管道铺设施工的最佳及方案问题

1.实验题目：

需要在某个城市n个居民小区之间铺设煤气管道，则在这n个居民小区之间只需要铺设n-1条管道即可。假设任意两个小区之间都可以铺设管道，但由于地理环境不同，所需要的费用也不尽相同。选择最优的方案能使总投资尽可能小，这个问题即为求无向网的最小生成树。

2.基本要求：

在可能假设的m条管道中，选取n-1条管道，使得既能连通n个小区，又能使总投资最小。每条管道的费用以网中该边的权值形式给出，网的存储采用邻接表的结构。

3.测试数据：

使用下图给出的无线网数据作为程序的输入，求出最佳铺设方案。右侧是给出的参考解。

4.简述每一部分的对象、目的和要求：

.主函数部分：

对象：图G；

目的：为图G分配空间，以作为后续调用函数的参数；

要求：无。

. Create_ALGraph( )函数部分：

对象：顶点，边及其权值；

目的：将顶点，边存放在一起，构成图；

要求：构造顶点表，各顶点的邻接表以构造图。

. Create_WLGraph( )函数部分：

对象：图G；

目的：将图中的权值只存放一次，存放到w指向的结构体中；

要求：权值只存放一次，再分别存放该边的左右顶点。

. select_info( )函数部分：

对象：w指向的结构体；

目的：将该结构体中的各权值以升序排列；

要求：采用简单选择法进行排序。

. Create_TLGraph( )函数部分：

对象：排序后的w指向的结构体；

目的：找到构成最小生成树的边；

要求：依权值升序排列，判断各边是否构成回路来取舍各边。

二．需求分析

1.程序所能达到的基本可能：

在n个小区m条管道中，选取n-1条管道，实现连通这n个小区，同时权值之和为最小。

2.输入输出形式及输入值范围：

程序运行后，用户可根据提示信息："Please input the vertices and the edges:"输入顶点数和边数，再根据提示信息："Please input the information of the vertices:"输入顶点信息，然后进入循环，创建各个顶点的邻接表，即根据提示信息"Please input the information of edges:"和"Please input the information of weight:"依次输入各顶点与其他顶点本身以及两者之间的权值，创建图完毕。用户输入完毕后，程序自动输出运行结果。输入值必须为字母和浮点数，可以不必区分大小写。

3.测试数据要求：

用户输入字母时，输入大写或小写，都可以被该程序识别，正常运行。但必须根据提示信息后面给出的参考形式，有针对性地输入逗号。

三．概要设计

为了实现上述功能，该程序以邻接表来存储图，因此需要图这个抽象数据类型。

1.图抽象数据类型定义：

ADT ALGraph{

              数据对象：D={，i=1,2,3....,n,n}

              数据关系：R=;

              基本操作：Create_ALGraph(G)；//创建图

                        Create_WLGraph(G)； //将图G中各顶点以及权值存放到新图中，权值只存放一次

                        select_info(W, G)；//将新图W中的权值按升序排列

                     Create_TLGraph(w, G)；//将最小生成树以顶点对   （i, j）的形式输出

}ADT ALGraph

2.本程序保护模块：

主函数模块

图模块

调用关系：

3.主要算法流程图：

Create_ALGraph( )算法流程图：              Create_WLGraph()算法流程图：

Create_TLGraph( )算法流程图：

四．详细设计

1.相关头文件的调用说明：

#include

#include

#define MaxVerNum 100

2.元素类型、结点类型和结点指针类型：

static void forcefloat(float *p)

{

float f = *p;

forcefloat(&f);

}

typedef struct node

{ int adjvex;

  float info;

  struct node *next;

}EdgeNode;

typedef struct vnode

{ char vertex;

  EdgeNode *firstedge;

}VertexNode;

typedef VertexNode AdjList[MaxVerNum];

struct bian

{int z,y;

 float info;

};

typedef struct

{char v[MaxVerNum];

 struct bian e[MaxVerNum];

}WGraph;

struct visit

{visited[MaxVerNum];

 position[MaxVerNum];

 vvpp[MaxVerNum][MaxVerNum];

