四川省凉山州2021年中考数学试题真题(Word版+答案+解析)

一、单选题

1.（2021·南宁模拟） （   ）            

A. 2021                        B. -2021                        C.                         D. 

2.（2021·凉山）下列数轴表示正确的是（   ）            

A.                               B. 

C.                               D. 

3.（2021·凉山）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务成功，请将5亿这个数用科学记数法表示为（   ）            

A.                      B.                      C.                      D. 

4.（2021·凉山）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（   ）            

A.                B.                C.                D. 

5.（2017七下·马龙期末）的平方根是（     ）

A. ±3                                B. 3                                C. ±9                                D. 9

6.（2021·凉山）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段  ，点  的对应点  的坐标为  ，则点  的对应点  的坐标为（   ）            

A.                       B.                       C.                       D. 

7.（2021·凉山）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：  

A. 90，80                     B. 16，85                     C. 16，24.5                     D. 90，85

8.（2021·凉山）下列命题中，假命题是（   ）            

A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合

C. 若  ，则点B是线段AC的中点

D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心

9.（2021·凉山）函数  的图象如图所示，则关于x的一元二次方程  的根的情况是（   ）  

A. 没有实数根                                           B. 有两个相等的实数根

C. 有两个不相等的实数根                          D. 无法确定

10.（2021·凉山）如图，  中，  ，将  沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（   ）

A.                                 B. 2                                C.                                 D. 

11.（2021·凉山）点P是  内一点，过点P的最长弦的长为  ，最短弦的长为  ，则OP的长为（   ）            

A.                            B.                            C.                            D. 

12.（2021·凉山）二次函数  的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（   ） 

A.                                                  B. 函数的最大值为 

C. 当  时，                    D. 

二、填空题

13.（2017八下·海淀期中）函数  中，自变量  的取值范围是________．    

14.（2021·凉山）已知  是方程  的解，则a的值为________.    

15.（2021·凉山）菱形  中，对角线  ，则菱形的高等于________.    

16.（2021·凉山）如图，将  绕点C顺时针旋转  得到  .已知  ，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为________.  

17.（2021·凉山）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要________根火柴棍.  

18.（2021·凉山）若关于x的分式方程  的解为正数，则m的取值范围是________.    

19.（2021·凉山）如图，等边三角形ABC的边长为4，  的半径为  ，P为AB边上一动点，过点P作  的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________.  

三、解答题

20.（2021·凉山）解不等式  .    

21.（2021·凉山）已知  ，求  的值.    

22.（2021·凉山）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日颁发了《教育部关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）  

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）获奖总人数为________人，  ________；    

（2）请将条形统计图补充完整；    

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.    

23.（2021·凉山）同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为  ，再从C点出发沿斜坡走  米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为  ，若斜坡CF的坡比为  （点  在同一水平线上）.  

（1）求同学从点C到点D的过程中上升的高度；    

（2）求大树AB的高度（结果保留根号）.    

24.（2021·凉山）如图，在四边形  中，  ，过点D作  于E，若  .  

（1）求证：  ；    

（2）连接  交  于点  ，若  ，求DF的长.    

25.（2021·凉山）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J.Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler.1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系. 

对数的定义：一般地.若  （  且  ），那么x叫做以a为底N的对数，

记作  ，比如指数式  可以转化为对数式  ，对数式  可以转化为指数式  .我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

 ，理由如下：

设  ，则  .

 .由对数的定义得 

又 

 .

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①  ________；②  ________，③  ________；    

（2）求证：  ；    

（3）拓展运用：计算  .    

26.（2021·凉山）如图，  中，  ，边OB在x轴上，反比例函数  的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，  .  

（1）求k的值；    

（2）求直线MN的解析式.    

27.（2021·凉山）如图，在  中，  ，AE 平分  交BC于点E，点D在AB上，  .  是  的外接圆，交AC于点F.  

（1）求证：BC是  的切线；    

（2）若  的半径为5，  ，求  .    

28.（2021·凉山）如图，抛物线  与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，  ，  .  

