立体几何测试题(10套)

一、选择题

1、以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）

①若a∥b，b，则a∥　　　②若a∥，b∥，则a∥b

③若a∥b，b∥，则a∥　　　④若a∥，b，则a∥b

  　其中正确命题的个数是                                    （   ）

    （A）0个 （B）1个  （C）2个   （D）3个

2、已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l（   ）

    （A）与m，n都相交    （B）与m，n中至少一条相交

（C）与m，n都不相交    （D）与m，n中一条相交

3、已知a，b是两条相交直线，a∥，则b与的位置关系是　（　　）

　　A、b∥　　B、b与相交　　C、bα　　D、b∥或b与相交

4、A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（   ）

    （A）0个    （B）1个　　（C）无数个　　（D）以上都有可能

5、直线a∥平面，点A∈，则过点A且平行于直线a的直线（   ）

    （A）只有一条，但不一定在平面内　（B）只有一条，且在平面内

    （C）有无数条，但都不在平面内　　（D）有无数条，且都在平面内

6、直线a，b异面直线， a和平面平行，则b和平面的位置关系是（  ）

    （A）b　（B）b∥　（C）b与相交　（D）以上都有可能

7、梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是                           （    ）

（A）平行   （B）平行和异面  （C）平行和相交   （D）异面和相交

8、下列命题中，真命题的个数是　　　　　　（  　）

　①a∥b，a，b异面，则b、c异面　②a，b共面，b、c异面，则a、c异面③a，b异面，a、c共面，则b、c异面④a，b异面，b、c不相交，则a、c不相交　　　　　　

A、0个　　B、1　个　C、2个　　D、4个

二、判断下列命题的真假

9、过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行（   ）

10、若直线l，则l不可能与平面内无数条直线都相交（   ）

 11、若直线l与平面不平行，则l与内任何一条直线都不平行（   ）

12、过两异面直线a，b外一点，可作一个平面与a，b都平行　（　）

三、填空题

13、ABCD-A1B1C1D1是正方体，过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的位置关系是　　　　　　。

14、已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是　　。

三、解答题

15、已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F

分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

16、、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点

求证：EF∥平面BB1D1D

17、已知异面直线a，b的公垂线段AB的中点为O，平面满足a∥，b∥，且O，M、N是a，b上的任意两点，MN∩＝P，求证：P是MN的中点

立几面测试001

参  考  答  案

一、1- 8  ACDDBDBA

二、9、×  10、×   11、×  12、× 

三、13、平行   14、DC、D1C1、A1B1

四、15、证明：设PC的中点为G，连接EG、FG

         ∵  F为PD中点     ∴  GF∥CD  且GF=CD

         ∵  AB∥CD   AB=CD   E为AB中点

         ∴  GF∥AE   GF=AE   四边形AEGF为平行四边形

         ∴  EG∥AF   ∴  AF平面PEC   EG平面PEC

      ∴  AF∥平面PEC

16、证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC   OE=DC

          ∵  DC∥D1C1   DC=D1C1   F为D1C1的中点

          ∴  OE∥D1F   OE=D1F   四边形D1FEO为平行四边形

          ∴  EF∥D1O   ∴  EF平面BB1D1D   EG平面BB1D1D

          ∴  EF∥平面BB1D1D

17、证明：连接AN交平面  于Q，连接OQ、PQ

          ∵  Ab    ∴  A、b可确定平面β

          ∴  ∩=OQ   由b∥ 得 BN∥OQ

          ∵  O为AB的中点    ∴  Q为AN的中点

          同理 PQ∥AM     故 P为MN的中点

立几面测试002

一、选择题(每小题5分，共40分)

1、点P在直线a上，直线a在平面α内可记为(    )

A、P∈a，aα  B、Pa，aα  C、Pa，a∈α  D、P∈a，a∈α

2、直线l是平面α外的一条直线，下列条件中可推出l∥α的是(    )

A、l与α内的一条直线不相交        B、l与α内的两条直线不相交

C、l与α内的无数条直线不相交      D、l与α内的任意一条直线不相交

3、空间四点A、B、C、D共面，但不共线，则下面结论成立的是(    )

A、四点中必有三点共线    B、四点中必有三点不共线

C、直线AB与CD必相交    D、AB∥CD或BC∥DA

4、已知正方形ABCD中，S是所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，在所有的10条直线中，其中异面直线共有(  )

A、8对   B、10对    C、12对    D、16对

5、在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是(    )

A、若l∥α，m⊥l，则m⊥α      B、若l⊥m，m⊥n，则m∥n

C、若a⊥α，a⊥b，则b∥α      D、若l⊥α，l∥a，则a⊥α

6、在四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与AC所成角为(  )

A、90°B、60°C、45°D、30°

7、在长方体ABCD-A`B`C`D`中，∠AB`B=45°，∠CB`C`=60°，则∠AB`C的余弦值为(    )

A、    B、   C、   D、

8、A,B,C,D四点不共面，且A,B,C,D到平面α的距离相等，则这样的平面有(    )

A、1个   B、4个   C、7个   D、无数个

二、填空题(每小题5分，共15分)

9、在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G为CB，CD上的点，且CF∶CB=CG∶CD=2∶3，若BD=6cm，梯形EFGH的面积 28cm2，则EH与FG间的距离为                  。

10、三个平面α,β,γ将空间分成七部分，且α∩β=a，β∩γ=b，则a与b的位置关系为               。

11、a,b为异面直线，且a,b所成角为40°，直线c与a,b均异面，且所成角均为θ，若这样的c共有四条，则θ的范围为        。

三、解答题(共45分，14、14、17)

12、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E，F分别是A`B`，B`C`的中点。

求证：EF∥面AD`C。

13、已知PA⊥正方形ABCD，PA=AB=2，M，N为BC，CD中点，

⑴求C到面PAM的距离，⑵求BD到面PMN的距离。

立几面测试002

一、选择题ADBCDCDC 

二、填空题(每小题5分，共15分)

