2016届江西省赣州市高考数学适应性试卷(理科)(解析版)

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．若复数Z满足（3﹣4i）Z=|4+3i|，则Z的共轭复数的虚部为（　　）

A．4    B．    C．﹣4    D．﹣

2．已知集合E={x∈R|x2﹣2x＞0}，F={x∈R|log2（x+1）＜2}，则（　　）

A．E∩F=∅    B．E∪F=R    C．E⊆F    D．F⊆E

3．已知角θ的顶点在平面直角坐标系xOy原点O，始边为x轴正半轴，终边在直线x﹣2y=0上，则sin2θ=（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

4．已知命题p1：函数y=ex﹣e﹣x在R上为增函数；命题p2：函数y=ex+e﹣x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2，q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（　　）

A．q1、q3    B．q2、q3    C．q1、q4    D．q2、q4

5．已知a＞0，x，y满足线性约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（　　）

A．    B．    C．1    D．2

6．一个底面边长为2的正四棱柱截去一部分得到一个几何体，该几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为13，则图中x的值为（　　）

A．2.5    B．3    C．2    D．1.5

7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上的一点，若|AF1|=2|AF2|，则cos∠F1AF2=（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

8．小明有3本相同的小说，3本相同的漫画，从中取出4本赠送给4位同学，每位同学1本，则不同的赠送方法共有（　　）

A．12种    B．14种    C．16种    D．18种

9．关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|（x∈R），有如下结论：

①函数f（x）的周期是；

②函数f（x）的值域是[0，]；

③函数f（x）的图象关于直线x=对称；

④函数f（x）在（，）上递增．

其中正确命题的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

10．如图是用二分法求函数f（x）在区间（a，b）上的零点的程序框图，若输入的函数为f（x）=log2x+x﹣，则输出的n的值为（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（　　）

A．4π    B．8π    C．12π    D．16π

12．如图，直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，其中A是切点，记h（x）=，g（x）=ax﹣f（x），则（　　）

A．g（x）的极小值点小于极大值点，且极小值为﹣2

B．g（x）的极小值点大于极大值点，且极大值为2

C．h（x）只有一个极值点

D．h（x）有两个极值点，且极小值点小于极大值点

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（+）5（a为实常数）的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中的常数项是______（用数字作答）

14．已知向量，的夹角为60°，||=1，|2﹣|=，则||=______．

15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，若以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D，且FB⊥FD，△ABD的面积为，则圆F的方程为______．

16．△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，则tan（A﹣B）的最大值是______．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．设等差数列{an}前n项和为Sn，且a5+a6=24，S11=143．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{cn}的前n项和为Tn，且2=λTn﹣2（λ是非零实数），{cn}是等比数列吗？若是，求λ的值；若不是，说明理由．

18．某校就开展“学习习惯养成”教育活动的情况进行调查，随机抽取了16名学生进行测试，用“10分制”以茎叶图方式记录了他们的测试分数（如图），若所得分数不低于9.5分，则称该学生“学习习惯非常好”．

（1）现从这16人中随机选取3人，求至少有1人“学习习惯非常好”的概率；

（2）以这16人的样本数据估计该所学校学生的总体数据，若从该学校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“学习习惯非常好”的人数，求X的分布列及数学期望EX．

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，G为ABC的重心，BE=BC1．

（1）求证：GE∥平面AA1B1B；

（2）若侧面ABB1A1⊥底面ABC，∠A1AB=∠BAC=60°，AA1=AB=AC=2，求直线A1B与平面B1GE所成角θ的正弦值．

20．已知圆O1：（x+1）2+y2=1，圆O2：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆O1外切且与圆O2内切，圆心P的轨迹为曲线E．

（1）求E的方程；

（2）过O2的直线l交E于A，C两点，设△O1AO2，△O1CO2的面积分别为S1，S2，若S1=2S2，求直线l的斜率．

21．设函数f（x）=aex+b，g（x）=x2+cx+d，若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，），且在点P处有相同的切线y=x+．

（1）求a，b，c，d的值；

（2）若函数h（x）=f（﹣|x|+1）﹣g（x+t）（t＞0）存在零点，求证：0＜t≤1．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．选修4﹣1：几何证明讲