（1）求抛物线的解析式；    

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大.求出点P的坐标    

（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q.使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在.请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.    

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 A   

【考点】绝对值及有理数的绝对值    

【解析】【解答】解：  的绝对值是2021， 

故答案为：A.

【分析】根据绝对值解答即可.

2.【答案】 D   

【考点】数轴及有理数在数轴上的表示    

【解析】【解答】解：A、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误； 

B、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；

C、没有原点，故表示错误；

D、符合数轴的定定义，故表示正确；

故答案为：D.

 【分析】根据数轴的三要素“原点、正方向、单位长度”并结合各选项即可判断求解.

3.【答案】 B   

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数    

【解析】【解答】解：∵5亿=500000000， 

∴5亿用科学记数法表示为：5×108.

故答案为：B.

 【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.

4.【答案】 C   

【考点】轴对称图形    

【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不合题意； 

B、不是轴对称图形，故不合题意；

C、是轴对称图形，故符合题意；

D、不是轴对称图形，故不合题意；

故答案为：C.

 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.

5.【答案】 A   

【考点】平方根    

【解析】【解答】解：∵  =9，

∴9的平方根为±3 ，

故选A.

6.【答案】 C   

【考点】坐标与图形变化﹣平移    

【解析】【解答】解：∵  ，  ， 

∴平移规律为横坐标减4，纵坐标减4，

∵  ，

∴点B′的坐标为  ，

故答案为：C.

 【分析】根据对应点A、A´的坐标并结合平移规律“左减右加、上加下减”可知平移的方向和距离为：向左平移4个单位长度、向下平移4个单位长度，于是点B´的坐标可求解.

7.【答案】 D   

【考点】中位数，众数    

【解析】【解答】解：90分的有16人，人数最多，故众数为90分； 

处于中间位置的数为第25、26两个数，为80和90，

∴中位数为  =85分.

故答案为：D.

 【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据定义并结合表格中的信息即可求解.

8.【答案】 C   

【考点】立体图形的初步认识，三角形的外接圆与外心，线段的中点，直角三角形斜边上的中线，真命题与假命题    

【解析】【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题； 

B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；

C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点，故为假命题；

D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；

故答案为：C.

 【分析】A、根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可判断求解；

 B、根据等腰三角形的三线合一可得等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合；

 C、根据线段中点的定义可知：在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点；

 D、根据三角形外心的定义"三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心"可判断求解.

9.【答案】 C   

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一次函数图象、性质与系数的关系    

【解析】【解答】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限， 

∴k＜0，b＜0.

在方程  中，

△=  ，

∴一元二次方程  有两个不相等的实数根.

故答案为：C.

 【分析】由直线所在的象限可知k＜0，b＜0；然后计算关于x的一元二次方程的b2-4ac的值，由平方的非负性可知b2-4ac＞0，再根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可判断求解.

10.【答案】 D   

【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题）    

【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， 

∴AB=  =10，

∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，

∴AE=BE，AD=BD=  AB=5，

设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，

在Rt△BCE中

∵BE2=BC2+CE2  ， 

∴x2=62+（8-x）2  ， 解得x=  ，

∴CE=  =  ，

故答案为：D.

 【分析】先用勾股定理可求得AB的值；再由折叠的性质可得AE=BE，AD=BD=AB；设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，再根据线段的构成CE=AC-AE可求解.

11.【答案】 B   

【考点】垂径定理    

【解析】【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P. 

根据题意，得

AB=10cm，CD=6cm.

∴OC=5，CP=3

∵CD⊥AB，

∴CP=  CD=3cm.

根据勾股定理，得OP=  =4cm.

故答案为：B.

 【分析】CD⊥AB于点P，由垂径定理得CP=CD，在直角三角形OCP中，用勾股定理可求解.

12.【答案】 D   

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下， 

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x=-1，

∴  ，即b=2a，则b＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

则abc＞0，故A正确；

当x=-1时，y取最大值为  ，故B正确；

由于开口向上，对称轴为直线x=-1，

则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），

即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），

∴当  时，  ，故C正确；

由图象可知：当x=-2时，y＞0，

即  ，故D错误；

故答案为：D.

