北京市大兴区2016届高三4月统一练习理数试题Word版含答案.doc

数学（理科）

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数，则等于（ ）

A．1             B．          C．            D．2

2.在方程为参数）所表示的曲线上的点是（ ）

A．        B．       C．      D．(1,0)

3.设公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则等于（ ）

A．           B．         C．7       D．14

4.将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的一个增区间是（ ）

A．           B．       C．       D．

5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（ ）

A．        B．       C．      D．

6.下列函数：①；②；③；④中，在上是增函数且不存在零点的函数的序号是（ ）

A．①④        B．②③       C．②④       D．①③④

7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（ ）

A．12          B．10         C．8          D．6

8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）

A．336             B．510         C．1326        D．3603

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9.展开式中的系数等于______.

10.已知向量，且，则实数x等于_______.

11.若双曲线的一条渐近线方程是，则它的离心率等于______.

12.为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数，众数为，平均数为，则，，之间的大小关系是_____.

13.已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于______，△ABD的面积等于______.

14.已知函数，若在其定义域内存在个不同的数，使得，则n的最大值是______；若，则的最大值等于_______.

三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

15.（本小题满分13分）

如图，在四边形ABCD中，AB=4，，.

（1）求sin∠B；

（2）若AB=4AD，求CD的长.

16.（本小题满分12分）

2015年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和中国十佳最美丽城市，见下表：

（1）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得到的平均数分别为与，方差分别为与，试比较与，与的大小；（只需写出结论）；

（2）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率；

（3）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个城市进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望.

17.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点.

（1）求证：AM∥平面PCD；

（2）求证：平面ACM⊥平面PAB；

（3）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长.

18.（本小题满分13分）

已知函数，其中.

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）当a>0时，判断函数零点的个数.（只需写出结论）.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆的长轴长为，右焦点F(1,0)，过F作两条互相垂直的直线分别交椭圆G于点A，B和C，D，设AB，CD的中点分别为P，Q.

（1）求椭圆G的方程；

（2）若直线AB，CD的斜率均存在，求的最大值，并证明直线PQ与x轴交于定点.

20.（本小题满分13分）

数列是由1,2,3，...，2016的一个排列构成的数列，设任意m个相邻项的和构成集合B，即.

（1）若m=8，求B中元素的最大值；

（2）下列两种情况下，集合B能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列，若不能，说明理由.

①；

②.

（3）对于数列，若m=8，记B中元素的最大值为S，试求S的最大值.

北京市大兴区2016年高三统一练习

高三数学（理科）参

一、选择题：BCCCAADB

二、填空题

9.10        10.9       11.      12.      13.     14.

三、解答题

15.解：（1）因为，

所以，

由正弦定理知，，即，解得.

（2）因为AB=4且AB=4AD，所以AD=1.

因为，所以，

即，

（2）记选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”为事件A，

由已知，既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟台.所以.

（3）X=0,1,2，

，，

，

则X的分布列为

17.（1）证明：取PC中点N，连接NM，ND，

因为M为PB的中点，N为PC的中点，

所以MN∥BC且，

因为AD∥BC且，

所以MN∥AD且MN=AD，

所以AMND为平行四边形，所以AM∥ND.

又因为AM平面PCD，DN平面ABCD，所以AM∥平面PCD.

（2）证明：因为PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PA⊥AC.

因为AD=CD=1，AD⊥CD，所以，

因为△ABC中，ACB=45°，，BC=2，所以.

因为，所以∠CAB=90°，所以AC⊥AB，

又因为PA∩AB=A，所以AC⊥平面PAB，

又因为AC平面ACM，所以平面ACM⊥平面PAB.

（3）过C作KC∥PA，则KC⊥平面ABCD.

因为CD，CB，CK两两垂直，如图建立空间直角坐标系C-xyz，

则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,2,0),

设P(1,1,a)(a>0)，则，

设平面ACM的法向量为，，，

则即

设x=1，则y=-1，，所以，，

设直线PC与平面ACM所成角为，

则，

解得，所以.

18.解：（1）当时，，，

，所以切线方程为y+3=0.

（2）的定义域：，

，

令，，

当a<0时，令，得01，

的增区间为(0,1)，的减区间为.

当时，恒成立，在上单调递增，

当时，，0所以的增区间为(0,1)，，的减区间为.

当时，，x>1或，，，

所以的增区间为，，的减区间为.

（3）当a>0时，零点的个数为1.

19.解：（1）由题意，c=1，，所以，

所以，所以椭圆G的方程为.

（2）①证明：F（1,0），由题意设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0）

由，消元得，

设，则，

所以AB的中点P的坐标为，

又由题意直线CD的方程为，

同理可得CD的中点Q的坐标为，

所以

.

当且仅当，即时，有最大值.

又当直线PQ⊥x轴时，，即时，

这时直线PQ的方程为，恒过定点.

当直线PQ有斜率时，直线PQ的斜率为，

所以直线PQ的方程为，

令y=0，得，恒过定点，

综上所述，直线PQ恒过定点.

20.解：（1）B中元素的最大值

x=2016+2015+2014+2013+2012+2011+2010+2009=16100.

（2）①数列：2016,1,2015,2,2014,3，...，1009,1008能使集合B只有一个元素，

这时

=(2017-(4k+1)+2-17-(4k+2)+2017-(4k+3)+2017-(4k+4))+((4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4))

=2017×4=8068，所以.

②当m=3，n=3k，k=0,1,2,....,671时，没有这样的数列使集合B只有一个元素.

证明：假设存在一个数列使集合B只有一个元素，由题意，数列中的2016个数分为672段，每段和都相等，设和为T，则有，

所以，与T是整数矛盾，假设不成立.

当时，没有这样的数列使集合B只有一个元素.

（3）S的最小值为8068.

由题意，

所以，即.

要求所有S中的最小值，我们构造这样的数列

设任意相邻的和为，则

=(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+((2017-n-1)+(2017-n-2)+(2017-n-3)-(2017-n-4))

=2016×4=80(n=1,2,...,1004)

或

=80+(2017-n)-(2017-n-4)=8068，(n=1,2,...,1005),

所以，即对这样的数列，S=8068，

又因为，所以S=8068.