}

3.邻接表类型：

typedef struct

    {AdjList adjlist;

     int n,e;

    }ALGraph;

//部分基本操作的伪码实现

Create_ALGraph(ALGraph *G)

{int i,j;   char p,q;

 int k; /* int x=0; */

 EdgeNode *s;

 char a,b;

printf("Please input the vertices and the edges:\\n");

scanf("%d,%d",&(G->n),&(G->e));

printf("Please input the information of the vertices:\\n");

 getchar();

for(i=0;i<(G->n);i++)

{scanf("%c",&(G->adjlist[i].vertex));

G->adjlist[i].firstedge=NULL;

/*if(G->adjlist[i].vertex!=' '&&G->adjlist[i].vertex!='\\n'&&G->adjlist[i].vertex!='    ')

  x++;*/

 }

for(k=0;k<2*(G->e);k++)

{printf("Please input the information of edges:\\n");

  getchar();

  scanf("%c,%c",&p,&q);

  s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));

s->adjvex=q-;

  i=p-;

  getchar();

  printf("Please input the information of weight:\\n");

scanf("%f",&(s->info));

s->next=G->adjlist[i-1].firstedge;

G->adjlist[i-1].firstedge=s;

 }/*

 printf("Please output the information:\\n");

printf("%d,%d\\n",G->n,G->e);

 printf("x=%d\\n",x);

for(i=0;in;i++)

{printf("%c\\n",G->adjlist[i].vertex);

s=G->adjlist[i].firstedge;

 while(s!=NULL)

{printf("the linbian is %d,the info is %.1f\\n",s->adjvex,s->info);

s=s->next;

  }

 }*/

}

int Panduan_Vertex(int k,int i,WGraph *w,EdgeNode *s)

{int t;

for(t=0;t if((w->e[t]).y==i+1&&(w->e[t]).z==s->adjvex)

   return 1;

  return 0;

}

void select_info(WGraph *W,ALGraph *G)

 {int i,j,p,k;

 float t;

for(i=0;i<(G->e);i++)

 {p=i;

for(j=i+1;j<(G->e);j++)

if(W->e[j].infoe[p].info) p=j;

  if(p!=i)

{t=W->e[p].info;

W->e[p].info=W->e[i].info;

W->e[i].info=t;

k=W->e[p].z;

W->e[p].z=W->e[i].z;

W->e[i].z=k;

k=W->e[p].y;

W->e[p].y=W->e[i].y;

W->e[i].y=k;

  }

 }/*

for (i=0;i<(G->e);i++)

printf("%.1f ",W->e[i].info);

 printf("\\n");*/

 }

int judge_vertex(WGraph *w,int i,struct visit *vp)

 {

if(vp->visited[w->e[i].z-1]==-1&&vp->visited[w->e[i].y-1]==-1)

return 1;

else if(vp->visited[w->e[i].z-1]==-1&&vp->visited[w->e[i].y-1]==1)

return 2;

else if(vp->visited[w->e[i].y-1]==-1&&vp->visited[w->e[i].z-1]==1)

return 3;

else if(vp->visited[w->e[i].z-1]==1&&vp->visited[w->e[i].y-1]==1)

return 4;

 }

void Create_TLGraph(WGraph *w,ALGraph *G)

{WGraph T;

 int i,j,t,h,k=2;

 int m=1;   int abc,bcd;

 struct visit *vp;

 vp=(struct visit *)malloc(sizeof(struct visit));

for(i=0;i<(G->n);i++)

{vp->visited[i]=-1;

vp->position[i]=-1;

vp->vvpp[i][0]=i+1;

for(j=1;jn;j++)

vp->vvpp[i][j]=0;

 }

T.v[0]=w->v[w->e[0].z-1];

T.v[1]=w->v[w->e[0].y-1];

vp->visited[w->e[0].z-1]=1;

vp->position[w->e[0].z-1]=w->e[0].z;

for(j=0;j<(G->n);j++)

if(vp->vvpp[w->e[0].z-1][j]==0)

