工程力学第7章 弯曲强度答案

7－1  直径为 d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为 M 的力偶作用，如图所示。若 已知变形后中性层的曲率半径为 ρ ；材料的弹性模量为 E。根据 d、 ρ 、E 可以求得梁所承受 的力偶矩 M。现在有 4 种答案，请判断哪一种是正确的。

(A)

4

M＝Eπ  d

习题 7－1 图

(B)

ρ

M＝  ρ

(C)

Eπ  d 4

3

M＝Eπ  d

(D)

32 ρ

M＝ 32ρ

Eπ  d 3

正确答案是       A      。

7－2     关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下 4 种答案，请判断哪一种是正确的。

(A)     细长梁、弹性范围内加载；

(B)     弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；

(C)     细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；

(D)     细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。

正确答案是     C     _。

7－3     长度相同、承受同样的均布载荷 q 作用的梁，有图中所示的 4 种支承方式，如果从 梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。

l

5

习题 7－3 图

正确答案是 d  。

7－4     悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为 mm。求：梁的 1－1 截面上 A、

B 两点的正应力。

习题 7－4 图

解：1.  计算梁的 1－1 截面上的弯矩：

−⎜     ⎟

M =    ⎛1×103 N ×1m+600N/m ×1m ×1m ⎞ = −1300 N ⋅ m

⎝    2  ⎠

2.  确定梁的 1－1 截面上 A、B 两点的正应力：

A 点：

⎛150 ×10−3 m     ⎞

1300 N ⋅ m ×⎜     − 20 ×10−3 m ⎟

A

σ  = M z y =      ⎝     2     ⎠＝2.54×106 Pa = 2.54 MPa (拉应力)

I z

B 点：

100 ×10-3m ×(150 ×10-3m )3

12

1300N ⋅ m ×⎜ 0.150m − 0.04m ⎟

⎛    ⎞

σ    = M z y =      ⎝     2     ⎠ =1.62 ×106 Pa =1.62MPa(压应力)

I

z

B     0.1m ×(0.15m)3

12

7－5  简支梁如图所示。试求I-I截面上A、B两点处的正应力，并画出该截面上的正应力

分布图。

习题 7－5 图

(a)     A     C     B

(b)

FRA

3.kN ⋅ m

⊕

M max

FRB

解：（1）求支座约束力

FRA  = 3.kN,

FRB  = 4.36kN

习题 7－5 解图

（2）求I－I截面的弯矩值（见习题7－5解图b）

M I−I   = 3.kN ⋅ m

（3）求所求点正应力

A

σ    = M I-I y A

I z

3     3

I  = bh

z     12

= 75 ×150

12

= 21.1×106 mm4

y A  = (75 − 40) = 35mm

6

∴σ    = − 3. ×10

×35 = −6.04MPa

A     21.1×106

6

σ    = 3. ×10

× 75 =12.94MPa

B     21.1×106

7－6     加热炉炉前机械操作装置如图所示，图中的尺寸单位为 mm。其操作臂由两根无缝

钢管所组成。外伸端装有夹具，夹具与所夹持钢料的总重 FP＝2200 N，平均分配到两根钢管上。 求：梁内最大正应力（不考虑钢管自重）。

习题 7－6 图

解：

1． 计算最大弯矩：

−3     3

M max  = −2200N × 2395 ×10   m= −5.269 ×10  N ⋅ m

2． 确定最大正应力：

σ    = M max  =

M max

,     α =

66mm

= 0.611

max    3

2W

σ    = M max  =

2 × πD

32

(1 −α 4 )

3

5.268 N ⋅ m

108mm

= 24.71×106 Pa=24.71 MPa

max    2W

=π (1=    08 ×10−3 m )

2 ×    (1 − 0.6114 )