 【分析】A、观察图象可知：抛物线的开口向下，抛物线交在y轴的正半轴，对称轴在y轴的左侧且x=-1=-  ， 于是可得a＜0，c＞0，b＜0，然后由多个有理数相乘的符号法则可得abc＞0；

 B、根据抛物线的对称轴为直线x=-1可知：当x=-1时，y取最大值为 ；

 C、由抛物线的对称轴x=-1和抛物线与x轴的其中一个交点（1,0）可知另一个交点坐标为（-3,0），观察图象可知：当-3≤x≤1时，y≥0；

 D、由C的结论可知当x=-2时，y＞0，即y=4a-2b+c＞0.

二、填空题

13.【答案】  且    

【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件    

【解析】【解答】∵   ，

∴  的取值应满足：   ，解得：  且  .

故答案为：  且  .

【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得;x+3≥0,x≠0 ,解得x ≥ − 3  且  x ≠ 0  .

14.【答案】 -1   

【考点】二元一次方程的解    

【解析】【解答】解：根据题意，将x=1，y=3代入方程  ， 

得：  ，

解得：a=-1，

故答案为：-1.

 【分析】由题意把x、y的值代入方程可得关于a的一元一次方程，解这个方程可求解.

15.【答案】    

【考点】菱形的性质    

【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高， 

∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，

∴OB=  BD=12，OA=  AC=5，

在Rt△ABO中，AB=BC=  =13，

∵S菱形ABCD=  ，

∴  ，

解得：AE=  ，

故答案为：  .

 【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，由菱形的性质得OB=BD，OA=AC，在Rt△ABO中，用勾股用定理可求得AB=BC的值，然后根据菱形的面积S=AC×BD=BC×AE可得关于AE的方程，解方程可求解.

16.【答案】    

【考点】扇形面积的计算，旋转的性质    

【解析】【解答】解：如图：由旋转可得： 

∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，

S扇形ACA′=  =  ，

S扇形BCB′=  =  ，

则线段AB扫过的图形的面积为  =  ，

故答案为： 

 【分析】由旋转的性质和扇形的面积S扇形ACA´=并结合阴影部分的面积的构成线段AB扫过的图形的面积=S扇形ACA´-S扇形BCB´可求解.

17.【答案】 2n+1   

【考点】探索图形规律    

【解析】【解答】解：由图可知： 

拼成第一个图形共需要3根火柴棍，

拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，

拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，

...

拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，

故答案为：2n+1.

 【分析】观察图形，找出每一个图形所需的火柴棍的个数，分析每一个数据可得规律：拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍.

18.【答案】 m＞-3且m≠-2   

【考点】分式方程的解及检验，解分式方程    

【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x-1得，  ， 

解得  ，

∵x为正数，

∴m+3＞0，解得m＞-3.

∵x≠1，

∴m+3≠1，即m≠-2.

∴m的取值范围是m＞-3且m≠-2.

故答案为：m＞-3且m≠-2.

 【分析】由题意，方程两边同时乘以x-1并整理得： ，根据方程的解为正数可得m+3＞0，解得m＞-3；由分式方程有意义的条件“分母不为0”可得x≠1即m+3≠1；解这两个不等式即可求解.

19.【答案】 3   

【考点】切线的性质    

【解析】【解答】解：连接QC和PC， 

∵PQ和圆C相切，

∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，

∴当CP最小时，PQ最小，

∵△ABC是等边三角形，

∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，

∵AB=BC=AC=4，

∴AP=BP=2，

∴CP=  =  ，

∵圆C的半径CQ=  ，

∴PQ=  =3，

故答案为：3.

 【分析】连接QC和PC，由圆的切线的性质可知△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，所以当CP最小时，PQ最小，由等腰三角形的三线合一可得当CP⊥AB时，CP最小，然后用勾股定理可求解.

三、解答题

20.【答案】 解：  ，  

去分母，得  ，

去括号，得  ，

移项，得  ，

合并同类项，得  ，

系数化成1，得  

【考点】解一元一次不等式    

【解析】【分析】根据解不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算可求解.