已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．

（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．

（1）求△OAB内切圆C的普通方程，并化为参数方程及极坐标方程；

（2）设P是圆C上任一点，求|PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

24．函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|（x∈R）．

（1）求不等式f（x）＜4的解集M；

（2）若a∈M，b∈M，求证：||＜1．

2016年江西省赣州市高考数学适应性试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．若复数Z满足（3﹣4i）Z=|4+3i|，则Z的共轭复数的虚部为（　　）

A．4    B．    C．﹣4    D．﹣

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把给出的等式两边同时乘以，求出分子的模后利用复数代数形式的除法运算化简，再求出Z的共轭复数，则答案可求．

【解答】解：由（3﹣4i）Z=|4+3i|，

得

=．

∴．

∴Z的共轭复数的虚部为．

故选：D．

2．已知集合E={x∈R|x2﹣2x＞0}，F={x∈R|log2（x+1）＜2}，则（　　）

A．E∩F=∅    B．E∪F=R    C．E⊆F    D．F⊆E

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出E与F中不等式的解集确定出E与F，找出两集合的交集并集即可．即判断E与F的关系即可．

【解答】解：E={x∈R|x2﹣2x＞0}={x＜0，或x＞2}，

∵log2（x+1）＜2=log24，

∴0＜x+1＜4，

∴﹣1＜x＜3，

∴F={x|﹣1＜x＜3}，

∴E∩F={﹣1＜x＜0或2＜x＜3}，

E∪F=R，

故选：B

3．已知角θ的顶点在平面直角坐标系xOy原点O，始边为x轴正半轴，终边在直线x﹣2y=0上，则sin2θ=（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

【考点】二倍角的正弦；直线的倾斜角．

【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值

【解答】解：∵角θ的顶点在平面直角坐标系xOy原点O，始边为x轴正半轴，终边在直线x﹣2y=0上，

∴tanθ=，

则sin2θ===，

故选：A．

4．已知命题p1：函数y=ex﹣e﹣x在R上为增函数；命题p2：函数y=ex+e﹣x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2，q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（　　）

A．q1、q3    B．q2、q3    C．q1、q4    D．q2、q4

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，然后根据复合命题真假之间的关系进行判断即可．

【解答】解：函数y=ex﹣e﹣x的导数f′（x）=ex+e﹣x≥2=2＞0，则函数f（x）为增函数，故命题p1为真命题．，

函数y=ex+e﹣x的导数f′（x）=ex﹣e﹣x，

由f′（x）=ex﹣e﹣x＞0得ex＞e﹣x，即x＞﹣x，即x＞0时，函数f（x）为增函数，故命题p2为假命题．，

则q1：p1∨p2，为真命题．

q2：p1∧p2，为假命题．

q3：（￢p1）∨p2，为假命题．

q4：p1∧（￢p2）为真命题．

故选：C

5．已知a＞0，x，y满足线性约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（　　）

A．    B．    C．1    D．2

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（1，﹣2a），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，

由图可知，当直线y=﹣2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2﹣2a=1，

即a=．

故选：B．

6．一个底面边长为2的正四棱柱截去一部分得到一个几何体，该几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为13，则图中x的值为（　　）

A．2.5    B．3    C．2    D．1.5

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图知该几何体是一个正四棱柱截去一个三棱柱所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．

【解答】解：根据三视图可知几何体是一个正四棱柱截去一个三棱柱所得的组合体，

直观图如图所示：截面是平行四边形ABCD，

∵该几何体的体积为13，正四棱柱的底面边长为2，

∴=13，解得x=2.5，

故选：A．

7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上的一点，若|AF1|=2|AF2|，则cos∠F1AF2=（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据双曲线的定义结合余弦定理进行转化求解即可．

