一阶线性微分方程的几种解法和思路分析

魏明彬

【摘 要】常数变易法是求解线性微分方程的重要方法.数学家是如何想到的,是一个值得探讨的问题.讨论了得到常数变易法的思路.在求解一阶线性微分方程的过程中,根据“任何一个未知函数总可以表示为一个已知的恒不为零的函数和一个待定函数之积”,自然地得到了常数变易法.

【期刊名称】《成都师范学院学报》

【年(卷),期】2014(030)007

【总页数】3页(P122-124)

【关键词】线性方程;常数变易法;通解

【作 者】魏明彬

【作者单位】成都师范学院数学系,成都611130

【正文语种】中 文

【中图分类】O175

线性微分方程可以说是大家最熟悉的一类微分方程。讨论线性微分方程的文章也很多。例如，文[1]借助于因变量代换，得到了三阶变系数线性微分方程的若干新的可积类型。文[2]给出一类二阶变系数线性微分方程的通解公式。文[3]将几类变系数线性微分方程化为常系数的线性微分方程 ,从而求得它们的通解 。文[4]探讨了一阶线性自治非齐次微分方程组的特解,以及一阶线性齐次微分方程组的基本解组的求解问题,并提出新的特殊解法,从而得到其通解。文[5]介绍了一阶线性微分方程及一阶线性微分方程组的解法。上述文献(以及其他许多文献)，都是从科研角度出发，主要讨论一些特定类型的线性微分方程的解法。而本文从教学角度出发，主要讨论导出求解一阶线性微分方程的常数变易法的思路。这样做，有利于引导学生的思考，培养他们的自学能力。

我们称

y′+p(x)y=f(x)    (1)

为一阶线性非齐次微分方程，其中p(x),f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，称

y′+p(x)y=0      (2)

为(与(1)对应的)一阶线性齐次微分方程。

我们求解方程(1)，通常有三种方法。一种是积分因子法。先将方程(1)改写为方程

dy+p(x)y dx=f(x)dx    (3)

一般而言，微分方程(3)不是恰当微分方程。但是，对微分(3)的两边同时乘以非零因子μ(x)=e∫p(x)dx后，得到的新方程

e∫p(x)dxdy+e∫p(x)dxp(x)y dx=e∫p(x)dxf(x)dx(4)

却是一个恰当微分方程。因为它可以被改写成d(e∫p(x)dxy)=d(∫e∫p(x)dxf(x)dx)，两边积分即得

e∫p(x)dxy=∫e∫p(x)dxf(x)dx+C   (5)

解出y即得微分方程(1)的通解[6]

y=Ce-∫p(x)dx+e-∫p(x)dx ∫e∫p(x)dxf(x)dx(6)

求解方程(1)的另一种方法叫做常数变易法。我们通常是先求出它所对应的齐次方程(2)的通解。这是容易的。因为方程(2)是变量可分离方程，其通解为

y=Ce-∫p(x)dx

其中C为任意常数。然后，设

y=C(x)e-∫p(x)dx

为方程(1)的解，解得C(x)=∫f(x)e∫p(x)dxdx+C，将C(x)代回(8)即得方程(1)的通解[7](6)。

还有一种解法，即在介绍方程(1)的解法之前，先介绍方程(1)的一个基本性质：若y0(x)是方程(1)的一个特解，则y=y0(x)+Ce-∫p(x)dx就是方程(1)的通解[8]。这样，我们就把求方程(1)的通解问题转化为求方程(1)的一个特解的问题。而求方程(1)的特解，最终还是用常数变易法。

使用积分因子法求解方程(1)，事先不需要求出与方程(1)对应的方程(2)的通解，也不需要在求解之前先引入方程(1)的通解和特解之间的任何关系或性质，可谓简洁。但是使用这种方法，要求教师在教学过程中先讲述恰当微分方程和积分因子的内容，而这一部分内容通常比一阶线性微分方程的内容要难一些，所以，根据先易后难的一般原则，一般的常微分方程教材通常都是先讲述一阶线性微分方程的解法，后讲述恰当微分方程和积分因子的解法。这样，在求解方程(1)时，因为学生还没有学过恰当微分方程和积分因子法，自然就用不上积分因子法了。另外，寻找一个微分方程的积分因子，其技巧性较高，难度较大，这也使得用积分因子法求解方程(1)比较困难，初学者很难想到方程(1)有积分因子μ(x)=e∫p(x)dx。

常数变易法因将常数C变为待定函数C(x)而得名。这种解法，比积分因子法简单，学生容易理解和掌握但是如何想到把常数C变为待定函数C(x)，一般书上都讲得不是很清楚。

对于第三种解法，虽然有额外收获，但学生们会感到很突然。因为事前根本想不到去讨论方程(1)的通解和特解的关系，更想不到方程(1)有这样一个性质。

通过上面的分析，我们看到，上述几种解法，在思路上都没有讲得很清楚。这主要是受教材篇幅和体系安排所限，教材编著者难以解决。如果授课教师按部就班地按照教材来讲述，那么，学生们在学过之后。最多就是被动地接受了一些知识，而对他们自学能力的培养以及自主地解决问题的能力的培养，没有多大帮助。