{vp->vvpp[w->e[0].z-1][j]=w->e[0].y;

  break;}

vp->visited[w->e[0].y-1]=1;

vp->position[w->e[0].y-1]=w->e[0].z;

T.e[0].info=w->e[0].info;

T.e[0].z=w->e[0].z;

T.e[0].y=w->e[0].y;

for(i=1;i<(G->e);i++)

 {t=judge_vertex(w,i,vp);

  if(t==4)

{if(vp->position[w->e[i].z-1]==vp->position[w->e[i].y-1])

   continue;

     else{  abc=0; bcd=0;

     for(j=0;jn;j++)

         if(vp->vvpp[vp->position[w->e[i].y-1]-1][j]!=0)

                 abc++;

         for(j=0;jn;j++)

             if(vp->vvpp[vp->position[w->e[i].z-1]-1][j]!=0)

                    bcd++;

             for(j=bcd,h=0;jn&&h             {vp->vvpp[(vp->position[w->e[i].z-1])-1][j]=vp->vvpp[(vp->position[w->e[i].y-1])-1][h];

vp->vvpp[vp->position[w->e[i].y-1]-1][h]=0;

                }

             for(h=bcd;h             vp->position[(vp->vvpp[vp->position[w->e[i].z-1]-1][h])-1]=vp->position[w->e[i].z-1];

             T.e[m].info=w->e[i].info;

T.e[m].z=w->e[i].z;

T.e[m].y=w->e[i].y;

                m++;

     }

  }

  else if(t==1)

{ vp->visited[w->e[i].z-1]=1;

vp->visited[w->e[i].y-1]=1;

T.v[k++]=w->v[w->e[i].z-1];

T.v[k++]=w->v[w->e[i].y-1];

T.e[m].info=w->e[i].info;

T.e[m].z=w->e[i].z;

T.e[m].y=w->e[i].y;

     m++;

vp->position[w->e[i].z-1]=w->e[i].z;

vp->position[w->e[i].y-1]=w->e[i].z;

vp->vvpp[w->e[i].z-1][1]=w->e[i].y;

vp->vvpp[w->e[i].y-1][0]=0;

 }

 else if(t==2)

{vp->visited[w->e[i].z-1]=1;

vp->position[w->e[i].z-1]=vp->position[w->e[i].y-1];

for(j=0;j<(G->n);j++)

if(vp->vvpp[vp->position[w->e[i].y-1]-1][j]==0)

{vp->vvpp[vp->position[w->e[i].y-1]-1][j]=w->e[i].z;

       break;

      }

vp->vvpp[w->e[i].z-1][0]=0;

T.v[k++]=w->v[w->e[i].z-1];

T.e[m].info=w->e[i].info;

T.e[m].z=w->e[i].z;

T.e[m].y=w->e[i].y;

     m++;

 }

 else if(t==3)

{vp->visited[w->e[i].y-1]=1;

vp->position[w->e[i].y-1]=vp->position[w->e[i].z-1];

for(j=0;j<(G->n);j++)

if(vp->vvpp[vp->position[w->e[i].z-1]-1][j]==0)

{vp->vvpp[vp->position[w->e[i].z-1]-1][j]=w->e[i].y;

      break;

      }

vp->vvpp[w->e[i].y-1][0]=0;

T.v[k++]=w->v[w->e[i].y-1];

T.e[m].info=w->e[i].info;

T.e[m].z=w->e[i].z;

T.e[m].y=w->e[i].y;

     m++;

      }

 }

printf("Please output the information:\\n");

for(i=0;i<(G->n)-1;i++)

printf("(%c,%c)\\n",T.e[i].z+,T.e[i].y+);

}

void Create_WLGraph(ALGraph *G)

{int i,j,t,m,k=0;

 EdgeNode *s,*p;

 WGraph *W;

 W=(WGraph *)malloc(sizeof(WGraph));

W->v[0]=G->adjlist[0].vertex;

s=G->adjlist[0].firstedge;

 while(s!=NULL)

{W->e[k].z=1;

W->e[k].y=s->adjvex;

W->e[k].info=s->info;

  k++;

s=s->next;

 }

for(i=1;i<(G->n);i++)