【解答】解：∵|AF1|=2|AF2|，

∴点A在双曲线的右支上，

∵|AF1|﹣|AF2|=2|AF2|﹣|AF2|=|AF2|=2a，

∴|AF1|=4a，

∵双曲线的离心率为，

∴e=，

则cos∠F1AF2====﹣•=﹣•e2=﹣×3=，

故选：D

8．小明有3本相同的小说，3本相同的漫画，从中取出4本赠送给4位同学，每位同学1本，则不同的赠送方法共有（　　）

A．12种    B．14种    C．16种    D．18种

【考点】计数原理的应用．

【分析】根据4本情况不同，即可分为3类，根据分类计数原理．

【解答】解：若4本中有3本小说和1本漫画，则有4种方法，

若4本中有1本小说和3本漫画，则有4种方法，

若4本中有2本小说和2本漫画，则有C42=6种方法，

根据则不同的赠送方法共有4+4+6=14种，

故选：B．

9．关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|（x∈R），有如下结论：

①函数f（x）的周期是；

②函数f（x）的值域是[0，]；

③函数f（x）的图象关于直线x=对称；

④函数f（x）在（，）上递增．

其中正确命题的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】根据三角函数的图象关系，将函数f（x）表示为分段函数形式，作出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．

【解答】解：当2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，f（x）=sinx+cosx=sin（x+），

当2kπ+＜x≤2kπ+π，k∈Z，f（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣），

当2kπ+π＜x≤2kπ+，k∈Z，f（x）=﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+），

当2kπ+＜x≤2kπ+2π，k∈Z，f（x）=﹣sinx+cosx=﹣sin（x﹣），

作出函数f（x）的图象如图：

①函数f（x）的周期是；正确，故①正确，

②函数f（x）的值域是[1，]；故②错误

③函数f（x）的图象关于直线x=对称；正确，故③正确，

④函数f（x）在（，）上递增．正确，故④正确，

故选：C

10．如图是用二分法求函数f（x）在区间（a，b）上的零点的程序框图，若输入的函数为f（x）=log2x+x﹣，则输出的n的值为（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，c，a的值，当a=时，满足条件b﹣a＜0.1，退出循环，输出n的值为3，从而得解．

【解答】解：模拟执行程序，可得：

当a=0，b=1，c=时，不满足条件f（c）=0，满足条件f（b）f（c）＜0，a=，不满足条件b﹣a＜0.1，n=1，

当a=，b=1，c=时，不满足条件f（c）=0，满足条件f（b）f（c）＜0，a=，不满足条件b﹣a＜0.1，n=2，

当a=，b=1，c=时，不满足条件f（c）=0，满足条件f（b）f（c）＜0，a=，不满足条件b﹣a＜0.1，n=3，

当a=，b=1，c=，不满足条件f（c）=0，满足条件f（b）f（c）＜0，a=，

此时，满足条件b﹣a＜0.1，退出循环，输出n的值为3．

故选：B．

11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（　　）

A．4π    B．8π    C．12π    D．16π

【考点】球内接多面体．

【分析】根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．

【解答】解：根据题意作出图形

设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，

延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．

∵CO1=，

∴OO1=，

∴高PD=2OO1=2，

∵△ABC是边长为1的正三角形，

∴S△ABC=，

∴V三棱锥P﹣ABC=××2=，

∴r=1．则球O的表面积为4π．

故选：A．

12．如图，直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，其中A是切点，记h（x）=，g（x）=ax﹣f（x），则（　　）

A．g（x）的极小值点小于极大值点，且极小值为﹣2

B．g（x）的极小值点大于极大值点，且极大值为2

C．h（x）只有一个极值点

D．h（x）有两个极值点，且极小值点小于极大值点

【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】设f（x）的极大值点为m，f′（m）=a，x＜m，f′（x）＞a，x＞m，f′（x）＜a，判断g′（m）=0，x＜m，g′（x）＜0，x＞m，g′（x）＞0，即可得出结论．

【解答】解：∵直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，

∴ax+2=f（x）有两个解，

设f（x）的极大值点为m，∴f′（m）=a，x＜m，f′（x）＞a，x＞m，f′（x）＜a．

g（x）=ax﹣f（x），g′（x）=a﹣f′（x），∴g′（m）=a﹣f′（m），

∴g′（m）=0，x＜m，g′（x）＜0，x＞m，g′（x）＞0，

∴x=m是函数的极小值点，且g（m）=am﹣f（m）=﹣2，

同理g（x）有极大值，

故选：A

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（+）5（a为实常数）的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中的常数项是　5　（用数字作答）