9、在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G为CB，CD上的点，且CF∶CB=CG∶CD=2∶3，若BD=6cm，梯形EFGH的面积 28cm2，则EH与FG间的距离为      8cm            。

10、三个平面α,β,γ将空间分成七部分，且α∩β=a，β∩γ=b，则a与b的位置关系为     平行          。

11、a,b为异面直线，且a,b所成角为40°，直线c与a,b均异面，且所成角均为θ，若这样的c共有四条，则θ的范围为   (70°，90°)    。

三、解答题(共45分，14、14、17)

12、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E，F分别是A`B`，B`C`的中点。

求证：EF∥面AD`C。

证明：连A`C`，由E，F分别为A`B`，B`C`的中点

则EF∥A`C`，

又∵A`C`∥AC，

∴EF∥AC

∵AC面AD`C

∴EF∥面AD`C

13、已知PA⊥正方形ABCD，PA=AB=2，M，N为BC，CD中点，

⑴求C到面PAM的距离，⑵求BD到面PMN的距离。

解：延长AM，作CE⊥AM于E

∵PA⊥正方形ABCD，

∴PA⊥CE

∵CE⊥AM

∵AB=2，BM=1，CM=1

∴AM=，

∴CE==

∴C到平面PAM的距离为

连AC交BD于O，交MN于F，连PF，过O作OH⊥PF

∵M，N为BC，CD中点，

∴MN∥BD

∴BD∥平面PMN，

∴O到平面PMN的距离即为BD到平面PMN的距离。

∵BD⊥AC，MN∥BD     ∵PA⊥面ABCD

∴MN⊥AC，             ∴PA⊥MN

∴MN⊥平面PAC

∴MN⊥OH

∵OH⊥PF

∵PA=2，AC=2，AF=，OF=

∴PF=     ∴OH==

立几面测试003

一、选择题

1．异面直线是指    (    )

(A) 在空间内不能相交的两条直线

(B) 分别位于两个不同平面的两条直线

(C) 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线

(D) 不可能在同一平面内的两条直线

2．已知a、b是两条异面直线，直线c平行与直线a，那么c和b     (    )

    (A) 一定是异面直线    (B) 一定是相交直线

    (C) 不可能是平行直线    (D) 不可能是相交直线

3．已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是    (    ）

(A) 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c

(B) 若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交

(C) 若a//b，b//c，则a//c

(D) 若a与b异面，b与c异面，则a与c也是异面直线

4．已知异面直线a、b分别在平面α、β内，且α∩β=c，那么直线c    (    )

(A) 一定与a、b交于同一点

(B) 至少与a、b中的一条相交

(C) 至多与a、b中的一条相交

(D) 一定与a、b中的一条平行，而与另一条相交

5．下列命题中，正确的是    (    )

(A) 一条直线和两条平行直线中的一条直线相交，则必与另一条直线相交

(B) 一条直线和两条平行直线中的一条直线能确定一个平面

(C) 一条直线和两条平行直线中的任何一条直线无公共点，那么这三条直线互相平行

(D) 一条直线和两条平行直线中的一条直线是异面直线，且与另一条直线无公共点，则必与另一条直线也是异面直线

6．和两条异面直线都相交的两条直线是    (    )

    (A) 平行直线 (B) 异面直线　(C) 相交直线(D) 异面直线或相交直线

7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，12条棱互成异面直线的对数有    (    )

    (A) 48对    (B) 36对    (C) 24对    (D) 12对

8．分别平行于两条异面直线的两条直线的位置关系是    (    )

    (A) 异面直线    (B) 平行直线

    (C) 相交直线    (D) 异面直线或相交直线

9．若θ是两条异面直线所成的角，则    (    )

    (A)     (B)    

    (C)    (D) 

10．已知a和b是成60º角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60º角的直线共有    (    )

    (A) 1条    (B) 2条    (C) 3条    (D) 4条

11．在正方体ABCD-ABCD的所有面对角线中，与AB成异面直线且与AB成60º的有    (    )

    (A) 1条    (B) 2条    (C) 3条    (D) 4条

12．已知点A是△BCD所在平面外的一点，且△ABC，△ACD，△BCD均是边长为a的正三角形，若记异面直线AD，BC间的成角为θ，距离为d，则    (    ）

    (A)    (B) 

    (C)    (D) 

二、填空题

13．在正方体ABCD-ABCD中，下列两直线成角的大小是：

（1）AA和BC成角_________．AC和AB成角__________．

（2）AC和DC成角_________．AC和BD成角__________．

14．在长方体ABCD- ABCD中，∠BAB=∠BAC=30º，则

（1）AB与AC成角________．AA与BC成角_______．

（2）AD与BC成角_________．AB与DC成角________．

15．在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为棱AB、CC的中点，则异面直线EF与AC所成角的大小是_______________．

三、解答题

16．已知：直线l//直线m，直线n与l是异面直线，且n与m不相交，求证：m、n是异面直线．

17．已知空间四边形ABCD的四条边均为10，对角线BD=8，AC=16，求异面直线AC与BD间距离．

18．在空间四边形ABCD中，对角线AC=BD，P、Q、R、S分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：PR⊥QS．

