2021年湖南省湘西州中考数学试卷(附答案详解)

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.2021的相反数是()

A. 1202

B. −2021

C. 1

1202D. −1

2021

2.计算−1+3的结果是()

A. 2

B. −2

C. 4

D. −4

3.据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按

照成绩，取前5名进入决赛.如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的()

A. 平均数

B. 中位数

C. 众数

D. 方差

4.下列计算结果正确的是()

A. (a3)2=a5

B. (−bc)4÷(−bc)2=−b2c2

C. a÷b⋅1

b =a

b2

D. 1+1

a

=2

a

5.工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图()

A.

B.

C.

D.

6.如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF//CD，交AD于点F，

如果EF=5.5，那么菱形ABCD的周长是()

A. 11

B. 22

C. 33

D. 44

7.如图，在△ECD中，∠C=90°，AB⊥EC于点B，AB=1.2，

EB=1.6，BC=12.4，则CD的长是()A. 14

B. 12.4

C. 10.5

D. 9.3

8.如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB⏜的长度

为()

A. 9π

π

B. 9

2

π

C. 3

2

π

D. 9

4

9.如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一

的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是()个解析式为y=2

x−1

A. 图象与x轴没有交点

B. 当x>0时，y>0

) D. y随x的增大而减小

C. 图象与y轴的交点是(0,−1

2

10.已知点M(x,y)在第一象限，且x+y=12，点A(10,0)在x轴上，当△OMA为直角

三角形时，点M的坐标为()

A. (10,2)，(8,4)或(6,6)

B. (8,4)，(9,3)或(5,7)

C. (8,4)，(9,3)或(10,2)

D. (10,2)，(9,3)或(7,5)

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）)2=______．

11.计算：(−1

2

12.北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测

器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星.其中，400000用科学记数法可以表示为______ ．

13.因式分解：a2−2a=______．

14.若二次根式√2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．

15.实数m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个根，则多项式mn−m−n的值为

______ ．

+1的值为零，则y=______ ．

16.若式子2

y−2

17.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD//BE，

∠1=20°，则∠2的度数是______ ．

18.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律

性可以用如图表示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1=1，第二个图形表示的三角形数记为a2=3，…，则第n个图形表示的三角形数a n=______ .(用含n的式子表达)

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

19.计算：(−2)0−√8−|−5|+4sin45°．20.解不等式组：{3(x−1)>x①

1−2x≥x−3

2

②

，并在数轴上表示它的解集．

21.如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB=CD，

将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA=

∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B=70°，∠A=

10°．

(1)求证：AB=ED；

(2)求∠AFE的度数．

22.为庆祝中国党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题

庆祝活动(活动代号如下表)，要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目.为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查.根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．(1)该校此次调查共抽取了______ 名学生；

(2)请补全条形统计图(画图后标注相应的数据)；

(3)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞

蹈活动．

活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文

活动代号A B C D E

23.有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987

年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度.(结果保留小数点后一位，参考数据：√2≈1.41，√3=1.73)

24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过

点C的切线互相垂直，垂足为D．

(1)求证：AC平分∠DAB；

(2)若AD=8，tan∠CAB=3

，求：边AC及AB的长．

4

25.2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师

小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频.

已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本.又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个A类微

课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍(注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数).假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．

(1)求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？

(2)求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；

(3)每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？

26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(−1,0)，B(4,0)两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接BC，求直线BC的解析式；