32

7－7     图示矩形截面简支梁，承受均布载荷 q 作用。若已知 q＝2  kN/m，l＝3  m，h＝2b

＝240 mm。试求：截面竖放(图 c)和横放(图 b)时梁内的最大正应力，并加以比较。

习题 7－7 图

解：1．计算最大弯矩：

ql 2

2 ×103 N/m ×(3m )2

M max

=    =    = 2.25 ×103   N ⋅ m

8     8

2．确定最大正应力：

3

平放：  σ

= M max   =

2.25 ×10  N ⋅ m × 6

= 3.91×106  Pa=3.91 MPa

max     2     −3

−3     2

 hb

6

240 ×10   m ×(120 ×10   m )

竖放：σ

= M max   =

2.25 ×103 N ⋅ m ×6

=1.95 ×106  Pa=1.95 MPa

max     2     −3

−3     2

 bh

6

120 ×10   m ×(240 ×10   m )

3．比较平放与竖放时的最大正应力：

σmax  (平放)

σmax  (竖放)

＝3.91

1.95

≈ 2.0

7－8     圆截面外伸梁，其外伸部分是空心的，梁的受力与尺寸如图所示。图中尺寸单位

为 mm。已知 FP＝10kN，q＝5kN/m，许用应力 [σ ]＝140 MPa，试校核梁的强度。

20

x

M(kN.m)

30.65

解：画弯矩图如图所示：

习题 7－8 图

3

σ     (  )

M max1  = 32 ×30.65 ×10  N ⋅ m = 113.8 ×106  Pa=113.8 MPa< [σ ]

max    实＝ 

W1

π (140 ×10-3m )3

σ     (  )

M max2   =

32 × 20 ×103 N ⋅ m

= 100.3 ×106  Pa=100.3 MPa< [σ ]

max    空＝ 

4

⎡    ⎛    ⎞ ⎤

W2     π (140 ×10-3m )3  ⎢1 −

⎢⎣

100

⎝    ⎠

⎦

⎜140 ⎟ ⎥

所以，梁的强度是安全的。

7－9     悬臂梁 AB 受力如图所示，其中 FP＝10 kN，M＝70 kN·m，a＝3 m。梁横截面的 形状及尺寸均示于图中(单位为 mm)，C 为截面形心，截面对中性轴的惯性矩 Iz＝1.02×108 mm4， 拉伸许用应力 [σ ]＋＝40 MPa， 压缩许用应力 [σ ]－ ＝120 MPa。试校核梁的强度是否安全。

解：画弯矩图如图所示：

M(kN.m)

C 截面

30

x

10

40

习题 7－9 图

3     −3

σ

+

max

= 30 ×10  N ⋅ m ×96.4 ×10   m = 28.35 ×106 Pa=28.35 MPa

1.02 ×108 ×10−12 m4

3     −3

D 截面

－

σ

max

= 30 ×10  N ⋅ m ×153.6 ×10   m = 45.17 ×106 Pa=45.17 MPa

1.02 ×108 ×10−12 m4

3     −3

σ

+

max

= 40 ×10  N ⋅m ×153.6 ×10   m = 60.24 ×106 Pa=60.24 MPa> [σ ]

1.02 ×108 ×10−12 m4

3     −3

σ

－

max

= 40 ×10  N ⋅ m ×96.4 ×10   m = 37.8 ×106 Pa=37.8 MPa

1.02 ×108 ×10−12 m4

所以，梁的强度不安全。

7－10     由 No.10 号工字钢制成的 ABD 梁，左端 A 处为固定铰链支座，B 点处用铰链与钢 制圆截面杆 BC 连接，BC 杆在 C 处用铰链悬挂。已知圆截面杆直径 d＝20 mm，梁和杆的许用 应力均为 [σ ]＝160 MPa，试求:结构的许用均布载荷集度 [q]。

0.5

x

M(kN.m)

0.4125

习题 7－10 图

解：画弯矩图如图所示：

对于梁：

M max  = 0.5q

σ    = M max   ≤ [σ ],

0.5q ≤ [σ ]

max     W     W

[σ ]W

160 ×106 × 49 ×10−6

q ≤    =    = 15.68 ×103  N/m=15.68 kN/m

0.5    0.5 

对于杆：

σ

= FN   ≤ [σ ],

4FB   = 4 × 2.25q ≤ [σ ]

max     A

πd 2

πd 2

πd 2 ×[σ ]