下面，我们就来看看求解方程(1)的常规思路。首先，根据先易后难、先处理特殊情形后处理一般情形的原则(这个原则几乎对于任何学习或解决任何问题都是适用的)，我们的第一反应是，先求解与方程(1)对应的非齐次方程(2)(注意，在这里，我们不会去考虑特殊情形y′=f(x)，因为它不显含y的一次方，已经不是一阶线性微分方程)。而对于方程(2)，我们很容易认出这是一个变量可分离方程。这是我们会求解的(事实上，任何一本常微分方程教材，最先讲述的可求解的常微分方程就是变量可分离方程)。容易求得方程(2)的通解为 (7),其中C为任意常数。现在，让我们来分析一下我们已经掌握的事实：我们知道，方程(2)是方程(1)的特殊情形，因此，方程(2)的通解应该是方程(1)的通解的特殊情形。换一句话来说，方程(1)的通解，应该是方程(2)的通解的推广。更具体一点来说，在方程(1)的通解表达式中，让f(x)=0，就可以得到方程(2)的通解。那么，如何将方程(2)的通解y=Ce-∫p(x)dx(7)加以推广呢？这是我们工作的重中之重。初看起来，这个推广困难之极。因为方程(1)的通解中应该包含f(x)，而我们此时完全不知道f(x)应该以什么形式存在于通解表达式中。但是，如果我们再作进一步分析的话，我们完全可以先不考虑f(x)在通解表达式中的具体存在形式，而很容易地得到两种推广形式。一种是令

y=Ce-∫p(x)dx+u

其中y是方程(1)的通解，u是待定函数。这种推广的依据是：任何一个未知函数(在这里是y)总可以表示为一个已知函数(在这里是Ce-∫p(x)dx)和一个待定函数(在这里是u)之和，这种推广是我们人人都可以想到的。而另外一种推广是作变换(8)，其中y是方程(1)的通解，C(x)是待定函数。这种推广的依据是：任何一个未知函数(在这里是y)总可以表示为一个已知的恒不为零的函数(在这里是e-∫p(x)dx)和一个待定函数(在这里是C(x))之积。这种推广也是我们人人都可以想到的。作了这两种推广后，接下来我们的任务就是求出(9)中的待定函数u和(8)中的待定函数C(x)了。

现在，我们先来尝试求第一种推广中的待定函数u。将y=Ce-∫p(x)dx+u关于x求导，并将y和y′代人方程y′+p(x)y=f(x)(1)，化简得

u′+p(x)u=f(x)

很容易注意到，方程(1)和方程(1)′实际上是等价的，代表同一类型的方程。这样看来，我们从起点(即方程(1))出发，走了一转，又回到了起点(即方程(1)′，它等价于方程(1))。求解方程(1)的问题转化成了求解方程(1)′的问题，因为方程(1)′等价于方程(1)，所以没有任何进步，对求解方程(1)没有任何帮助。看来，要靠第一种推广来求出方程(1)的通解是行不通了。但是且慢，我们辛苦工作了一阵，如果就这样放弃的话，实在有点可惜。在放弃之前，让我们再来看看，就算没有达到预期的目的，那么，有没有别的收获呢？从前面的推导我们得到：y=Ce-∫p(x)dx+u是方程(1)的通解的充分必要条件是u是方程(1)的任意一个解。于是我们得到了方程(1)的解和方程(2)的解之间的一个重要关系，即

性质1：非齐次线性微分方程(1)的通解等于它所对应的齐次线性微分方程(2)的通解加上方程(1)的任意一个解；由此又可以推出：

性质2：方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解仍然是方程(1)的一个解；

性质3：方程(1)的任意两个解之差是方程(2)的一个解。这就是我们的额外收获。

接下来，我们再看看第二个推广。对y=C(x)e-∫p(x)dx关于x求导，然后将y和y′代入(1)，化简解出C′(x)得C′(x)=f(x)e∫p(x)dx，积分解得C(x)=∫f(x)e∫p(x)dxdx+C，将这个表达式代回(8)即得方程(1)的通解(6)。

这一次，我们成功了。从此式中，我们可以得到：方程(1)的通解等于方程(2)的通解加上方程(1)的某个特解。注意，该性质与前面得到的性质1是有区别的，要比性质1弱一些。

上面，我们通过常规的思路分析和逻辑推理，不但得到了方程(1)的通解，而且得到了方程(1)的解和方程(2)的解之间的关系，即三个性质。最为重要的是，这种分析和推导都不是跳跃性的，而是渐进性的，是学生可以完成的。这充分说明了思路的重要性。所谓渐进性，指的是我们在学习新知识、新理论、新方法等时，可以由我们已经学过的老知识、老理论、老方法等自然而然推出的。前面介绍的三种解法，都有不同程度的跳跃，因而学生们在学习时会感到有一些困难。

上面我们对一阶线性微分方程的几种解法做了详细的分析，从这些分析中我们看到，符合逻辑的分析推理在我们解决问题的过程中是何等的重要。一些教材限于篇幅和体系安排，比较注重传授知识，而对解决问题的思路分析就相对偏少，这对培养学生的自学能力和解决问题的能力是不够的。要弥补这个缺陷，就需要我们老师多用心，平时要努力钻研教材，找出解决问题的思路，传授给学生。只有我们教师坚持不懈地这样做，才能最终培养出高水平的学生，能更好地适应社会需要的学生。

【相关文献】

[1]吴檀，李安贵.三阶线性微分方程的若干新的可积类型[J].北京科技大学学报，1995，(3):2.

[2]冯录祥，侯新华.一类二阶线性微分方程的通解[J].固原师专学报， 1999，20(3)：9.

[3]章联生，王勤龙.几类变系数线性常微分方程的求解[J].北京石油化工学院学报，2003，11(4)：27

[4]阳凌云，符云锦.一阶线性微分方程组的解法新探[J].湖南工业大学学报，2010，24(1)：16.

[5]平根建.一阶线性微分方程的解法探析[J].沙洋师范高等专科学校学报，2012，13(2)：72

[6]丁同仁，李承治.常微分方程教程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2004:32

[7]东北师范大学微分方程教研室．常微分方程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2005：23

[8]王柔怀，伍卓群.常微分方程讲义[M].北京：人民教育出版社，1963：35.