高中数学选修2-1同步练习题库：空间向量及其运算(填空题：一般)

1、在空间直角坐标系中，设，，且，则       .

2、如图，平行六面体中， ，则的长为__________

3、已知，平面与平面的法向量分别为，，且，，则__________.

4、如图，已知边长为1的正的顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点分别为在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为.若是以角为直角的直角三角形，则的最小值__________.

5、若向量，满足条件，则 __________．

6、已知向量，且与互相垂直，则_____.

7、设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则(x，y，z)为__________

8、设是三棱锥的底面重心，用空间的一组基向量表示向量

________________________

9、已知向量，满足，，，__________．

10、已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：

①；      ②；          ③

④函数在上是增函数，在上是减函数.

其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）

11、如图：长方体ABCD—ABCD中，AB=3，AD=AA=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC的中点，P为CD上动点，当EF⊥CP时，PC=_________． 

12、已知M1（2，5，-3），M2（3，-2，-5），设在线段M1M2的一点M满足=，则向量的坐标为_________。

13、在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为__________．

14、已知三点，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标是________________．

15、已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是_____________.

16、在平行六面体中，若，则__________

17、如图，在正方体中，用，，作为基向量，则__________.

18、已知四面体中，，，，的中点分别为，，则______.

19、已知，，，则_____.

20、在正方体中，给出以下向量表达式：

①；②；

③；④.

其中能够化简为向量的是________．

21、已知，，三点共线，则对空间任一点，存在三个不为的实数，，，使，那么的值为________．

22、如图，四面体的每条棱长都等于，点，分别为棱，的中点，则__________；__________．

23、已知向量，，且，则       .

24、在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点．若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是__________．

25、已知，，，若向量共面，则         ．

26、已知，，，若向量共面，则       ．

27、若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于_________。

28、已知向量，且，则          ．

29、已知空间两点P（－1,2，－3），Q（3，－2，－1），则P、Q两点间的距离是______．

30、已知，，，若向量共面，则        ．

31、已知单位向量两两的夹角均为，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系O-xyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作有下列命题：

①已知，则·=0；

②已知其中xyz≠0，则当且仅当x=y时，向量，的夹角取得最小值；

③已知

④已知则三棱锥O—ABC的表面积，

其中真命题有     （写出所有真命题的序号）

32、若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于          ．

33、若，，三点共线，则=    

34、已知点，，点在轴上，且点到的距离相等，则点的坐标为___________．

35、已知向量，若，则          ;

36、在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，-3，1），则|AB|=_________.

37、已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．则以为边的平行四边形的面积为________．

38、已知向量，，.若与共线，则=   . 

39、[2014·泉州模拟]如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．

40、已知向量a=(1,－2)，b=(4,2)，c=(x,y).若|c|的取值范围是[0，5]，则实数=(c-a)∙(c-b)的最大值为       .

41、在空间直角坐标系中，已知M（2，0，0），N（0，2，10），若在z轴上有一点D，满足，则点D的坐标为                  ．

42、在棱长为1的正方体中ABCD=A1B1C1D1，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于   。

43、已知为单位正交基，且，则向量的坐标是______________________．

参

1、1

2、

3、3

4、

5、2

6、

7、

8、；

9、

10、①④

11、

12、

13、

14、

15、

16、

17、

18、

19、

20、①②

21、0

22、   

23、

24、

25、3 

26、3

27、

28、0

29、6

30、3

31、②③

32、

33、0

34、（0,0,3）

35、

36、.   

37、

38、1

39、(1,1,1)

40、0

41、（0，0，5 ）

42、

43、

【解析】

1、试题分析：，解得：，故填：1.

考点：空间向量的坐标运算

2、 

所以

3、∵，且平面与平面的法向量分别为，，

∴，

解得：．

4、

如图建系，设，则，可得且，故，又因为，故,又, 故，又因为且，故，故答案为.

5、因为向量，所以，则，解之得，应填答案。

6、由题意可得：

与互相垂直，

即，所以，.

7、由题意，又，则，所以．

8、如图所示，

三棱锥中，点是的重心，∴，，

∴，

∴；

∴．

故答案为.