(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出

此时AP+PC的最小值；

(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．

根据相反数的定义，则2021的相反数为−2021．

故选：B．

绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为−2021．

本题属于基础简单题，考查相反数的定义，即绝对值相等，符号相反的两个数叫作互为相反数．

2.【答案】A

【解析】解：−1+3=+(3−1)=2，

故选：A．

绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．根据有理数的加法运算法则进行计算即可．

本题考查有理数的加法运算，理解有理数加法的运算法则是解题基础．

3.【答案】B

【解析】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．

故选：B．

由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．

本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．

4.【答案】C

【解析】解：A、(a3)2=a6，故此选项不符合题意；

B、(−bc)4÷(−bc)2=(−bc)2=b2c2，故此选项不符合题意；C、a÷b⋅1

b =a⋅1

b

⋅1

b

=a

b2

，正确，故此选项符合题意；

D、1+1

a =a+1

a

，故此选项不符合题意；

故选：C．

根据幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算法则进行计算，然后作出判断．

本题考查幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题基础．

5.【答案】B

【解析】解：从上面看该几何体，是两个同心圆．

故选：B．

根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．

本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的前提．6.【答案】D

【解析】解：∵点E是AC的中点，

∴AE=EC=1

2

，

∵EF//CD，

∴△AEF∽△ACD，

∴ AE

AC =EF

CD

，

∴CD=2EF=11，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∴菱形ABCD的周长=4×11=44，

故选：D．

通过证明△AEF△ACD，可求CD=11，即可求解．

本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，求出CD的长是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵EB=1.6，BC=12.4，∴EC=EB+BC=14，

∵AB⊥EC，

∴∠ABE=90°，

∵∠C=90°，

∴∠ABE=∠C，

又∵∠E=∠E，

∴△ABE∽△DCE，

∴BA

CD =EB

EC

，

即1.2

CD =1.6

14

，

解得：CD=10.5，故选：C．

由∠ABE=∠C，∠E=∠E，证明△ABE∽△DCE，得BA

CD =EB

EC

，即可求解．

本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△DCE是解题的关键．8.【答案】C

【解析】解：如图

连接OA，OB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB，∠AOB=90°，

∴△OAB是等腰直角三角形，

∵正方形ABCD的面积是18，

∴AB=√18=3√2，

∴OA=OB=3，

∴弧AB的长L=nπr

180=90⋅3⋅π

180

=3π

2

，故选：C．

连接OA、OB，则△OAB为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为3√2，进而可得半径为3，根据弧长公式可求弧AB的长．

本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、弧长公式等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．

9.【答案】A

【解析】解：A.由图象可知，图象与x轴没有交点，故说法正确；

B.由图象可知，当01时，y>0，故说法错误；

C.当x=0时，函数值为−2，故图象与y轴的交点是(0,−2)，故说法错误；

D.当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而减小，故说法错误．故选：A．

根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可．

本题考查了反比例函数的图象和性质，解题关键是根据函数解析式得出函数值和自变量的取值范围．

10.【答案】C

【解析】解：分情况讨论：

①若O为直角顶点，则点M在y轴上，不合题意舍去；

②若A为直角顶点，则MA⊥x轴，

∴点M的横坐标为10，

把x=10代入y=−x+12中，得y=2，

∴点M坐标(10,2)；

③若M为直角顶点，可得△OMB∽△MAB．

∴OB MB =MB AB ，

∴MB 2=OB ⋅AB ．

∴(−x +12)2=x(10−x)．

解得x =8或9，

∴点M 坐标(8,4)或(9,3)．

∴当△OMA 为直角三角形时，点M 的坐标为(10,2)、(8,4)、(9,3)，

故选：C ．

分情况讨论：①若O 为直角顶点，则点M 在y 轴上，不合题意舍去；

②若A 为直角顶点，

则MA ⊥x 轴，所以点M 的横坐标为10，代入y =−x +12中，得y =2，求出点M 坐标为(10,2)；

③若M 为直角顶点，可得△OMB∽△MAB ，根据相似三角形的性质求出M 点横坐标，进而得到M 点坐标．

本题考查了勾股定理，图形与坐标性质，熟悉一次函数的性质以及三角形的面积公式以及懂得直角三角形的性质是解题的关键．

11.【答案】14

【解析】解：(−12)2=14．

故答案为：14．

本题考查有理数的乘方运算，(−12)2表示2个(−12)的乘积．

乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．

12.【答案】4×105

【解析】解：400000=4×105．

故答案为：4×105．

科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，

要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．

13.【答案】a(a−2)

