知识讲解_指数函数、对数函数、幂函数综合_基础

【要点梳理】

要点一、指数及指数幂的运算

1.根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

2.n次方根的性质：

(1)当为奇数时，；当为偶数时， 

(2) 

3.分数指数幂的意义：

； 

要点诠释：

0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：

(1)        (2)        (3) 

要点二、指数函数及其性质

1.指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

2.指数函数函数性质：

函数

1.对数的定义

(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：.

2.几个重要的对数恒等式

，，.

3.常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).

4.对数的运算性质

如果，那么

①加法：  ②减法： 

③数乘：   ④

⑤   ⑥换底公式： 

要点四、对数函数及其性质

1.对数函数定义

一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.

2.对数函数性质：

函数

1.反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.

2.反函数的性质

(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.

(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.

(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.

(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.

要点六、幂函数

1.幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.

2.幂函数的性质

 (1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.   

(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. 

(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.

【典型例题】

类型一：指数、对数运算

例1.化简与计算下列各式

（1）；

（2）；

（3）．

【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.

【答案】（1）；（2）100；(3)．

【解析】

(1)原式=

=1+=；

(2)原式=

       =

       =100

(3) 原式=

.

【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的； 

举一反三：

【变式一】化简下列各式：

(1)； (2).

【答案】（1）-27；（2）．

【解析】(1) 

 ；

(2) 

 .

例2． 已知：，求：的值.

【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法.

【答案】2 

【解析】

∴ 当时，.

【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算. 解题时，要注意运用下列各式．，;

例3.计算

(1)； (2)；

(3)． 

【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14．

【解析】(1)原式=；

(2)原式=

       =

       =1-+=1

(3)原式=

=

=2+=3；

【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.

【变式1】=（   ）

A.0           　B.1              C.2              D.4

【答案】C

【解析】=．

【变式2】(1)；(2)．

【答案】(1)2；(2)．

【解析】(1) 原式

           ；

(2) 原式

           ．

类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质

例4.已知函数则(    )

A.4           　B.              C.-4             D.- 

【答案】B

【解析】，.

【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值.

举一反三：

【变式一】已知函数若，则实数等于（    ）．

A.           　B.              C. 2           D. 9

【答案】．

【解析】，由，则有．，，选．

例5.函数的定义域(     ) ．

A.   B.   C.    D. 

【答案】D

【解析】

【总结升华】以对数函数、幂函数为背景的函数定义域问题，一直是高考命题的热点.解答这类问题关键是紧扣真数大于零、底数大于零且不等于1，偶次根号大于等于零、分母不为零．

例6．函数的图象是（    ） 

A．           B．               C．            D．

【答案】B

【解析】先作出的图象，然后作出这个图象关于轴对称的图象，得到的图象，再把的图象右移一个单位，得到的图象，故选B

例7. 函数的单调递增区间是（　）

A．（3，+∞）     B．（－∞，3）    C．（4，+∞）     D．（－∞，2）

【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】D

【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D．

类型三：综合问题

例8.已知函数为常数)

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性.

(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围.

【思路点拨】（1）利用真数大于零求解（2）利用定义去证明函数的单调性

【答案】（1）；（2）f(x)为增函数；（3）a＞1．

【解析】(1)由

∵a＞0，x≥0 

∴f(x)的定义域是.

(2)若a=2，则

设， 则

故f(x)为增函数.

(3)设

   ①

∵f(x)是增函数，

∴f(x1)＞f(x2)

即②

联立①、②知a＞1，

∴a∈(1，+∞).

【总结升华】该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可.

举一反三：

【变式1】已知．

（1）求定义域；

（2）讨论函数的单调区间；

（3）解方程．

【答案】（1）当时，定义域为；当时，定义域为．

（2）当时，函数在上单增；当时，函数在上单增．

（3）．

   【解析】（1）由，得，

 当时，定义域为；当时，定义域为．

 （2）当时，设，则

 ， 

 当时，函数在上增函数；同理可证，当时，函数在上也是增函数．

 （3）由，得，推出，所以，

 ，，， 

 ，（舍），．

【巩固练习】

1．下列函数与有相同图象的一个函数是(    )

A．                 B． 

C．   D． 

2．函数与的图象关于下列那种图形对称(     )

A．轴       B．轴       C．直线     D．原点中心对称

3．设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（    ）

A．    B．   C．   D．

4．函数在上递减，那么在上(    )

A．递增且无最大值  B．递减且无最小值

C．递增且有最大值  D．递减且有最小值

5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（      ） 

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； 

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；  

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；

6．函数的定义域为（    ）；

A． B．   

C． D． 

7．当0A．(0，)．(，1．(1，)．(，2)

8．函数的反函数是（    ）

A． B．      

C． D． 

9．不等式的解集为         .

10．已知函数，对任意都有,则、、的大小顺序是         ．

11．函数的定义域是        ；值域是         .

12．判断函数的奇偶性         .

13．已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性.

14.(1)求函数的定义域；

(2)求函数的值域.

15．已知，求函数的值域.

【答案与解析】

1. 【答案】D 

【解析】，对应法则不同； 

     ；.

2. 【答案】D  

【解析】由得，即关于原点对称.

3. 【答案】D  

【解析】不等式等价于或，解不等式组，可得或，即，故选D.

4. 【答案】A  

【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值.

5. 【答案】C 

【解析】=，只需将的图象上所有点向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，即可得要求的图象．

6. 【答案】D  

【解析】.

故选D.

7. 【答案】B  

【解析】，，又当时， ，所以，即，所以综上得：的取值范围为.

8. 【答案】D  

【解析】由，解得即，故所求反函数为，故选D． 

9. 【答案】  

【解析】依题意得，，，即，解得.

10. 【答案】   

【解析】因为，所以函数的对称轴为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以

11. 【答案】  

【解析】　；.

12. 【答案】奇函数  

【解析】

13．【解析】且，且，即定义域为；

为奇函数；

在上为减函数.

14．【答案】（1）（2）

【解析】(1)，即定义域为；

(2)令，则， ，即值域为.

15．【答案】

【解析】，令则， ，即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值-24，即的最大值为12，最小值为-24，所以函数的值域为．