立几面测试003

参

一、选择题

    1．D    2．C    3．C    4．B    5．D    6．D

    7．C    8．D    9．B    10．C    11．D    12．D

二、填空题

13．（1）90º  （2）45º  （3）60º  （4）90º

14．（1）30º  （2）45º  （3）90º  （4）60º

15．arccos

三、解答题

16．题示：用反证法．

17．2．

18．提示：证明PRQS为菱形．

立几面测试004

一．选择题：

   1．直线a和平面都垂直于同一平面，那么直线a和平面的位置关系是（   ）。

    （A）相交  （B） 平行   （C）线在面内   （D）线在面内或平行

   2．直线a和平面都与同一直线平行，那么直线a和平面的位置关系是（   ）。

    （A） 平行   （B）线在面内   （C）线在面内或平行 （D）线面相交

   3．直线L//平面， ，那么L和平面的位置关系是（   ）。

    （A） 线在面内 （B）平行 （C）相交  （D） （A），（B），（C）中的情况都有可能

   4．若a,b是两条平行直线，且都不垂直与平面，那么a,b在平面内的射影为（   ）。

　　（A）两条平行线　　　　　　　　　　（B）相交的两直线

　　（C）两条平行线或同一直线　　　　　（D）相交的两直线或同一直线

　5．相交的两直线都是平面的斜线，那么这两斜线在平面的设影是（ 　）。

　　（A）同一直线　　　　　　　　　　　（B）相交的两直线

　　（C）两条平行直线　　　　　　　　　（D）一直线或两相交直线

　6．若三个平面把空间分成６个部分，那么这三个平面的位置关系是（   ）。

　　（A）三个平面共线　

　　（B）有两个平面平行且都与第三个平面相交

　　（C）三个平面共线或两个平面平行且都与第三个平面相交　

　　（D）三个平面两两相交

   7．有下面几个问题：（1）若a//平面,ba,则平面b.（2）若a//平面,平面平面，则a平面.(3)若a,b是两平行线，b平面,则a//.(4)若平面平面，平面平面,则平面//平面。其中不正确的命题个数是（   ）。

   （A） 4    （B） 3    （C） 2     （D） 1

   8．有下面几个问题：（1）两点可以确定一条直线。（2）过三点必有一个平面。（3）空间存在四点不在同一平面内。（4）一直线上有两点在平面内，则其上第三点必在平面内。其中正确的命题个数是（   ）。

   （A） 1    （B） 2    （C） 3    （D） 4

   9．A为直二面角－－的棱上的一点，两条长度都是a的线段AB，AC分别在平面，平面内，且都与成角则BC的长是（  ）。

   （A）a  （B）a  （C）a或a  （D）a或a

  10．一直线和两条相交直线都相交，那么它们所确定的平面的个数是（    ）。

   （A） 3   （B） 2   （C） 1   （D）1或3

  11．已知直线与平面α成30°角，则在α内（  ）。

  （A）没有直线与垂直                 （B）至少有一条直线与平行  

  （C）一定要无数条直线与异面  （D）有且只有一条直线与共面

  12．在同一平面影长相等的两条线段的关系是（  ）。

  （A）如果有一个公共端点，它们必等长

  （B）如果等长，则必有一个公共端点  

  （C）如果平行，它们必等长

  （D）如果等长，它们必平行

   13．对于下列判断，正确的是（  ）。

  （A）两条异面直线所成的角的范围是[0,]

  （B）斜线与平面所成的角的范围是[0,] 

  （C）二面角的取值范围是[0,] 

  （D）若直线与平面α所成的角为,直线bα,a∩b=φ, 则a与b所成的角的取值范围 是[,]

  14．已知异面直线a、b成80°角，在空间里取一点，过这点能作与a、b都成60°角的直线的条数是（  ）。

  （A）4    （B）3    （C）2    （D）1

  15．在空间四边形ABCD中，若AB＝CD，BC＝AD，AC＝BD，则∠BAC＋∠CAD＋∠DAB的大小是（  ）。

  （A）180°  （B）90°  （C）小于180°  （D）在区间[90°, 180°]内

 二．填空题：

  16．AB是异面直线a,b的公垂线段，AB=2cm,a,b所成的角为,A、Ca, B、Db, AC=4cm, BD=4cm，那么C、D间的距离是               。

  17．三个平面两两垂直，那么它们的交线共有        条。这些交线的相互关系是              。

  18．两个平面都与第三个平面相交，那么它们的交线的条数是     。

  19．若长为2的线段MN是异面直线a,b的公垂线段，A，Ma,B,Nb,

AM=6,BN=8, AB=2, 那么异面直线a,b所成的角是             。

  20．一条长为4cm的线段AB夹在直二面角－EF－内，且与分别成，角，那么A、B两点在棱EF上的射影的距离是             。

  21．夹在直二面角－MN－内的线段PQ（P，QMN）与，所成的角分别为,则应满足的条件是                  。

  22．已知点P不在异面直线a,b上，那么过P点可作         条直线分别与 a,b构成异面直线。

  23．已知二面角－MN－是,P,PQ于Q，且PQ=6cm，则Q到的距离是        。

  24．A,B是平面外的两点，它们在平面内的射影分别是,若A1A＝3,BB1=5, A1B1=10，那么线段AB的长是         。

  25． ABC中， B=，AB=2BC，若BC//平面，AB和平面所成的角为, 那么=               度时， ABC在平面内的射影是等腰直角三角形。

三．解答题：

  26．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1、O2、O3分别是面AC、面B1C、面CD1的中心，求直线A1O1与直线O2O3所成的角。

立几面测试004

数学练习答案

一．选择题

16．6  17.  3;两两垂直  18. 1或2或3   19. 60°  20. 2   21  0°<θ1+θ2<90°     22. 无数       23.  3       24.       25 . 60°