{W->v[i]=G->adjlist[i].vertex;

s=G->adjlist[i].firstedge;

  while(s!=NULL)

  {m=Panduan_Vertex(k,i,W,s);

   if(m==1)

{s=s->next;

   continue;}

   else

{ W->e[k].z=i+1;

W->e[k].y=s->adjvex;

W->e[k].info=s->info;

     k++;

s=s->next;

   }

  }

  }/*

  printf("Please output the information:\\n");

for(i=0;in;i++)

printf("%c\\n",W->v[i]);

for(i=0;ie;i++)

printf("%d,%d,%.1f\\n",W->e[i].z,W->e[i].y,W->e[i].info);*/

 select_info(W,G);

 Create_TLGraph(W,G);

}

4.主函数的伪码：

main()

{ALGraph *G;

 G=(ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph));

 Create_ALGraph(G);

 Create_WLGraph(G);

}

5.函数调用关系：

五．调试分析

1.出现问题及解决方法：

在刚开始写程序时，由于考虑不全面，在去除连通图闭合回路的算法中遇到很大困难，后来采用以下方法解决了这个问题：

将每个顶点分别放在一个结构体中，结构体中的数组visited[i]记录顶点Vi是否被访问过的情况，position[i]记录顶点Vi的具体位置，二维数组vvpp[i][j]记录已经将以该顶点为左顶点或右顶点的权值存入T中后，该权值的右顶点或左顶点的编号。其具体思想是：只要将一个权值存入T中，就将相应的左右顶点放到同一个二维数组中，之后每欲将一个权值加入T中，先检验该权值的两顶点是否在同一个二维数组中。若不在，则将该权值存入T中；若在，将该权值舍去（因为再将该权值加入T中，就会出现回路）。

2.方法优缺点分析：

优点：思想比较简单，容易令人理解；

      在写核心算法时，先将字母顶点用相应的数字代替，所以在将数字转化成字母回去时，利用数字与ASCII码值的固定差值，可以保证用户在输入时的大小写字母都可以被该程序识别。

缺点：由于采用数字来代替字母，中间的转换关系比较复杂，尤其是将对应关系理清需要足够的耐心和细心。

3．主要算法的时间和空间复杂度分析：

（1）由于Create_ALGraph( )算法中将读入顶点的操作执行了n次，读入边的操作执行了2m次，故其时间复杂度为O（n+2m）；

（2）由于Create_WLGraph( )算法将读入权值及其左右顶点的操作执行了n次，故其时间复杂度为O（n）；

（3）由于Create_TLGraph( )算法中根据判断是否构成回路来取舍边，因为有n条边，故要执行n次，所以时间复杂度是O（n）；

（4）由于select_info( )函数采用简单选择法排序，时间复杂度是O（）；

（5）所有算法的空间复杂度都是O（1）。

六．使用说明

程序运行后，用户根据提示输入顶点数，边数，顶点信息，边的信息，权值，输入完毕后程序会自动以顶点对（i, j）的形式输出最小生成树的边。

七．调试结果

输入数据：“9”，“15”，“ABCDEFGHI”，“A,B”，“32.8”，“A,C”，“44.6”，“A,H”，“12.1”，“A,I”，“18.2”，“B,A”，“32.8”，“B,C”，“5.9”，“C,A”，“44.6”，“C,B”，“5.9”，“C,D”，“21.3”，“C,E”，“41.1”，“C,G”，“56.4”，“D,C”，“21.3”，“D,E”，“67.3”，“D,F”，“98.7”，“E,C”，“41.1”，“E,D”，“67.3”，“E,F”，“85.6”，“E,G”，“10.5”，“F,D”，“98.7”，“F,E”，“85.6”，“F,I”，“79.2”，“G,C”，“56.4”，“G,E”，“10.5”，“G,H”，“52.5”，“H,A”，“12.1”，“H,G”，“52.5”，“H,I”，“8.7”，“I,A”，“18.2”，“I,F”，“79.2”，“I,H”，“8.7”。(双引号不需输入)

输出数据：(B,C),(H,I),(E,G),(A,H),(C,D),(A,B),(C,E),(F,I) 