【解析】

【分析】

本题考查提公因式法−因式分解，较为简单，找准公因式即可．

先确定公因式是a，然后提取公因式即可．

【解答】

解：a2−2a=a(a−2)．

故答案为：a(a−2)．

14.【答案】x≥1

2

【解析】解：根据题意得：2x−1≥0，

∴x≥1

2

．

故答案为：x≥1

2

．

根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可．

本题考查了二次根式有意义的条件，注意整式的取值范围可以是全体实数，二次根式的被开方数不小于0，分式的分母不等于0．

15.【答案】−1

【解析】解：∵实数m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个根，a=1，b=−3，c=2，

∴m+n=−b

a =3，mn=c

a

=2，

∴mn−m−n=mn−(m+n)=2−3=−1．

故答案为：−1．

由实数m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系可得出(m+ n)，mn的值，再将其代入mn−m−n=mn−(m+n)中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−b

a ，两根之积等于c

a

”是解题的关键．

16.【答案】0

【解析】解：由题意得：2

y−2

+1=0．

∴2

y−2

=−1．

∴y−2=−2．

∴y=0．

根据题意，得2

y−2+1=0.再根据等式的基本性质，化简为2

y−2

=−1，故求出y=0．

本题属于基础简单题，主要考查等式的基本性质以及分式的运算．

17.【答案】40°

【解析】解：如图

分别延长EB、DB到F，G，

由于纸带对边平行，

∴∠1=∠4=20°，

∵纸带翻折，

∴∠3=∠4=20°，

∴∠DBF=∠3+∠4=40°，

∵CD//BE，

∴∠2=∠DBF=40°．

故答案为：40°．

利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1=∠3=∠4=20°，进而得出∠2=40°．本题考查平行线的判定和性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行；内错角相等．

18.【答案】n(n+1)

2

【解析】解：第1个图形表示的三角形数为1，

第2个图形表示的三角形数为1+2=3，

第3个图形表示的三角形数为1+2+3=6，

第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4=10，

.....

第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+(n−1)+n=n(n+1)

．

2

．

故答案为：n(n+1)

2

由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+ 2=3；第3个图形表示的三角形数为1+2+3=6；......据此即可得出第n个图形的三角形数．

本题考查了规律型中的数字的变化类，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键．

19.【答案】解：原式=1−2√2−5+4×√2

=1−2√2−5+2√2=−4．

2

【解析】利用绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂法则、二次根式化简方法计算即可求出值．

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20.【答案】解：解不等式①，得x>3

，

2

解不等式②，得x≤1，

在数轴上表示不等式的解集为：

，

所以不等式组无解．【解析】先求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵∠ECA=∠DCB，

∴∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD，

即∠ECD=∠BCA，

由旋转可得CA=CE，

在△BCA和△DCE中，

{CB=CD

∠BCA=∠DCE AC=EC

，

∴△BCA≌△DCE(SAS)．

∴AB=ED．

(2)由(1)中结论可得∠CDE=∠B=70°，

又CB=CD，

∴∠B=∠CDB=70°，

∴∠EDA=180°−∠BDE=180°−70°×2=40°，

∴∠AFE=∠EDA+∠A=40°+10°=50°．

【解析】(1)利用∠ECA=∠DCB，可证得∠ECD=∠BCA，结合CA=CE、CB=CD，用“SAS“可证△BCA≌△DCE；

(2)由CB=CD可得∠B=∠CDB=70°，从而∠EDA=40°，再利用三角形外角关系可得∠AFE=∠EDA+∠A=40°+10°=50°．

本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，证明△BCA≌△DCE是解题的关键．

22.【答案】50

【解析】解：(1)该校此次调查共抽取的学生数为：10÷20%=50(名)，

故答案为：50；

(2)C舞蹈人数为：50−8−10−12−14=6(名)，补全条形统计图如下：

=240(名)，

(3)2000×6

50

答：估计该校有240名学生参加舞蹈活动．

(1)根据选择B的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查共抽取的学生数；

(2)根据(1)的结果及图中的数据可以计算出选择C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

(3)根据统计图中的数据，可以计算出该校参加舞蹈活动的学生有多少名．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23.【答案】解：设CH为x m，

由题意得：∠AHC=90°，∠CBH=45°，∠A=30°，

∴BH=CH=xm，AH=√3CH=√3x m，

∵AH−BH=AB，

∴√3x−x=20，

解得：x=10(√3+1)≈27.3(m)，

答：“一心阁”CH的高度约为27.3m．

【解析】设CH为x m，证出BH=CH=xm，AH=√3CH=√3x m，再由AH−BH=AB 得出方程，解方程即可．

本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题、等腰直角三角形的与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；证出BH=CH，AH=√3CH是解答此题的关键．