π ×(20 ×10-3 )2 ×160 ×106

q ≤    =    = 22.34 ×103  N/m=22.34 kN/m

4 × 2.25     4 × 2.25

所以结构的许可载荷为

[q] = 15.68 kN/m

7－11  图示外伸梁承受集中载荷 FP 作用，尺寸如图所示。已知 FP＝20 kN，许用应力 [σ ]＝

160 MPa，试选择工字钢的号码。

习题 7－11 图

解：

max     P

M     = F ×1m=20 ×103  N ×1m=20 ×103  N ⋅ m

σmax

= M max

W

≤ [σ ],

F ×1m    20 ×103 ×1m

W ≥     P      =    = 0.125 ×10－3  m3＝125 cm3

[σ ]

所以，选择 No.16  工字钢。

160 ×106 Pa

7－12     图示之 AB 为简支梁，当载荷 FP 直接作用在梁的跨度中点时，梁内最大弯曲正应

力超过许用应力 30％。为减小 AB 梁内的最大正应力，在 AB 梁配置一辅助梁 CD，CD 也可以

8

习题 7－12 图

看作是简支梁。试求辅助梁的长度 a。

解： 1．没有辅助梁时

σmax

= M max   ≤ [σ ],

W

FPl 

  4    = 1.30 [σ ]

W

σmax

= M max   ≤ [σ ],

W

FPl (3 − 2a )

  2     = [σ ]

W

FPl (3 − 2a )

FPl 

  2     =       4     = [σ ]

W     1.30 ×W

1.30 ×(3 − 2a ) = 3

a = 1.384 m

7－13     一跳板左端铰接，中间为可移动支承。为使体重不同的跳水者站在跳板前端在

跳板中所产生的最大弯矩Mzmax均相同，问距离  a  应怎样变化?

习题 7－13 图

解：最大弯矩发生在可移动简支点B处。（见图a、b）

设不同体重分别为W，W  + ΔW ,则有，

W (l − a) = (W + ΔW )(l − a − Δa)

A     B    W     A

a + Δa    B

W + ΔW

整理后得

a 图

Δa =

ΔW

(W + ΔW )

b 图

(l − a)

