七年级下册数学第一章整式的运算教案

一、整章知识网络

2、整式的考点及知识细化

考点一、整式的有关概念   

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。

注意：单项式的系数一定不能忽略符号！

注意：1、单项式中的数与字母或者字母与字母之间都是乘积关系，如，所以是单项式，而不是单项式。

      2、如果一个单项式只含有字母因数，则它的系数就是1或者-1，此时“1”通常省略不写；π是常数，应作为单项式的系数；单项式的系数包括它前面的符号。

      3、单项式的次数是所有字母的指数和，数的指数和π的指数不能与其他字母的指数相加作为单项式的次数，如的次数是6（=2+4），而不是10.

      4、非零常数的次数是0，而不是1。如，3是一个非零常数，这个单项式中没有字母，因此次数为0.

         5、区分代数式中的整式的关键是看分母中是否含有字母，如是整式，但的分母中含有字母，所以它不是整式。

解题方法总结：

1、单项式的次数是把所有字母的指数相加，不包含数与π的指数；多项式的次数是把多项式中每项的次数都算出来，次数最高的单项式的次数就是这个多项式的次数。

2、整式是单项式和多项式的统称，区分代数中的整式关键是分母中不能含有字母。

考点二、多项式   

1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。

注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

     （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。

2、（1）同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

注意：几个单项式是同类项的条件只有两个：    

 所含字母相同       

 相同字母的指数分别相同。同时具备这两个条件的单项式是同类项，缺一不可

几个单项式是否是同类项，与他们的系数无关，与字母的排列顺序无关。

（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项

合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意：不是同类项不能合并

例题：考点：同类项概念、单项式概念

（2010株洲）在四个代数式中，找出两个同类项并 

   合并

（2008济南）如果是同类项，那么a，b的值为：      

（2009烟台）若与的和是单项式，则：m=____，n=______

3、去括号法则

括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。

括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。

注意：去括号法则的理论实质是乘法对加法的分配率。例如+（a+b-c）=(+1)(a+b-c)=a+b-c;  -(a+b-c)=(-1)(a+b-c)=-a-b+c

例题：考点：去括号和添括号法则

（2009江西）化简：的结果是______

（2010广州）下列运算正确的是：

A． 

B． 

C． 

D． 

4、整式的运算法则

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

整式的乘法：

同底数幂的乘法法则： 

注意：

1、三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，如（m、n、p均为正整数）

2、此性质可以逆用

3、底数不同的幂相乘，不能应用此法则

4、底数是和、差或者其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个整体，如

幂的乘方法则： 

（am）n=am n (m、n都是正整数)

幂的乘方，底数a，指数mn。

注意：

1、此公式可以拓展成为：（m、n、p均为正整数）

2、区别幂的乘方与同底数的幂的乘法。这也是选择题、填空题、计算题考察的重点。

3、此性质可以逆用

积的乘方法则：  

（ab）n=anbn（N是正整数）。

积的乘方等于每个因式分别乘方后的积。

 注意：1、此公式可以拓展成为：（n为正整数）

         2、此性质可以逆用

零指数幂和负整数指数幂：

1、零指数幂： 

解题方法归纳：

1、对于出现同底数幂的除法的式子可直接运用其除法法则计算，若不是同底数，则进行转化，使之成为同底数，有时逆用公式计算更简便。

2、出现零指数幂和负整数指数幂时，直接套用公式，将其转化为正整数指数幂的形式。

2、负整数指数幂： 

整式的乘除法：

1、单项式乘以单项式：

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：

法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：

法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：

法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5、多项式除以单项式：

解题方法归纳：

整式乘法实质上就是运用乘法交换律、结合律、分配律、有理数的乘法法则和同底数幂的乘法法则进行的计算。

法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

整式乘法公式：

1、平方差公式：  

注意：1、平方差公式中的a、b可以是具体的数，也可以是字母、单项式、多项式，也就是说，a、b代表任一个代数式。如

      2、此公式可以逆用

 2、完全平方公式：   

注意：1、公式中的a、b可以是具体的数，也可以是字母、单项式、多项式，也就是说，a、b代表任一个代数式。

2、公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号。若左边的两项同号，则2ab的符号为“+”，若这两项异号，则2ab的符号为“-”。

3、此公式可以逆用。

4、可以拓展为： 

解题方法归纳：

完全平方公式可以变形成为以下几种：；     ；   

；      

例题：考点：幂的乘法、乘方

（2009吉林）计算： =______

（2010成都）化简：的结果是：

A． 

B． 

C． 

D． 

（2009烟台）计算：的结果是：_______

    ④（2009烟台）若与的和是单项式，则：    

⑤（2009泰安）若

整式的除法：当m=n时，    

am÷an=am–n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）。

同底数幂相乘，底数不变, 指数相减. 

注意：

① 幂的指数、底数都应是最简的；

②底数中系数不能为负；

② 幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an bn.

（1）零指数幂：规定“不等于零的任何实数的零次幂都等于1”，即

(2)负整数指数幂：规定任何不等于零的实数的-n（n是正整数）次幂，都等于这个数的n次幂的倒数，即

注意：引入零指数幂和负整数幂以后，指数的范围由正整数扩大到整数，这里需要强调的是指数范围扩大后，幂的性质仍然成立，但必须注意，当指数是零或负整数时，底数不能为零

例题：考点：整式的除法

（2009南宁）计算： =______

（2009安徽）一个矩形的面积为，宽为a，则矩形的长为______

注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

         （3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前    

              面的符号，同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并 

1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12＝__________。

考点：数学在生产中的应用

（2007陕西）搭建如1图所示的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按照2图，3图搭建，则串7顶这样的帐篷需要______根钢管

作业：

1、若x－y＝3，xy＝1，求的值。

2、已知2a＝3，2b＝6，2c＝24，求a、b、c之间的关系。

3、若xm＝3，xn＝2，求① x2m＋3n的值；② x3m－2n的值。

4、若m＋4n－5＝0，求2m·16n的值。

5、先化简，再求值：，其中

6、已知的乘积中不含x3和x2项，求m、n的值。

7、已知a＋b＝3，ab＝，求(1) (a－b)2;  (2) a2－b2;   (3)a3b＋ab3的值