三．解答题    

26．  90°

立几面测试005

一、选择题（每题5分）

1．△ABC所在平面α外一点P到三角形三顶点的距离相等，那么点P在α内的射影一定是△ABC的（　　）

A、外心            B、内心            C、重心            D、以上都不对

2．设直线a在平面M内，则平面M平行于平面N是直线a平行于平面N的（　　）

A、充分非必要条件    B、必要非充分条件    

C、充要条件           D、非充分非必要条件

3．设α，β是两个不重合的平面，m和l是两条不重合的直线，α∥β的一个充分条件是（　　）

A、            B、

C、                    D、

4．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数是（　　）

A、1个            B、2个            C、3个            D、4个

5． 

A、B、  C、    D、

6．若空间四边形两条对角线的长度分别是6和8，所成角是45°，则连接各边中点所得四边形的面积是（　　）

A、        B、        C、            D、12

7． 

A、0个            B、1个            C、2个            D、3个

8．M点不在异面直线a，b上，下面判断正确的是（　　）

A、过M点一定有一条直线与a，b都平行        

B、过M点一定有一个平面与a，b都平行

C、过M点一定有一条直线与a，b都垂直        

D、过M点一定有一个平面与a，b都垂直

9．已知a，b，c，d是四条不重合的直线，其中c为a在平面α上的射影，d为b在平面α上的射影，则（　　）

A、        B、

C、        D、

10．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（　　）

A、            B、            C、            D、

二、填空题（每题5分）

11．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于　　　　　。

12．两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是　　　　　　　。

13．如图所示，棱锥P—ABCDE的十条棱有　　　　对异面直线。

14．如图PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB　　②EF⊥PB　　③AF⊥BC　　④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是　　　　　　　。

三、解答题：

15．

的角的大小。

16．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）画出过A、C、B1的平面与下底面的交线L；（2）求L与直线AC的距离。

17．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，F是CC1的中点，O为下底面的中心，求证：A1O⊥平面BDF。

18．已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是平行四边形，且M、N分别在PA和BD上，且PM∶MA=BN∶ND，求证：MN∥平面PBC。

19．已知三棱锥P—ABC中，PA=PB，CB⊥平面PAB，PM=MC，AN=3NB。

（1）求证明：MN⊥AB；

（2）当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长。

20．ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD，PA=a，

（1）求证：PC⊥CD；（2）求点B到直线PC的距离。

立几面测试005

答案

1．A    2．A    3．C    4．B    5．D    6．C    7．B

8．C    9．D    10．D     11．2        12．        13．15            14．①、②、④

15．解：

16．解：

17．证明：

18．证明： 

19．证明：

20．证明：

立几面测试006

一 选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分）

1．A，B，C为空间三点，经过这三点（  ）

A．能确定一个平面或不能确定平面     B．可以确定一个平面

C．能确定无数个平面                D．能确定一个或无数个平面         

2．下面四个命题正确的命题个数是（  ）

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条；

③和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线；

④一条直线和两条平行线的一条相交，那么它也和另一条相交。

A． 1         B．2         C． 3          D．4

3．如图1-1所示的水平放置的平面图形的

直观图，所表示的图形ABCD是(   )

A．任意梯形           B．直角梯形

C．任意四边形         D．平行四边形

4．下面四个命题中错误命题的个数是（   ）

①没有公共点的两条直线是异面直线；

②平面内一点与平面外一点的连线和平面内的直线是异面直线；

③和同一条直线都是异面直线的两条直线是异面直线；

④和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线。

 A． 1          B． 2          C. 3          D． 4

5．若直线是异面直线，与也是异面直线，则直线与的位置关系是（   ）

A．平行或异面              B．相交，平行或异面

C．异面或相交              D．异面

6．正方体中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和的中点，那么异面直线EF和GH所成的角是（    ）

A．90°         B．60°          C．45°           D．30°

7．两直线与异面，过作平面与平行，这样的平面（    ）

A．不存在           B．有可能存在也有可能不存在

C．有唯一的一个     D．有无穷多个

8．直线与平面内的两条直线垂直，那么与的位置关系是（    ）

A．平行    B．    C．垂直     D．不确定

9．设直线在平面内，则“平面∥平面”是“直线∥平面”的条件(   )

A．充分但不必要 B．必要但不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要

10．如图2-2所示，平面∩平面=，点A，B，点C∈平面且C，AB∩=R，设过点A，B，C三点的平面，

则∩是(   )    

A．直线CR            B．直线BC    

C．直线AC           D．以上均不正确

11．空间交于一点的四条直线最多可以确定平面（   ）

A．4个         B．5个      C．6个     D．7个

12．空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=AC=BD，E，F，      G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状是（   ）

A．平行四边形    B．长方形   C．菱形     D．正方形

二．填空题(每题4分,共4题)

13．过空间一点O作与已知直线平行的直线有      条；与已知平面垂直的直线有        条

14．三个不相交的平面把空间分成        部分

15．若两直线a,b在平面α上的射影a',b'是平行的直线，则a,b的位置关系是         ．

16．点A、B和平面α的距离分别是40㎝和70㎝，P为AB上一点，且AP∶PB=3∶7，则P到平面α的距离是________________。

三． 解答题（5×12分 + 2×14分＝74分）

17.已知：平面α∩平面β=b，直线a∥α，a∥β，求证：a∥b。

18．如图，ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD

求证：AC⊥BD

19．两条直线，异面， 平面， 平面，且∥，∥ 

求证：∥

20．直角三角形ABC中，∠A=90º，AB=2AC，Q为AB上一点，QB=AC，P为平面ABC外一点，且PB=PC，求证：PQ⊥BC．

21．已知四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90º，求证：四边形是矩形．

22．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。

（1）求证：直线AB1∥平面C1DB；

（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。

立几面测试006

参

1-12. ABBD   BCCD   AACD

13 .0或1；1.   14.四     15.平行或异面    16. 43㎝ 或 7㎝ ；

17. 证法1：(反证法)假定a、b异面，任取B∈b，则a与B确定平面γ，且γ∩α＝ι，γ∩β＝ι，由已知a∥α，a∥β知a∥ι，且a∥ι，由公理4知ι∥ι，与ι∩ι=B矛盾，故假设不成立，∴a∥b。

