CDE中，CE2=CD2+DE2，这样就能表示出CE了，那么∠CED的正弦函数也就求出来了，∠CAB的正弦值也就有了． |
| 解答： | 解：（1）连接AE， 求证：AE=CE． 证明：如图，连接OD， ∵∠ABC=90°，CB的延长线交⊙O于点E， ∴∠ABE=90° ∴AE是⊙O的直径， ∵D是AC的中点，O是AE的中点， ∴OD=CE ∵OD=AE ∴AE=CE． （2）①根据题意画出图形，如图，连接DE， ∵AE是⊙O的直径，EF是⊙O的切线， ∴∠ADE=∠AEF=90°， ∴Rt△ADE∽Rt△EDF， ∴． 设AD=k（k＞0），则DF=2k， ∴=， ∴DE=k． 在Rt△CDE中， ∵CE2=CD2+DE2=k2+（k）2=3k2， ∴CE=， ∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE， ∴∠CAB=∠DEC， sin∠CAB=sin∠DEC==． ②sin∠CAB=（n＞0）． |
| 点评： | 本题综合考查了切线的性质，相似三角形，解直角三角形等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大． |
25．（9分）（2005•北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA=∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
| 考点： | 二次函数综合题．2014057 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | （1）根据图象，易得点A、C的坐标，代入解析式可得a、b的关系式； （2）根据抛物线的对称性，结合题意，分a＞0，a＜0两种情况讨论，可得答案； （3）根据题意，设出P的坐标，按P的位置不同分两种情况讨论，可得答案． |
| 解答： | 解：（1）解法一：∵一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为（4，0）． ∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点， ∴c=0，16a+4b=0． ∴b=﹣4a（1分）． 解法二：∵一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为（4，0）． ∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=2． ∴x=﹣=2． ∴b=﹣4a（1分）． （2）由抛物线的对称性可知，DO=DA ∴点O在⊙D上，且∠DOA=∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y=ax2﹣4ax ∴点D的坐标为（2，﹣4a） ①当a＞0时，如图 设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称 ∵点O在⊙D'上，且⊙D与OD'相切， ∴点O为切点（2分） ∴D'O⊥OD ∴∠DOA=∠D'OA=45° ∴△ADO为等腰直角三角形 ∴OD=2（3分） ∴点D的纵坐标为﹣2 ∴﹣4a=﹣2， ∴a=，b=﹣4a=﹣2． ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x．（4分） ②当a＜0时， 同理可得：OD=2 抛物线的解析式为y=﹣x2+2x（5分） 综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x． （3）答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA=∠OBA 设点P的坐标为（x，y），且y＞0 ①当点P在抛物线y=x2﹣2x上时（如图） ∵点B是⊙D的优弧上的一点 ∴∠OBA=∠ADO=45° ∴∠POA=∠OBA=60° 过点P作PE⊥x轴于点E， ∴tan∠POE= ∴=tan60°， ∴y=． 由 解得：（舍去） ∴点P的坐标为．（7分） ②当点P在抛物线y=﹣x2+2x上时（如图） 同理可得，y= 由 解得：（舍去） ∴点P的坐标为（4﹣2，﹣6+4）．（9分） 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为（4+2，6+4）或（4﹣2，﹣6+4）． |
| 点评： | 本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力． |
参与本试卷答题和审题的老师有：lanchong；137-hui；Liuzhx；kuaile；feng；cook2360；zhangCF；yu123；CJX；zhjh；疯跑的蜗牛；心若在；zhehe；lanyan；自由人；算术；csiya；ln_86；leikun；zcx；蓝月梦；hbxglhl；zzz；开心；MMCH；HJJ；lf2-9；fuaisu；刘超（排名不分先后）
菁优网
2014年2月14日
Copyright © 2019-2026 51dongshi.net 版权所有
违法及侵权请联系：TEL:177 7030 7066 E-MAIL:11247931@qq.com 本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务