【考点】二项式定理的应用．

【分析】先求出a的值，再利用二项展开式的通项公式求得该展开式中的常数项．

【解答】解：∵（+）5（a为实常数）的展开式中各项系数的和为32，

令x=1，可得（+）5=（1+a）5=32，∴a=1，

故 （+）5=（+）5的展开式的通项公式为Tr+1=•，

令5﹣5r=0，可得r=1，故该展开式中的常数项是=5，

故答案为：5．

14．已知向量，的夹角为60°，||=1，|2﹣|=，则||=　1　．

【考点】向量的模．

【分析】由已知向量模的等式两边平方得到两个向量的模的关系即可

【解答】解：∵向量，的夹角为60°，||=1，|2﹣|=，

∴|2﹣|2==3，

解得： =1．

故答案为：1

15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，若以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D，且FB⊥FD，△ABD的面积为，则圆F的方程为　=2　．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设l与x轴相交于点M，由F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D，且FB⊥FD，可得|FM|=|MB|=|MD|，可得|AF|=|BF|=p，利用△ABD的面积=|BD|•p，解得p，即可得出．

【解答】解：设l与x轴相交于点M，过点A作AN⊥l，垂足为N，则|AN|=|AF|．

∵F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D，且FB⊥FD，

∴|FM|=|MB|=|MD|，

∴|AF|=|BF|=p，

∴△ABD的面积=|BD||AN|=|BD|•p=×2p×p=，解得p=1．

∴圆F的方程为： =2．

故答案为： =2．

16．△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，则tan（A﹣B）的最大值是　　．

【考点】正弦定理．

【分析】由已知式子和正弦定理以及三角函数公式可得tanA=3tanB，且tanA＞0．tanB＞0，由两角差的正切公式可得tan（A﹣B）=，由基本不等式可得．

【解答】解：∵△ABC中acosB﹣bcosA=c，

∴由正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，

∴2sinAcosB﹣2sinBcosA=sinC=sin（A+B），

∴2sinAcosB﹣2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB，

整理可得sinAcosB=3cosAsinB，∴tanA=3tanB，

由三角形内角的范围易得tanA＞0．tanB＞0，

∴tan（A﹣B）==

=≤=

当且仅当=3tanB即tanB=即B=时tan（A﹣B）取最大值

故答案为：．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．设等差数列{an}前n项和为Sn，且a5+a6=24，S11=143．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{cn}的前n项和为Tn，且2=λTn﹣2（λ是非零实数），{cn}是等比数列吗？若是，求λ的值；若不是，说明理由．

【考点】数列的求和．

【分析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式求得答案；

（2）把（1）中求得的{an}的通项公式代入2=λTn﹣2，得到Tn，分类求出{cn}的通项公式，由首项不适合n≥2时的通项公式，可得{cn}不是等比数列．

【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由a5+a6=24，S11=143，

得，解得a1=3，d=2．

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；

（2）由2=λTn﹣2，且an=2n+1，

得22n=λTn﹣2，

∴，

则；

当n≥2时， =．

验证不适合上式，

∴数列{cn}不是等比数列．

18．某校就开展“学习习惯养成”教育活动的情况进行调查，随机抽取了16名学生进行测试，用“10分制”以茎叶图方式记录了他们的测试分数（如图），若所得分数不低于9.5分，则称该学生“学习习惯非常好”．

（1）现从这16人中随机选取3人，求至少有1人“学习习惯非常好”的概率；

（2）以这16人的样本数据估计该所学校学生的总体数据，若从该学校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“学习习惯非常好”的人数，求X的分布列及数学期望EX．

【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（1）由茎叶图得这16人中，“学习习惯非常好”的人数为4人，现从这16人中随机选取3人，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人“学习习惯非常好”的概率．

（2）以这16人的样本数据估计该所学校学生的总体数据，则“学习习惯非常好”的概率为，从该学校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“学习习惯非常好”的人数，则X～B（3，），由此能求出X的分布列及数学期望EX．