证法2：(同一法)任取B∈b，则a与B确定平面γ，且γ∩α＝ι，γ∩β＝ι，且B∈ι，B∈ι。∵a∥α，a∥β，∴a∥ι，a∥ι，由平行公理知ι与ι重合，即为α与β的交线b，∴a∥b。

证法3：(直接证法)过a作平面γ，γ，γ∩α＝c，γ∩β=d，∵a∥α，a∥β，∴a∥c，a∥d，∴c∥d，∴c∥β(dβ) ∴c∥b，∴a∥b。

18．证明：在平面的直线上取一点A因为和异面，所以A过A，确定平面交于,因为∥，，所以∥同理，在上取一点B，过B和确定平面，可得∥由平行平面的判定定理可得平面∥

19．证明：如图，取BD中点E，连结AE，CE

  因为AB=AD，CB=CD所以△ABD和△BCD都是等腰三角形又等腰三角形的

中线与高重合所以AE⊥BD，CE⊥BD由三垂线定理的逆定理可知CE即AC

在面BCD上的射影因为CE⊥BD，所以AC⊥BD

20．证明：取BC中点M，连接PM，QM，令AC=1，则BQ=，

∵AB=2AC=2，∴QA=2-=∴QC==。

∴QC=QB，∴QM⊥BC。又∵PM⊥BC，∴BC⊥平面PMQ，∴BC⊥PQ．

21.证明　若四点A，B，C，D不在同一平面内，设A点在平面BCD内的射影（垂足）为O，则AO⊥BC，又∵BC⊥AB，∴BC⊥面AOB，∴BC⊥OB；

同理DC⊥OD． 

但∴，矛盾．故四点A，B，C，D在同一平面内，即四边形ABCD是矩形．

22. 证明：（1）连BC交于E，连DE,    则DE∥，

而DE面CDB， 面CDB，  ∴

       （2）由（1）知∠DEB为异面直线所成的角，在    ---------------（2分）

。                               ----------------（2分）

立几面测试007

一、选择题 (12×4=48)

1、若aα， bβ，α∩β=c，a∩b=M，则（　　）

A、M∈c        B、M    c    C、Mc            D、Mβ

2、点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是               （    ）

（A）A∈l，lα（B）A∈l，lα  （C）Al，lα  （D）Al，l∈α

3、EF是异面直线a、b的公垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为   （    ）

A、0     B、1     C、0或1     D、0，1或2

4、以下四个结论： 若aα, bβ，则a, b为异面直线；

若aα, bα，则a, b为异面直线； 没有公共点的两条直线是平行直线； 两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是     （    ）

（A）0个     （B）1个    （C）2个     （D）3个

5、教室内有根棍子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与棍子所在直线(   )    

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直  D、异面

6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D所成的

 角为（   ）

A、B、  C、   D、

7、直线a与平面α所成的角为30o，直线b在平面α内，若直线a与b所成的角为，则                                  (   )

A、0º<≤30º  B、0º<≤90º  

C、30º≤≤90º    D、30º≤≤180º

8、是空间两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面(  )

　　A、有且仅有一个  B、至少有一个　C、至多有一个    D、有无数个

9、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，

则直线CE垂直于  (   )

   A、直线AC     B、直线B1D1  

  C、直线A1D1      D、直线A1A

10、已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的   (    ) 

    A、内心    B、外心    C、垂心    D、重心

11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 (  )

A、45°     B、60°   C、90°        D、120° 

12、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1A、 

   AB上的点，若∠NMC1=90°，则∠NMB1   (   ) 

A、小于90°    B、等于90°

C、大于90°    D、不能确定

二、填空题(4×4=16分)

13、平面α同侧的两点、到α的距离分别为4和6，则线段的中点到α平面的距离为 ______________

14、已知E、F分别为棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，则A1到EF的距离为                

15、P是△ABC所在平面外一点；PB=PC=AB=AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB=________

16、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AB1与 A1D所成的角的余弦值为                 

三、解答题(56分)

17、(10分)已知直线a和b是异面直线，直线c∥a，b与c不相交，

用反证法证明：b、c是异面直线。

18、(10分)已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点

（1）求EF与PC所成的角；

（2）求线段EF的长

19、(12分)正方形ABCD的边长为a，MA⊥平面ABCD，   且MA =a，试求： （1）点M到BD的距离；  （2）AD到平面MBC的距离

20、(12分)在P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a， PD与底面成30°角，BE⊥PD于E

