课题：§与三角形的角平分线有关的几个结论

1、三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系

 例1.已知如图1，平分，平分，求与的数量关系.

图3

图2

图1

图2

解法一：如图1，在中，（三角形的三个内角和等于）

平分，平分（已知）

，（角平分线的定义）

在中，（三角形的三个内角和等于）

解法二：如图2，延长交于

是的外角，是的外角

，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

（等量代换）

平分，平分（已知）

，（角平分线的定义）

在中，（三角形的三个内角和等于）

解法三：如图3，连接并延长于

是的外角，是的外角，

，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

即

平分，平分（已知）

，（角平分线的定义）

在中，（三角形的三个内角和等于）

结论：三角形的两条内角平分线的夹角与第三个角的关系是： 

问题：与和之间存在什么样的数量关系？（）

2、三角形中任意一个内角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个内角的关系

 例2.已知如图4，平分，平分外角，求与的数量关系.

        解： 平分，平分（已知）

，（角平分线的定义）

是的外角（已知）

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

图4

是的外角（已知）

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

探究1：（利用例题1中的结论）作∠ACB的平分线交BP于Q.

由结论①可知，∠BQC=90°＋∠A.

由于邻补角的平分线互相垂直，所以∠QCP=90°.

又∠BQC=∠QCP＋∠P，故∠P=∠BQC－∠QCP=（90°＋∠A）－90°=∠A.

图1

结论：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线的夹角与第三个角的关系是： 

3、三角形任意两个内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系．

例3.已知如图5，平分外角，平分外角，求与的数量关系.

解：在中，（三角形的三个内角和等于）

平分，平分（已知）

图5

，（角平分线的定义）

（等量代换）

是的外角，是的外角

，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

在中，（三角形的三个内角和等于）

探究2（利用例题1中的结论）：

作∠ABC，∠ACB的平分线相交于点Q， 则显然有∠BQC=90°＋∠A.

由于邻补角的平分线互相垂直，所以，∠QBP= ∠QCP =90°.

在四边形 QBPC中，

∠BPC=180°+180°－∠QBP－∠QCP－∠BQC

=360°－90°－90°－（90°＋∠A）=90°－∠A.

 结论：三角形的两条外角平分线的夹角与第三个角的数量关系是：