21.【答案】 解：∵  ，  

∴        ，

∴  ，

∴        

【考点】因式分解的应用    

【解析】【分析】将等式=1通分并将x-y=2代入计算可求得xy的值，然后将所求代数式分解因式得原式=xy（x-y）,再把x-y和xy的值代入计算即可求解.

22.【答案】 （1）40；30

（2）解：40-4-8-16=12人， 

补全统计图如下：

（3）解：如图， 

共有12种情况，恰好选中1名男生和1名女生的有6种，

所以恰好选中1名男生和1名女生的概率是  

【考点】扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法    

【解析】【解答】解：（1）8÷20%=40人， 

（40-4-8-16）÷40×100%=30%，

则m=30；

【分析】（1）由条形图和扇形图的信息可知B组的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得 获奖总人数；由各小组频数之和等于样本容量可求得C的频数，再根据百分数=频数÷样本容量可求得C的百分数m的值；

 （2）由（1）的计算可知C的频数，补充条形图即可；

 （3）由题意画出树状图，由树状图的信息可知共有12种情况，恰好选中1名男生和1名女生的有6种，再根据概率公式计算即可求解.

23.【答案】 （1）解：过D作DH⊥CE于H，如图所示： 

在Rt△CDH中，  ，

∴CH=3DH，

∵CH2+DH2=CD2  ， 

∴（3DH）2+DH2=（  ）2  ， 

解得：DH=2或-2（舍），

∴同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米

（2）解：延长AD交CE于点G，设AB=x米， 

由题意得，∠AGC=30°，

∴GH=  =  =  ，

∵CH=3DH=6，

∴GC=GH+CH=  +6，

在Rt△BAC中，∠ACB=45°，

∴AB=BC，

∴tan∠AGB=  ，

解得：AB=  ，

即大树AB的高度为  米

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题    

【解析】【分析】（1）过D作DH⊥CE于H，在Rt△CDH中，根据斜坡CF的坡比为 可得CH=3DH，用勾股定理可得关于DH的方程，解方程可求得DH的值；

 （2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，根据锐角三角函数tan∠AGC=可求得GH的值；由线段的构成GC=GH+CH可求得GC的值；在Rt△BAC中，根据锐角三角函数tan∠AGB=可求得大树AB的高度. 

24.【答案】 （1）证明：过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD， 

∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE，

∴四边形BEDG为正方形，

∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，

∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，

∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°，

∴△ADE≌△CDG（ASA），

∴AD=CD

（2）解：∵∠ADE=30°，AD=6， 

∴AE=CG=3，DE=BE=  =  ，

∵四边形BEDG为正方形，

∴BG=BE=  ，

BC=BG-CG=  -3，

设DF=x，则EF=  -x，

∵DE∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴  ，即  ，

解得：x=  ，

即DF的长为  

【考点】四边形的综合    

【解析】【分析】（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，由题意易证四边形BEDG为正方形，由正方形的性质可得BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，结合已知用角边角可证△ADE≌△CDG，由全等三角形的对应边相等可求解；

 （2）在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得DE=BE的值，由正方形的性质得BG=BE，根据线段的构成BC=BG-CG可求得BC的值，设DF=x，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△AEF∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式  ， 结合已知可得关于x的方程，解方程可求解. 

25.【答案】 （1）5；3；0

（2）证明：设logaM=m，logaN=n， 

∴  ，  ，

∴  ，

∴  ，

∴ 

（3）解：  

= 

= 

=2

【考点】定义新运算    

【解析】【解答】解：（1）①∵  ，∴  5， 

②∵  ，∴  3，

③∵  ，∴  0；

 【分析】

（1）由题意根据对数的性质计算可求解；

 （2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am  ， N＝an  ， 计算  ， 结合材料中的证明过程即可求解；