求直线BE与平面PAD所成的角；

21、(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。（12分）

    （1）证明：PQ∥平面DD1C1C；（2）求线段PQ的长；

（3）求PQ与平面AA1D1D所成的角

立几面测试007

参

一、ABCAB　DCBBB　BB

二、13、5　　14、a　　15、90°　　　16、

17、证明：假设b、c不是异面直线，由b与c不相交得c∥b

　　　　　∵　c∥a 　　∴　　a∥b，与a，b是异面直线相矛盾

　　　　　故b、c是异面直线

18、解：设PB的中点为G，连接FG，EG

则FG∥PC且FG＝PC，EG∥AB且EG＝AB

　　　　故∠GFE为EF与PC所成的角，∠EGF为PC与AB所成的角

　　　　∵　　PC⊥AB　　∴　∠EGF＝90°　　又EG＝GF＝1　

　　　　∴　　∠GFE＝45°　　　EF＝

19、解：1）连接AC交BD于O，连接MO，则AC⊥BD

　　　　　　∵　MA⊥平面ABCD　　∴　MO⊥BD

　　　　　　即MO为点M到BD的距离

　　　　　　∵　PA＝a　AO＝a　　∴　MO＝a

　　　　2）过A作AH⊥PB于H，则AH为AD到平面MBC的距离

　　　　　　在Rt△MAB中，求得AH＝a

20、解：1）∵　PA⊥平面ABCD

　　　　　　∴　∠PDA为PD与底面所成的角，PA⊥AB

　　　　　　∵　　∠BAD＝90°　　∴　AB⊥AD

　　　　　　∴　AB⊥平面PAD

　　　　　　∴　∠BEA为BE与平面PAD所成的角

　　　　　　∵　BE⊥PD　　　∴　AE⊥PD

　　　　　　在Rt△PAD中，∠PDA＝30°　　AD＝2a

　　　　　　∴　AE＝a　　　∠BEA＝45°

21、1）证明：连接A1C1，DC1，则Q为A1C1的中点

　　　　　　　∴　PQ∥DC1且PQ＝DC1

　　　　　　　∴　PQ∥平面DD1C1C

　　　2）解：PQ＝DC1＝

　　　3）解：∵　PQ∥DC1　∴　PQ、DC1与平面AA1D1D所成的角相等

　　　　　　 ∵　DC1与平面AA1D1D所成的角为45°

　　　　　　　∴　PQ与平面AA1D1D所成的角为45°

立几面测试008

一、选择题 (12×4=48)

1、若aα， bβ，α∩β=c，a∩b=M，则（　　）

A、M∈c        B、M    c    C、Mc            D、Mβ

2、点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是               （    ）

（A）A∈l，lα（B）A∈l，lα  （C）Al，lα  （D）Al，l∈α

3、EF是异面直线a、b的公垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为   （    ）

A、0     B、1     C、0或1     D、0，1或2

4、以下四个结论： 若aα, bβ，则a, b为异面直线；

若aα, bα，则a, b为异面直线； 没有公共点的两条直线是平行直线； 两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是     （    ）

（A）0个     （B）1个    （C）2个     （D）3个

5、教室内有根棍子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与棍子所在直线(   )    

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直  D、异面

6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D所成的

 角为（   ）

A、B、  C、   D、

7、直线a与平面α所成的角为30o，直线b在平面α内，若直线a与b所成的角为，则                                  (   )

A、0º<≤30º  B、0º<≤90º  

C、30º≤≤90º    D、30º≤≤180º

8、是空间两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面(  )

　　A、有且仅有一个  B、至少有一个　C、至多有一个    D、有无数个

9、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，

则直线CE垂直于  (   )

   A、直线AC     B、直线B1D1  

  C、直线A1D1      D、直线A1A

10、已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的   (    ) 

    A、内心    B、外心    C、垂心    D、重心

11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 (  )

A、45°     B、60°   C、90°        D、120° 

12、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1A、 

   AB上的点，若∠NMC1=90°，则∠NMB1   (   ) 

A、小于90°    B、等于90°

C、大于90°    D、不能确定

二、填空题(4×4=16分)

13、平面α同侧的两点、到α的距离分别为4和6，则线段的中点到α平面的距离为 ______________

14、已知E、F分别为棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，则A1到EF的距离为                

15、P是△ABC所在平面外一点；PB=PC=AB=AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB=________

16、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AB1与 A1D所成的角的余弦值为                 

三、解答题(56分)

17、(10分)已知直线a和b是异面直线，直线c∥a，b与c不相交，

用反证法证明：b、c是异面直线。

18、(10分)已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点

（1）求EF与PC所成的角；

（2）求线段EF的长

19、(12分)正方形ABCD的边长为a，MA⊥平面ABCD，   且MA =a，试求： （1）点M到BD的距离；  （2）AD到平面MBC的距离

20、(12分)在P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a， PD与底面成30°角，BE⊥PD于E

（1）求直线BE与平面PAD所成的角；

21、(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。（12分）

    （1）证明：PQ∥平面DD1C1C；（2）求线段PQ的长；

（3）求PQ与平面AA1D1D所成的角

立几面测试008

参

一、ABCAB　DCBBB　BB

二、13、5　　14、a　　15、90°　　　16、

17、证明：假设b、c不是异面直线，由b与c不相交得c∥b

　　　　　∵　c∥a 　　∴　　a∥b，与a，b是异面直线相矛盾

　　　　　故b、c是异面直线

18、解：设PB的中点为G，连接FG，EG

则FG∥PC且FG＝PC，EG∥AB且EG＝AB

　　　　故∠GFE为EF与PC所成的角，∠EGF为PC与AB所成的角

　　　　∵　　PC⊥AB　　∴　∠EGF＝90°　　又EG＝GF＝1　

　　　　∴　　∠GFE＝45°　　　EF＝

19、解：1）连接AC交BD于O，连接MO，则AC⊥BD

　　　　　　∵　MA⊥平面ABCD　　∴　MO⊥BD

　　　　　　即MO为点M到BD的距离

　　　　　　∵　PA＝a　AO＝a　　∴　MO＝a

　　　　2）过A作AH⊥PB于H，则AH为AD到平面MBC的距离

　　　　　　在Rt△MAB中，求得AH＝a

20、解：1）∵　PA⊥平面ABCD

　　　　　　∴　∠PDA为PD与底面所成的角，PA⊥AB

　　　　　　∵　　∠BAD＝90°　　∴　AB⊥AD

　　　　　　∴　AB⊥平面PAD

　　　　　　∴　∠BEA为BE与平面PAD所成的角

　　　　　　∵　BE⊥PD　　　∴　AE⊥PD

　　　　　　在Rt△PAD中，∠PDA＝30°　　AD＝2a

　　　　　　∴　AE＝a　　　∠BEA＝45°

21、1）证明：连接A1C1，DC1，则Q为A1C1的中点

　　　　　　　∴　PQ∥DC1且PQ＝DC1

　　　　　　　∴　PQ∥平面DD1C1C

　　　2）解：PQ＝DC1＝

　　　3）解：∵　PQ∥DC1　∴　PQ、DC1与平面AA1D1D所成的角相等

　　　　　　 ∵　DC1与平面AA1D1D所成的角为45°

　　　　　　　∴　PQ与平面AA1D1D所成的角为45°

  立几面测试009

掌握二面角、二面角的平面角的概念；掌握作二面角的平面角的三种基本方法：

（1）棱上一点——双垂线法，即定义法；

（2）面上一点——三垂线法，关键找出连结两个面上两点且垂直于其中一个面的线段，再利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理作出证明；

（3）空间一点——垂面法，即作出与棱垂直的平面.求解二面角的大小问题，常常转化为求解二面角的平面角的大小问题，将空间问题转化为平面问题来求解，这是一种数学的基本思想和方法.掌握利用面积射影定理求二面角的方法.