24.【答案】(1)证明：连接OC ，如图，

∵CD 为⊙O 的切线，

∴OC ⊥CD ，

∵AD ⊥CD ，

∴OC//AD ，

∴∠DAC =∠OCA ，

∵OA =OC ，

∴∠OAC =∠OCA ，

∴∠DAC =∠OCA ，

∴AC 平分∠DAB ；

(2)解：连接BC ，如图，

∵∠DAC =∠OCA ，

∴tan∠DAC =tan∠CAB =34， 在Rt △DAC 中，∵tan∠DAC =CD AD =34，

∴CD =34×8=6，

∴AC =√CD 2+AD 2=√62+82=10，

∵AB 为直径，

∴∠ACB =90°，

∴tan∠CAB =BC AC =34，

∴BC =34

×10=152， ∴AB =√(15

2)2+102=252．

【解析】(1)连接OC ，如图，根据切线的性质得OC ⊥CD ，然后证明∠DAC =∠OCA ，从而得到结论；

(2)连接BC ，如图，利用正切的定义可求出CD =6，再利用勾股定理计算出AC =10，接着根据圆周角定理得到∠ACB =90°，则利用正切的定义求出BC ，然后利用勾股定理计算出AB ．

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

25.【答案】解：(1)设团队制作一个A 类微课的成本为x 元，制作一个B 类微课的成本为y 元，根据题意得：

{3x +5y =46005x +10y =8500

， 解得{x =700y =500

， 答：团队制作一个A 类微课的成本为700元，制作一个B 类微课的成本为500元；

(2)由题意，得w =(1500−700)a +(1000−500)×1.5(22−a)=50a +16500；

1.5(22−a)≥2a ，

解得a ≤937，

又∵每月制作的A 、B 两类微课的个数均为整数，

∴0≤a ≤9(且a 为整数)；

(3)由(2)得

， ∵5>0，

∴w 随a 的增大而增大，

∴当a =9时，w 有最大值，w 最大=50×9+16500=16950(元)．

答：每月制作A 类微课9个时，该团队月利润w 最大，最大利润是16950元．

【解析】(1)设团队制作一个A 类微课的成本为x 元，制作一个B 类微课的成本为y 元，根据“制作3个A 类微课和5个B 类微课需要4600元成本，制作5个A 类微课和10个B 类微课需要8500元成本”列方程组解答即可；

(2)由纯利润=销售利润−各种费用支出就可以得出结论；根据“团队每天可以制作1个A 类微课或者1.5个B 类微课，且团队每月制作的B 类微课数不少于A 类微课数的2倍”可得a 的取值范围；

(3)根据(2)的结论，结合一次函数的性质解答即可．

本题考查了一次函数的运用，二元一次方程组的运用，销售问题的数量关系月利润=每件利润×数量的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

26.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(4,0)代入y =ax 2+bx +4，得到{a −b +4=0

16a +4b +4=0，

解得{a =−1b =3

， ∴y =−x 2+3x +4．

∵B(4,0)，C(0,4)，

∴{b=4

4k+b=0，

∴{k=−1

b=4，

∴直线BC的解析式为y=−x+4．

(3)如图1中，

由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x=3

2

对称，

连接BC交直线x=3

2

于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长=√42+42=4√2，

此时P(3

2,5 2 ).

(4)如图2中，存在．

观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或−4，

对于抛物线y=−x2+3x+4，当y=4时，x2−3x=0，解得x=0或3，∴N1(3,4)．

当y=−4时，x2−3x−8=0，解得x=3±√41

2

，

∴N2(3+√41

2,−4)，N3(3−√41

2

,−4)，

综上所述，满足条件的点N的坐标为(3,4)或(3+√41

2,−4)或(3−√41

2

,−4)．

【解析】(1)利用待定系数法解决问题即可．

(2)设BC的解析式为y=kx+b把B，C两点坐标代入，转化为方程组解决．

(3)可以连接BC交直线x=3

2

于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长．

(4)观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或−4，把问题转化为解方程求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决．