 （3）根据公式：loga（M•N）＝logaM＋logaN和loga＝logaM−logaN的逆用，即可求解．

26.【答案】 （1）解：设点A坐标为（m，n）， 

∵∠ABO=90°，

∴B（m，0），又AN=  ，

∴N（m，  ），

∵△AOB的面积为12，

∴  ，即  ，

∵M为OA中点，

∴M（  ，  ），

∵M和N在反比例函数图象上，

∴  ，化简可得：  ，又  ，

∴  ，解得：  ，

∴  ，

∴M（2，3），代入  ，

得  

（2）解：由（1）可得：M（2，3），N（4，  ），  

设直线MN的表达式为y=ax+b，

则  ，解得：  ，

∴直线MN的表达式为  

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题    

【解析】【分析】（1）设点A坐标为（m，n），结合已知可得点B（m,0），N（m，n-）,由S△AOB=12=OB×AB可得mn的值，再根据点M、N在反比例函数的图象上可求得m、n的值，把M的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求解；

 （2）由（1）可知点M、N的坐标，用待敌系数法可求得直线MN的解析式.

27.【答案】 （1）证明：连接OE， 

∵OA=OE，

∴∠1=∠3，

∵AE平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OE∥AC，

∴∠OEB=∠C=90°，

则BC为圆O的切线

（2）解：过E作EG⊥AB于点G， 

在△ACE和△AGE中，

 ，

∴△ACE≌△AGE（AAS），

∴AC=AG=8，

∵圆O的半径为5，

∴AD=OA+OD=10，

∴OG=3，

∴EG=  =4，

∴△ADE的面积=  =20

【考点】圆的综合题    

【解析】【分析】（1）连接OE，由角平分线定义和圆的性质易得∠2=∠3，由平行线的判定可得OE∥AC，由平行线的性质得∠OEB=∠C=90°，然后根据圆的切线的判定可求解；

 （2）过E作EG⊥AB于点G，用角角边可证△ACE≌△AGE，则AC=AG，由线段的构成得AD=OA+OD，用勾股定理可求得EG的值，根据S△ADE=AD×EG可求解. 

28.【答案】 （1）解：∵OB=OC=3OA，AC=  ，  

∴  ，即  ，

解得：OA=1，OC=OB=3，

∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入  中，

则  ，解得：  ，

∴抛物线的解析式为  

（2）解：如图，四边形PBAC的面积=△BCA的面积+△PBC的面积， 

而△ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可，

过点P作y轴的平行线交BC于点H，

∵B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，

则  ，解得：  ，

∴直线BC的表达式为y=x+3，

设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），

S△BPC=  =  =  ，

∵  ，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，

此时x=  ，代入  得  ，

∴P（  ，  ）

（3）解：若BP为平行四边形的对角线， 

则PQ∥BM，PQ=BM，

则P、Q关于直线x=-1对称，

∴Q（  ，  ）；

若BP为平行四边形的边，

如图，QP∥BM，QP=BM，

同上可得：Q（  ，  ）；

如图，BQ∥PM，BQ=PM，

∵点Q的纵坐标为  ，代入  中，

解得：  或  （舍），

∴点Q的坐标为（  ，  ）；

如图，BP∥QM，BP=QM，

∵点Q的纵坐标为  ，代入  中，

解得：  （舍）或  ，

∴点Q的坐标为（  ，  ）；

综上：点Q的坐标为（  ，  ）或（  ，  ）或（  ，  ）

【考点】二次函数-动态几何问题    

【解析】【分析】（1）由已知易求得OA、OC=OB的值，于是可得点A、B、C的坐标，用待定系数法可求抛物线的解析式；

 （2）由图知：S四边形PBAC=S△BCA+S△PBC  ， 而△ABC的面积是定值，所以要使四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可；结合二次函数的性质可求解；

 （3）由题意可分三种情况讨论：

 ①若BP为平行四边形的对角线，则PQ∥BM，PQ=BM，则P、Q关于直线x=-1对称，于是可得点Q的坐标；

 ②若BP为平行四边形的边，则BQ∥PM，BQ=PM，同理可求解；

 ③若BP为平行四边形的边，则 BP∥QM，BP=QM，同理可求解.