此即为相邻跳水者跳水时，可动点B的调节距离 Δa 与他们体重间的关系。

7－14     利用弯曲内力的知识，说明为何将标准双杠的尺寸设计成  a=l/4。

习题 7－14 图

解：双杠使用时，可视为外伸梁。

其使用时受力点应考虑两种引起最大弯矩的情况。如图a、b所示。

FP

l / 2

l / 2

A     C     B

a 图

FP

a     a     FP

A     C     B

b 图

若将a的长度设计能达到下述情况为最经济、省工：

M +     = M −    ，

max

max

即正负弯矩的绝对值相等，杠为等值杆。 当a=l/4时，

M

+

max

M

−

max

= FP l / 4 （如图a，在中间面C）；

= FP l / 4 （发生在图b所示受力情况下的A面或B面）。

7－15     图示二悬臂梁的截面均为矩形(b×h)，但(a)梁为钢质，(b)梁为木质。试写出危

险截面上的最大拉应力与最大压应力的表达式，并注明其位置。二梁的弹性模量分别为E钢、

E木。

F

P     FP

习题 7－15 图

解：（1）两悬臂梁均为静定梁，故应力与材料弹性常数无关。

（2）两悬臂梁均发生平面弯曲，危险面均在固定端处。

（3）钢梁：

（4）木梁：

σ

+

max

σ

−

max

= 6FP l bh2

= 6FP l bh 2

（在固定端处顶边诸点）

（在固定端处底边诸点）

σ

+

max

σ

−

max

= 6FP l hb 2

= 6FP l hb 2

（在固定端处后侧边诸点）

（在固定端处前侧边诸点）

7－16     T  形截面铸铁梁受力如图所示，其截面的 I z

= 2.59 ×10−6 m 4 。试作该梁的内力

图，求出梁内的最大拉应力和最大压应力，并指出它们的位置。画出危险截面上的正应力分 布图。

习题 7－16 图

解：（1）求支座约束力

FRA  = 37.5kN,

FRB   = 112.5kN

（2）作内力图，剪力图、弯矩图分别见习题7－16解图b、c。

（3）求所最大正应力和最小正应力

E、B两截面分别发生最大正弯矩与最大负弯矩。 所以，两个截面均有可能是危险截面。

6

σ +   = M E y2

= 14 ×10

×142 = 76.8MPa （在E截面下缘）

max

I

z

2.59 ×107

6

σ −   = M B y2   = 25 ×10

×142 = −137MPa （在B截面下缘）

max

I

z

2.59 ×107

正应力分布图见图d。

(a)    A

q

E    B    D

2m    1m

50 kN

37.5 kN

⊕

(b)

⊕

Ө

y

1

62.5 kN

43.6MPa

(d)

(c)

14 kN·m    y2

⊕

Ө

25 kN·m

76.8MPa    137MPa

习题 7－16 解图

7－17     发生平面弯曲的槽形截面(No.25a)简支梁如图所示。在横放和竖放两种情况

下， (a)比较许用弯曲力偶矩mO的大小，已知[σ]=160MPa；(b)绘出危险截面上的正应力分 布图。

习题 7－17 图

解：

(a)

FRA

2    M max

mO

5

FRB

(b)     ⊕

Ө

y1

(c)

y2

3

m

5   O

σ

+

max

y1

y2

−

σ

+

max

−

σ

max

σ max

习题 7－17 解图

（1）求支座约束力

FRA

= FRB

= mO  kN

5

（2）作弯矩图见习题7－17解图b所示。

（3）竖放下的许用弯曲力偶矩mO

由型钢表查得

从b图中得：

W=269.6×103  mm3

M     = 3mO

由强度条件

max

σ max  =

5

M max

W

≤ [σ ]

3

m   ≤ 5 W [σ ] = 5 × 269.6 ×10

×160 = 71.kN ⋅ m

O     3     3

（4）横放下的许用弯曲力偶矩mO：

由型钢表查得

由强度条件

W=30.61×103  mm3

3

m   ≤ 5 W [σ ] = 5 ×30.61×10

×160 = 8.16kN ⋅ m

O     3     3

危险截面上的正应力分布图见图c。

7 － 18    制动 装置的 杠 杆 用直径 d=30mm 的 销 钉支承 在 B 处。 若 杠 杆的许 用应力 

[σ]=140MPa，销钉的剪切许用应力[τ]=100MPa，求许可载荷[FP1], [FP2]。

FP1

FP2

习题 7－18 图

解：（1）求 FP1   与 FP2 的关系

杠杠平衡时有： FP1 ×1000 = FP2 × 250 ，

（2）作弯矩图，如图 a 所示

FP2  = 4FP1

FP1

FP2

(a )    Ө

5FP1

1000FP1

(b)

5 F     5 F

2   P1

2   P1

（3）梁的弯曲正应力强度条件

习题 7－18 解图

σ max  =

M max

W

≤ [σ ]

20 × 603

(

20 ×303

−    )

W =       12     12     =1.05 ×104 mm3

30

1000Fp1

W

≤ [σ ]

4

F     ≤ W [σ ] = 1.05 ×10

×140 = 1.47kN

P1     1000

1000

∴FP2   ≤ 5.88kN

（4）校核销钉的剪切强度 剪切强度条件：

FQ

τ max  =

A

≤ [τ ]

其中， F

= 5 F

= 3.675mm2

Q     2   P1

∴τ max

= 3.675 ×10

3

706.86

= 5.2MPa < [τ ]

则，销钉安全。

（5）杠杆系统的许可载荷为

[FP1 ] = 1.47kN ，

[FP2 ] = 5.88kN 。

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