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.二面角是指（    ）

A.两个平面所组成的角

B.经过同一直线的两个平面所成的图形

C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

D.两个平面所夹的不大于90°的角

2.从二面角的棱上一点，在两个半平面上各作一条射线所成的角中（    ）

A.二面角的平面角最大

B.二面角的平面角最小

C.二面角的平面角是最大还是最小，由二面角是否大于90°决定

D.二面角的平面角既非最大，也非最小

3.已知正方形ABCD，沿对角线AC将△ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为β，当β取最大值时，二面角B—AC—D等于（    ）

A.120°                                    B.90°

C.60°                                    D.45°

4.四面体ABCD的四个面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为（    ）

A.arccos        B.arccos      C.        D. 

5.在直角坐标系中，设A（3，2），B（－2，－3），沿y轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，AB长为（    ）

A.2        B.2     C.        D.4

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角D1—AC—D的正切值是________.

2.已知α—l—β二面角的度数是60°,面α内一点A到棱l的距离为2，则A到面β的距离为________.

3.正方形ABCD，P是正方形所在平面外一点，PA⊥平面AC，且PA=AB，则二面角A—PD—C的度数为________，二面角B—PA—D的度数为________，二面角B—PA—C的度数为________，二面角B—PC—D的度 数为________.

4.在60°的二面角α—l—β的面α内一点A到面β的距离为,A在β上的射影为A′,则A′到面α的距离为________；异面直线AA′、l间的距离为________.

5.菱形ABCD的对角线AC=，沿BD把面ABD折起与面BCD成120°的二面角后，点A到面BCD的距离为________.

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

1.在二面角α—l—β中，A、B∈α,D∈l,ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，

（1）求二面角α—l—β的大小；

（2）求证：MN⊥AB；

（3）求异面直线PA与MN所成角的大小.

2.长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长AB=，AA1=1，截面AB1C1D为正方形.

（1）求点B1到平面ABC1的距离；

（2）求二面角B—AC1—B1的正弦值.

3.四面体M—ABC中，MC⊥平面ABC，∠BAC=90°,MC=4,AC=3,AB=4,求二面角A—MB—C的余弦值.

4.如图，边长为20的正△ABC顶点A在平面α内，B、C在平面α同侧，且B、C到α的距离分别是10和5，求△ABC所在平面和α所成的二面角的大小.

5.如图，二面角M—CD—N的度数为α，A为M上一点，B为N上一点，CD在棱上，且AB⊥CD，又AB与平面N成30°角，若△ACD的面积为S，求α为何值时，△BCD的面积最大，其最大面积是多少？

立几面测试009

参

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.C  2.B  3.B  4.C  5.B

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.  2.3  3.90°  90°  45°  120° 4.  1  5. 

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

1.（1）解：连结PD

∵PA⊥α,AD⊥l，∴PD⊥l

∴∠PDA是二面角α—l—β的平面角.

由PA=AD，有∠PDA=45°.

故二面角α—l—β的大小为45°.

(2)证明：取CD的中点为E，连结ME、NE，则EM∥AD，EN∥PD，

∴CD⊥ME，CD⊥NE，

∴CD⊥平面MNE，又AB∥CD

∴AB⊥平面MNE，故AB⊥MN.

（3）解：取PD中点为Q，连结QA、QN，则QNCD,而AMCD.

∴QNMA是平行四边形.

∴AQ∥MN

∴∠PAQ是异面直线PA与MN所成的角.

∵△PAD为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线，

∴∠PAQ=45°

即PA与MN所成的角的大小为45°.

2.解：（1）如图，

∵棱长AB=，

AA1=1，

AB1C1D是正方形，

∴B1C1=AB1=2

∵AB⊥平面BB1C1C.

∴平面ABC1⊥平面BB1C1C.

作B1H⊥BC1于H，则B1H⊥平面ABC1，

∴B1H为点B1到平面ABC1的距离.

在Rt△BB1C1中

∵BB1·B1C1=BC1·B1H.

∴B1H=.

（2）作HO⊥AC1,垂足为O，则B1O⊥AC1

∴∠HOB1是二面角B—AC1—B1的平面角，又O是正方形AB1C1D的对角线交点，

∴sinB1OH=

3.解：如图，作AE⊥MB，CF⊥MB，则异面直线AE、CF所成的角等于二面角A—MB—C的平面角.

∵AC=3，MC=4，AM=5，AB=4.

∴BC=5，MB=

∵∠MAB=90°，AE=，CF=

BE=，MF=.

∴EF=MB－MF－BE=－×2=

由公式AC=得

cosθ=.

4.解：设BD、CE是点B、C到平面α的距离，则BD⊥α，CE⊥α,BD=10,CE=5,由直线与平面垂直的性质，得BD∥CE，

∴B、D、E、C共面.

∵BD≠CE,∴BC、DE必相交，

设交点为F，∵DFα,∴F∈α,

∵BC平面ABC  ∴F∈平面ABC，

∴F是平面ABC和平面α的又一公共点.

∵A是平面ABC和平面α的公共点，

∴平面ABC∩平面α=AF，

在△BDF中，∵BD∥CE，BD=2CE，∴CF=BC.

又∵△ABC为正三角形

∴CF=AC，∠ACF=120°

∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°+30°=90°.

由三垂线定理的逆定理，得DA⊥AF.