【解答】解：（1）由茎叶图得这16人中，“学习习惯非常好”的人数为4人，

∴现从这16人中随机选取3人，

至少有1人“学习习惯非常好”的概率P=1﹣=．

（2）以这16人的样本数据估计该所学校学生的总体数据，则“学习习惯非常好”的概率为，

从该学校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“学习习惯非常好”的人数，则X～B（3，），

P（X=0）==，

P（X=1）==，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

∴X的分布列为：

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，G为ABC的重心，BE=BC1．

（1）求证：GE∥平面AA1B1B；

（2）若侧面ABB1A1⊥底面ABC，∠A1AB=∠BAC=60°，AA1=AB=AC=2，求直线A1B与平面B1GE所成角θ的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）连结CG交AB于O，过G作GD∥AB交BC于D，连结DE，GE，根据重心的性质得出，故而可证平面DGE∥平面ABB1A1，从而得出GE∥平面ABB1A1；

（2）连结A1O，可证A1O⊥平面ABC，以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面B1GE的法向量的坐标，则sinθ=|cos＜＞|．

【解答】证明：（1）连结CG交AB于O，过G作GD∥AB交BC于D，连结DE，GE．

∵G是△ABC的重心，∴，

又，∴DE∥CC1，

∴DE∥BB1，又GD∥AB，GD∩DE=D，AB∩BB1=B，

∴平面GDE∥平面ABB1A1，

∵GE⊂平面ABB1A1，

∴GE∥平面ABB1A1．

（2）连结AO，

∵AA1=2，AO=，∠A1AB=60°，

∴A1O===．

∴AO2+A1O2=AA12，∴A1O⊥AB．

∵侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，A1O⊂平面ABB1A1，

∴A1O⊥平面ABC．

∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，

∴OC⊥AB，

以O为原点，以OC，OB，OA1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A1（0，0，），B（0，1，0），G（，0，0），B1（0，2，），C1（，1，），

∴=（0，1，﹣），=（﹣，2，），=（，0，），=（﹣，1，0），

∴===（0，1，）．

设平面B1GE的法向量为=（x，y，z），则，

∴，令z=得=（，﹣1，）．

∴cos＜＞==﹣．

∴sinθ=|cos＜＞|=．

20．已知圆O1：（x+1）2+y2=1，圆O2：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆O1外切且与圆O2内切，圆心P的轨迹为曲线E．

（1）求E的方程；

（2）过O2的直线l交E于A，C两点，设△O1AO2，△O1CO2的面积分别为S1，S2，若S1=2S2，求直线l的斜率．

【考点】轨迹方程．

【分析】（1）由于圆O1：（x+1）2+y2=1，圆O2：（x﹣1）2+y2=9，动圆P分别与圆O1相外切，与圆O2相内切．故可知动点P到两个定点O1（﹣1，0）、O2（1，0）的距离之和为4，从而轨迹是椭圆，故可求方程；

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=ty+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由面积关系得到A、C两点的纵坐标得关系，则t可求，直线的斜率可求．

【解答】解：（1）设P（x，y），动圆P的半径为r（r＞0），

则由题意知|PO1|=1+r，|PO2|=3﹣r，

于是|PO1|+|PO2|=4，即动点P到两个定点O1（﹣1，0）、O2（1，0）的距离之和为4．

又∵4=|PO1|+|PO2|＞|O1O2|=2，

∴点P在以两定点O1（﹣1，0）、O2（1，0）为焦点，4为长轴长的椭圆上．

设此椭圆的标准方程为（a＞b＞0），

由a=2，c=1，得b2=a2﹣c2=3．

因此，动圆圆心P所在的曲线方程为；

（2）如图，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．

设直线l的方程为x=ty+1，

联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0．

解得：，

由S1=2S2，得，解得（舍去）或．

∴直线l的斜率k=．

21．设函数f（x）=aex+b，g（x）=x2+cx+d，若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，），且在点P处有相同的切线y=x+．

（1）求a，b，c，d的值；

（2）若函数h（x）=f（﹣|x|+1）﹣g（x+t）（t＞0）存在零点，求证：0＜t≤1．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）由题意可得f（0）=g（0）=，f′（0）=g′（0）=a=c=，即可解得a，b，c，d的值；