运行结果截屏： 

八．附录

源程序清单：

#include /*调用的头文件库说明*/

#include

#define MaxVerNum 100

static void forcefloat(float *p)

{

float f = *p; /*由于我的TC中不支持浮点数，故添加了这个程序段*/

forcefloat(&f);

}

typedef struct node /*构造邻接表的结构体*/

{ int adjvex;

  float info; /*存放权值*/

  struct node *next; /*指向下一个邻接点的指针域*/

}EdgeNode;

typedef struct vnode /*构造顶点表的结构体*/

{ char vertex; /*顶点域*/

  EdgeNode *firstedge; /*边表头指针*/

}VertexNode;

typedef VertexNode AdjList[MaxVerNum];

typedef struct /*构造图的结构体*/

  /*邻接表*/

  /*顶点数和边数*/

struct bian /*存放权值及其左右顶点的结构体*/

{int z,y;

 float info;

};

typedef struct /*用该结构体来只存放一次权值及其相应的顶点*/

{char v[MaxVerNum];

 struct bian e[MaxVerNum];

}WGraph;

struct visit /*用该结构体来存放各结点被访问的情况，

 {visited[MaxVerNum]; 位置，和其他结点的关系*/

 position[MaxVerNum];

 vvpp[MaxVerNum][MaxVerNum];

}

 Create_ALGraph(ALGraph *G) /*创建图*/

 int k; 

 EdgeNode *s;

 char a,b;

printf("Please input the vertices and the edges:\\n"); /*输入顶点数和边数*/

scanf("%d,%d",&(G->n),&(G->e));

printf("Please input the information of the vertices:\\n");

 getchar();

for(i=0;i<(G->n);i++) /*建立有n各顶点的顶点表*/

{scanf("%c",&(G->adjlist[i].vertex)); /*读入顶点信息*/

G->adjlist[i].firstedge=NULL;

 }

for(k=0;k<2*(G->e);k++) /*建立边表*/

{printf("Please input the information of edges:\\n");

  getchar();

  scanf("%c,%c",&p,&q); /*读入边的顶点*/

  s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));

s->adjvex=q-; /*邻接点的序号为q-*/

  i=p-;

  getchar();

  printf("Please input the information of weight:\\n"); /*读入权值*/

scanf("%f",&(s->info));

s->next=G->adjlist[i-1].firstedge; /*将新边表结点s插入到顶点Vi的边表头部*/

G->adjlist[i-1].firstedge=s;

 }

}

int Panduan_Vertex(int k,int i,WGraph *w,EdgeNode *s) 判断该边是不是已经读入到w指

{int t; 向的结构体中*/

for(t=0;t if((w->e[t]).y==i+1&&(w->e[t]).z==s->adjvex)

  return 0;

}

void select_info(WGraph *W,ALGraph *G) 将w指向的结构体中各权值按升序

 {int i,j,p,k; 排列*/

 float t; 

for(i=0;i<(G->e);i++) /*简单选择排序*/

 {p=i;

for(j=i+1;j<(G->e);j++)

  if(p!=i)

{t=W->e[p].info; /*将两条边的权值左右顶点都进行交换*/

  }

 }/*

for (i=0;i<(G->e);i++)

printf("%.1f ",W->e[i].info);

 printf("\\n");*/

 }

int judge_vertex(WGraph *w,int i,struct visit *vp) /*判断顶点的访问情况*/

 {

if(vp->visited[w->e[i].z-1]==-1&&vp->visited[w->e[i].y-1]==-1)

return 1;

else if(vp->visited[w->e[i].z-1]==-1&&vp->visited[w->e[i].y-1]==1)

return 2;

else if(vp->visited[w->e[i].y-1]==-1&&vp->visited[w->e[i].z-1]==1)

return 3;

else if(vp->visited[w->e[i].z-1]==1&&vp->visited[w->e[i].y-1]==1)

return 4;

