复变函数A答案卷

科目：《复变函数》试题（A）答案卷 

一、填空题：（每题3分，共9分）在以下各小题中划线处填上答案。

、设，， 则指数形式为，指数形式为.

、函数在区域内解析的充要条件为满足柯西-黎曼方程.

、级数的收敛半径为.

二、选择题（每题4分，共12分 选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）

1、设为复数，则方程的解为（ A   ）

  A、     B、      C、      D、

2、设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是                                          （   C ）

  A、          B、

  C、          D、

3、函数在平面上的奇点个数为（   D）

  A、1          B、2         C、3          D、无穷多个

三 、计算题。（前三小题每题8分，第四小题每小问5分，共39分）（注意：答题时要列出详细运算步骤并计算出中间运算数值和最终计算结果。）

、；其中表示以为心，为半径的圆周.

解： 当时，的参数方程为：，，所以：

2） 当时， 

   、；    其中表示右半圆周，，，起点为，终点为.

解:   因为在上解析，故：

、；其中表示绕一周的围线.

解：  

、设，在平面上只有两个奇点：及，试分别在圆:；圆环:；圆环：内求的展式. 

解：  由

      因，故.

         所以.

      在内，，，

         所以

      在内，，，故：

四、证明求解题（每题10分，共20分）

、设， 试证：在原点不连续.

证明：因为若函数在原点连续是指对平面上变量以任意路径趋向原点时都要满足连续定义.为此，令且时有：

 所以函数在原点不连续.

、试证是平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使合.

（1）证明：  对于显然有：，  

                          ，       

所以满足方程，即为调和函数.

（2）解： 

       故

       又由于，有,

       所以.

五、综合运用题：（每题10分，共20分）

、讨论的可微性和解析性.

解：  设， 

      所以：， 

          ，  

       即：.

       而要使,则必有.

       故仅在直线上满足条件，且偏导数连续，

       所以：在上可微，而在平面上处处不解析.

、计算的值，其中.

解：显然此时被积函数分母不为零，由于

                   ，

所以有：

显然被积函数有三个极点，且在内为二级极点，为一级极点，而：

所以：

说明：此题有多种解法，结果正确亦可.

[补充](B卷题）

     、证明三角形内角和为.

证明：如图所示，设三角形的三个顶点分别为，，；对应的三个顶角分别设为，，.于是有：

      又由于：

       即为一整数.

       又,得此时

                     ，故，

       所以.