（2）由函数h（x）存在零点，可得y=e﹣|x|和y=（x+t+）2+的图象有交点，作出y=e﹣|x|和y=（x+）2+的图象，由图象平移和相切的性质，设出切点（m，em），（m＜0），求得导数，可得m，t的方程，解得m=﹣1，t=1，即可得到t的范围．

【解答】解：（1）由题意可得f（0）=g（0）=，即为a+b=d=，

又f（x）的导数为f′（x）=aex，g（x）的导数为g′（x）=2x+c，

由题意可得f′（0）=g′（0）=a=c=，

综上可得，a=，b=0，c=，d=；

（2）证明：函数h（x）=f（﹣|x|+1）﹣g（x+t）

=e1﹣|x|﹣1﹣[（x+t）2+（x+t）+]=e﹣|x|﹣[（x+t+）2+]，

由函数h（x）存在零点，

可得y=e﹣|x|和y=（x+t+）2+的图象有交点，

作出y=e﹣|x|和y=（x+）2+的图象，

由t＞0可得将抛物线的图象向左平移可得y=（x+t+）2+的图象，

当图象经过点（0，1）时，1=（t+）2+，解得t=1﹣，

当抛物线的图象与y=e﹣|x|的图象相切时，设切点为（m，em），（m＜0），

由切线的斜率相等，可得em=2（m+t+），

且em=（m+t+）2+，解得m=﹣1，t=1，

则t的范围是0＜t≤1．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．选修4﹣1：几何证明讲

已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．

（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．

【考点】弦切角；圆內接多边形的性质与判定．

【分析】首先对于（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．

对于（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．

【解答】解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点

∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，

即AD的延长线平分∠CDE．

（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．

连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．

设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，

外接圆的面积为4π．

故答案为4π．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．

（1）求△OAB内切圆C的普通方程，并化为参数方程及极坐标方程；

（2）设P是圆C上任一点，求|PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）把参数方程化为普通方程，求得A、B的坐标，求得△OAB内切圆C的普通方程，再把它化为极坐标方程．

（2）设P（x，y）是圆C上任一点，则利用参数方程化简|PO|2+|PA|2+|PB|2为 20﹣2sinθ，再利用正弦函数的值域求得它的范围．

【解答】解：（1）把直线l的参数方程为（t为参数），化为参数方程为4x+3y﹣12=0，

它与x，y轴的正半轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，a＞0．

设△OAB内切圆C的圆心为C（a，a），由a=，求得a=6（舍去），或 a=1，

故△OAB内切圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，化为参数方程为（θ为参数）；

化为极坐标方程为（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣1）2=1．

（2）设P（x，y）是圆C上任一点，

则|PO|2+|PA|2+|PB|2=x2+y2+（x﹣3）2+y2+x2+（y﹣4）2=3x2+3y2﹣6x﹣8y+25

=3（1+cosθ）2+3（1+sinθ）2﹣6（1+cosθ）﹣8（1+sinθ）+25=20﹣2sinθ，

由于sinθ∈[﹣1，1]，∴20﹣2sinθ∈[18，22]，即|PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围为[18，22]．

[选修4-5：不等式选讲]

24．函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|（x∈R）．

（1）求不等式f（x）＜4的解集M；

（2）若a∈M，b∈M，求证：||＜1．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得等式f（x）＜4的解集为M．

（2）当a、b∈M时，可得 a2＜1，b2＜1，可得（a2﹣1）（1﹣b2）＜0，即a2+b2＜1+a2b2，从而证得|a+b|＜|1+ab|成立，从而证出结论．

【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|=2（|x﹣|+|x+|）

表示数轴上的x对应点到﹣、对应点的距离之和，

而1和﹣1对应点到﹣、对应点的距离之和正好等于2，

故不等式f（x）＜4即|x﹣|+|x+|＜2的解集为M=（﹣1，1）；

（2）当a、b∈M时，

﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1，

∴a2＜1，b2＜1，

∴（a2﹣1）（1﹣b2）＜0，

即 a2+b2＜1+a2b2，

∴（a+b）2＜（1+ab）2，

∴|a+b|＜|1+ab|，

∴||＜1．

2016年9月17日