 }

void Create_TLGraph(WGraph *w,ALGraph *G) /*生成最小生成树*/

{WGraph T;

 int i,j,t,h,k=2;

 struct visit *vp;

 vp=(struct visit *)malloc(sizeof(struct visit));

for(i=0;i<(G->n);i++) /*将各顶点的被访问情况，位置，与其他顶点

{vp->visited[i]=-1; 的相互关系进行初始化*/

vp->position[i]=-1;

vp->vvpp[i][0]=i+1;

for(j=1;jn;j++)

vp->vvpp[i][j]=0;

 }

T.v[0]=w->v[w->e[0].z-1];

T.v[1]=w->v[w->e[0].y-1];

vp->visited[w->e[0].z-1]=1;

vp->position[w->e[0].z-1]=w->e[0].z;

for(j=0;j<(G->n);j++)

if(vp->vvpp[w->e[0].z-1][j]==0)

{vp->vvpp[w->e[0].z-1][j]=w->e[0].y;

  break;}

vp->visited[w->e[0].y-1]=1;

vp->position[w->e[0].y-1]=w->e[0].z;

T.e[0].info=w->e[0].info;

T.e[0].z=w->e[0].z;

T.e[0].y=w->e[0].y;

for(i=1;i<(G->e);i++)

 {t=judge_vertex(w,i,vp); /*根据不同的顶点访问情况选取相应操作*/

  if(t==4) /*两顶点均已被访问过的情况*/

{if(vp->position[w->e[i].z-1]==vp->position[w->e[i].y-1]) /*两顶点位置相同*/

  /*舍去这条边，否则会构成回路*/

  /*倘若两顶点位置不同*/

     将两顶点放在同一个数组中*/

  /*将原数组置零*/  

     /*将该边存入T中*/

  }

  else if(t==1) /*两顶点都未被访问的情况*/

  /*将该边存入T中*/

  /*将两顶点的位置改为相同*/

  /*将两顶点存放到一个数组中*/

 }

 else if(t==2) /*左顶点未被访问，右顶点已被访问的情况*/

{vp->visited[w->e[i].z-1]=1;

 vp->position[w->e[i].z-1]=vp->position[w->e[i].y-1]; /*将左顶点的位置改为右顶点的位置*/

for(j=0;j<(G->n);j++) /*将两顶点存放到一个数组中*/

  /*将该边存放到T中*/

 }

 else if(t==3) /*右顶点未被访问，左顶点已被访问的情况*/

{vp->visited[w->e[i].y-1]=1;

vp->position[w->e[i].y-1]=vp->position[w->e[i].z-1]; /*将右顶点的位置改为左顶点的位置*/

for(j=0;j<(G->n);j++) /*将两顶点存放到一个数组中*/

  /*将该边存放到T中*/

 }

printf("Please output the information:\\n");

for(i=0;i<(G->n)-1;i++) /*以顶点对的形式输出最小生成树*/

printf("(%c,%c)\\n",T.e[i].z+,T.e[i].y+);

}

void Create_WLGraph(ALGraph *G) /*将各边的权值只存一次到w指向的结构体中*/

{int i,j,t,m,k=0;

 EdgeNode *s,*p;

 WGraph *W;

 W=(WGraph *)malloc(sizeof(WGraph));

W->v[0]=G->adjlist[0].vertex;

s=G->adjlist[0].firstedge; /*将以顶点A为顶点的边存放到w指向的结构体中*/

 while(s!=NULL)

{W->e[k].z=1;

W->e[k].y=s->adjvex;

W->e[k].info=s->info;

  k++;

s=s->next;

 }

for(i=1;i<(G->n);i++)

{W->v[i]=G->adjlist[i].vertex;

s=G->adjlist[i].firstedge;

  while(s!=NULL)

  {m=Panduan_Vertex(k,i,W,s); /*调用该函数确定该边权值是否是重复出现*/

  /*若是，直接跳过*/

  /*若不是，将该边存放到w指向的结构体中*/

  }

  }

 select_info(W,G); /*调用该函数给权值排升序*/

 Create_TLGraph(W,G); /*调用该函数确定最小生成树*/

}

main()

{ALGraph *G;

 G=(ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph));

 Create_ALGraph(G); /*创建图*/

 Create_WLGraph(G);

}