∴∠BAD是△ABC和平面α所成的二面角的平面角.

在Rt△ABD中，AB=20，BD=10，

∴∠BAD=30°，

∴△ABC所在平面和α所成的二面角的大小为30°.

5.解：过A作AO⊥平面N于O，连BO，BO或BO的延长线交CD于E，连AE.

∵CD⊥AB  ∴CD⊥BE

∴CD⊥AE.

∴∠AEB=α是二面角的平面角.

且∠ABO=30°

∵△ACD面积为S，设AE=h,CD=.

在△ABE中,∠AEB=α,∠ABO=30°,则∠BAE=150°－α.

由正弦定理,BE=

S△BCD=CD·BE=··=2Ssin(150°－α).

当α=60°时，S△BCD=2S为最大.

立几面测试010

一、选择题（本题每小题5分，共60分）

1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（    ）

    A．3    B．1或2    C．1或3    D．2或3

２如果和是异面直线,直线∥,那么直线与的位置关系是

    A．相交   B．异面      C．平行     D．相交或异面

３．下列命题中正确的是                                               （    ）

    A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线

    B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交

    C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行

    D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直

４．在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为           （    ）        A．    B． 

    C．    D． 

５．相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的射影所成的角是                                  （    ）

A． 90°           B．45°              C．60°            D．30° 

６．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点， 

    那么异面直线EF与SA所成的角等于 （    ）

A．60°    B． 90°  C．45°   D．30

７．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，

那么直线PC与平面PAB 所成角的余弦值是 （    ）

    A．            B．          C．             D． 

８．Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D是BC的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，

   且DE＝1，则点E到斜边AC的距离是     （    ）

    A．        B．         C．         D． 

９．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是（    ）

    A． PD⊥BD     B．PD⊥CD      

C．PB⊥BC    D．PA⊥BD

10．若a, b表示两条直线，表示平面，下面命题中正确的是        （    ）

    A．若a⊥, a⊥b，则b//

       B．若a//, a⊥b，则b⊥α

    C．若a⊥,b，则a⊥b          

D．若a//, b//，则a//b

　10．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于                （    ）

    A．45°           B．60°

    C．90°           D．120°　　　　　　　　　　　　　　　　　

12．如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为，则                （    ）

    A．              B． 

    C．                D． 

二、填空题（本题每小题４分，共１６分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AB1与 A1D所成的角的余弦值为                 ．

14．已知△ABC，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，（1）若点P 到△ABC的三个顶点的距离相等，那么O点一定是△ABC的               ；（2）若点P到△ABC的三边所在直线的距离相等且O点在△ABC内，那么O点一定是△ABC的               ．

15．如果平面外的一条直线a与内的两条直线垂直,那么a与位置关系是

16．A,B两点到平面的距离分别是３cm，５cm，M点是AB的中点，则M点到平面的距离是

三、解答题：(本大题满分74).    

18、（12分）

如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。

19．（12分）

AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，

    P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O， PB与平面所成角为45

   （1）证明：BC⊥平面PAC ；    

   （2）求点A到平面PBC的距离．

20.（12分）

A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.

   （1）求证：AB⊥CD；

   （2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.

21（14分）

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB, PC的中点 

(1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；    

（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小． 

22、．（本小题满分12分）

正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1．

（1）证明：面A′BD∥面B′CD′；

（2）求点B′到面A′BD的距离． 

立几面测试010

答卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

13.  14．外心、内心           15．平行或相交    16． 4cm或 1cm           

三、解答题（本大题共6题，共76分）

17．(12分) 证明：∵A、B、C是不在同一直线上的三点

∴由A、B、C确定一个平面, 又

18、证明：连接交于，连接，

∵为的中点，为的中点

∴为三角形的中位线20、证明：连接交于，连接，

∵为的中点，为的中点∴为三角形的中位线

∴

又在平面内，在平面外

∴平面。

19．（14分）解：（1）∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥BC

    ∵AB是⊙O的直径，C为圆上一点∴BC⊥AC

∴BC⊥平面PAC 

（2）过A作AD⊥PC于D∵BC⊥平面PAC，BC平面PBC

∴PAC⊥PBC，PC为交线  ∴AD⊥平面PBC ∴AD即为A到平面PBC的距离.

依题意，∠PBA为PB与面ABC所成角，即∠PBA＝45°∴PA=AB=2，AC=1，

可得PC=∵AD×PC＝PA×AC

    ∴AD＝，  即A到平面PBC的距离为…

20．(12分) 解（1）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.

（2）过A作于O，∵CD⊥平面ABM，∴CD⊥AO，∴AO⊥面BCD，

∴BM是AB在面BCD内的射影，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.

在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，.  

在△ACD中， AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=. 

在Rt△BCM中，BC=，CM=1，.

21．(12分) 证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE

（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点

    ∴ FO∥PA …………①     在△ABC中，

∵ E、O分别为AB、AC的中点    ∴ EO∥BC ,又    

∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②

综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF  平面EFO    ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD     

∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC    

∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若PDA＝45，则 PA＝AD＝BC     ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC     ∴ △FOE是直角三角形 ∴ FEO＝45

    22．(12分) （1）证明：∵A’D∥B’C，DB∥D’B’ 

又∵A’D∩DB＝D，B’C∩D’B’＝B’ ∴面A’BD∥面B’CD’ 

（2）解法一：易知B′到平面A′BD的距离d等于A到平面A′BD的距离，

且△A′BD为等边三角形

    由可知

    解得∴

解法二：易知B′到面A′BD的距离d等于A到面A′BD的距离

    沿A′BD截下三棱锥A-A′BD，易知是一个正三棱锥 

    过A作AF⊥A′BD，则AF即为A到平面A′BD的距离

    如右图，DE为A′B的中线，且F为△A′BD的中心

    ， 

    即A到平面A′BD的距离为.