过两点做圆的相切圆

过圆O外两点AB作圆与此圆相切.

已知:一圆O外两点A,B

求作:过A及B作一圆与圆O相切

作法:1.连AB,作的中垂线L

2.在L上任取一点X为圆心,以AX为半径画圆,使与圆O交於P,Q两点(如果没有交点就没法继续)

3.连PQ,交AB於C

4.过C引圆O的切线,T为切点(有2个切点,结果是外切和内切)

5.连AT或BT,交L於D

6.以D为圆心AD半径画圆即所求

讨论:1.若步骤4过C引的是另一条切线,则将可作出呈内切关系之圆;但若与圆O相切,则仅剩一解.

2.此处与上题在利用切割线定理方面,

3.步骤5运用公切点在连心线上来处理的寻求:

4.若L线过O点,则//,步骤2到4都可省略,情况类似上题的讨论4,但内外切并存.

步骤解析:设法将切割线定理运用出来.首先明确什么是切割线定理,切割线定理是从园外一点P引圆的切线PT,割线PAB交圆于AB,由相似三角形证明PT^2=PA*PB.

由此引申从圆外一点P引无数条割线PA1B1、PA2B2……都有PT^2=PA1*PB1=PA2*PB2=……

反之，凡是满足PT^2=PA1*PB1=PA2*PB2=……,T、A1、A2……B1、B2……都在同一个圆上,且PT是此圆的切线

1.连AB,作的中垂线L

确定圆心的基本方法

2.在L上任取一点X为圆心,以AX为半径画圆,使与圆O交於P,Q两点

PQAB肯定共圆，在圆X上

3.连PQ,交AB於C

由切割线定理CA*CB=CP*CQ,[1]

4.过C引圆O的切线,T为切点

此时过TAB的圆就和圆O相切.为什么,由切割线定理,CP*CQ=CT^2[2],这里有一个代换由[1][2]得CA*CB=CT^2,这个关系,上面讲了,ABT共圆AT是此圆的切线,而AT又是圆O的切线,2个圆相切一定有且只有1条公切线,反之有公切线且有一个公共点的2个圆一定相切,问题转化为已知一个三角形TAB求它的外接圆

(由于作有2条切线,所以1个是内切,一个是外切)

5.连AT或BT,作中垂线,交L於D

6.以D为圆心AD半径画圆即所求

这里大量运用了切割线定理的转换,直接找相切圆困难,转化为圆与线相切,找出共圆的第三点,从而确定圆.