9、因，且，故，即，应填答案。

10、

建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，所以的轨迹的几何意义是以为圆心为半径的球面。则是的函数，当时，以为圆心为半径的圆与正方体的表面的交线是四分之一圆周长弧长，相邻三个侧面的面积之和是，故答案①正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案②不正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案③不正确；由于时，单调递增且当时，最大；当，单调递减，故答案④正确；应填答案①④。

点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的新信息，分别逐一验证所给的四个命题的真伪，进而做出正确判断，从而使得问题获解。难点是如何发挥空间想象能力，求解时充分借助图形的直观，借助与发挥空间想象，探求到轨迹的形状（圆弧、线段），进而求得其长度，以便做出正确的判断。

11、以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵长方体中，，为上一点，且，为的中点，为 上动点，∴，设 ，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∴．故答案为：2．

12、由题设可得，即，也即，故应填答案。

13、试题分析：根据两点间距离公式得：．

考点：空间两点间距离公式．

14、由点在直线上可得存在实数使得，则有，

所以，，

所以，

根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，

此时点的坐标为.

考点：空间向量数量积的坐标运算.

15、由得，则.

考点：空间向量的坐标运算.

16、如图所示，有.

又因为,所以解得

所以

考点：空间向量的基底表示.

17、

，所以.

考点：用向量的线性表达式表示向量.

18、如图所示，取的中点，连接，，则.

考点：空间向量的基底表示.

19、由，得，所以，

所以即所以.

考点：空间向量的数量积.

20、①中，；

②中，；

③中，；

④中，．

考点：空间向量的加减运算.

21、∵，，三点共线，∴存在唯一实数，使，

即，∴，

又，∴，，，

则.

考点：空间向量的加减运算，数乘运算.

22、设中点为，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，，，，，，，∴，，故答案为，.

23、试题分析：由，，可得，再由，可得，因，所以，故答案填.

考点：空间向量及其模的运算.

24、试题分析：，由得，，即．

考点：空间向量的坐标运算.

25、试题分析：由于三个向量共面，所以存在实数，使得，即有，解得.

考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.

26、试题分析：根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可．

因为，，，

所以，

考点：共线向量与共面向量

27、试题分析：设直线与平面所成的角为．

所以．

考点：用空间向量解决立体几何问题．

28、试题分析：因为，所以，解得．

考点：空间向量垂直的充要条件．

【知识点睛】空间向量的概念及运算与平面向量类似，向量加减的平行四边形法则、三角形法则以及相关的运算律仍然成立，因此在空间向量中仍有对于向量，，如果＝常数，则；如果，则．

29、试题分析：直接利用空间两点的距离公式求解即可．

空间两点P（－1,2，－3），Q（3，－2，－1），则P、Q两点间的距离是

考点：空间两点的距离公式的应用

30、试题分析：由于三个向量共面，所以存在实数，使得，即有，解得.

考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.

31、试题分析：①由定义可得，故①错；②由，则，而，根据仿射”坐标的定义可知②正确；③根据仿射”坐标的定义可得

，故③正确；④由已知可知三棱锥O—ABC为正四面体，棱长为1，其表面积为，即④不正确

考点：新定义概念

32、试题分析：设直线与平面所成的角为，．

考点：空间向量法解决立体几何问题．

33、试题分析：，，两个向量平行的条件，可知,故知，解得，故.

考点：空间向量共线的条件，根据空间向量共线来判断多点共线.

34、试题分析：设，由题意，所以，解得

考点：两点间的距离公式

35、试题分析：因为，存在一个实数，使得，可见，则

考点：空间向量的坐标运算，共线向量定理；

36、试题分析：由两点间的距离公式，得

考点：空间中两点间的距离公式

37、试题分析：由空间中两点坐标可得，，由两向量间的夹角公式可得，可知，．

考点：空间向量的坐标运算．

38、试题分析：，因为与共线，所以，解得。

考点：1向量的坐标运算法则；2向量共线问题。

39、设PD＝a，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，

P(0,0，a)，E(1,1，)，

∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)．

由cos〈，〉＝，∴＝a·，

∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．

40、∵=(c-a)∙(c-b)=(1-x,-2-y)∙(4-x,2-y)=x2-5x+y2=(x-)2+y2-()2

∴(x-)2+y2=()2+

又|c|=∈[0， 5]

∴向量c在以原点为圆心,5为半径的圆面上

即以(,0)为圆心的圆,其半径最大值为

∴的最大值为0

41、试题分析：由D在z轴上可设,再由两点间距离公式,

,因为所以,故

考点：两点间距离公式

42、如右图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),,

,设,

则，

由得

,令y=0,x=0则,即点；

令x=1,y=0,则,即点,所以平面与正方体表面的交线构成一个平行矩形EFGH，此四边形的周长为.

43、略