高数 考研经典题目

1 .  设，问和为何值时，可导，且求

解：∵时，，

时， 

∴

由处连续性，，，可知

再由处可导性，

存在

存在

且

根据洛必达法则

，∴

于是

例2  设为周期是5的连续函数，在邻域内，恒有。其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。

解：由题设可知，，故切线方程为

    所以关键是求出和

    由连续性

    由所给条件可知，∴

再由条件可知

令，又∵

∴ 上式左边=

           =

则     

所求切线方程为  即

例2  设，求  （正整数）

解： 

 微分中值定理

一、用罗尔定理的有关方法

例1  设在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且，.

      试证：必存在，使

    证：∵在[0，3]上连续，∴在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是；；，故. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，因此，且在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在使得。

例2  设在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且

求证：存在使

证：由积分中值定理可知，存在，使得

得到                    

对在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）

故存在，使

例3设在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意，有求证存在使

证：由积分中值定理可知存在使得

令，可知

这样，对在上用罗尔定理（三个条件都满足）存在，使

而

∴

又，则

在例3的条件和结论中可以看出不可能对用罗尔定理，否则结论只是，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数，它与有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些

模型Ⅰ：设在上连续，（）内可导，则下列各结论皆成立。

（1）存在使（为实常数）

（2）存在使（为非零常数）

（3）存在使（为连续函数）

证：（1）令，在上用罗尔定理

    ∵

    ∴ 存在使

消去因子，即证.

（2）令，在上用罗尔定理

    存在使

    消去因子，即证。

（3）令，其中

      由

    清去因子，即证。

例4  设在上连续，在（0，1）内可导，，，试证：

    （1）存在，使。

（2）对任意实数，存在，使得

证明：（1）令，显然它在[0, 1]上连续，又，根据介值定理，存在使即

（2）令，它在上满足罗尔定理的条件，故存在，使，即

从而  

（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取为，取为）

模型Ⅱ：设，在上皆连续，（）内皆可导，且，，则存在，使

证：令，则，显然在[]上满足罗尔定理的条件，则存在，使，即证.

例5  设在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，，为正整数。

      求证：存在使得

      证：令，，则，，用模型Ⅱ，存在使得

故

则

例6  设在内可导，且，求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点

      证：反证法：设，，而在内，则令在上用罗尔定理

    []

    （不妨假设否则结论已经成立）

    则存在使，得出与假设条件矛盾。所以在内至少有一个零点

例7  设在[]二阶可导，且，又

      求证：（1）在（）内；（2）存在，使

      证：（1）用反证法，如果存在使，则对分别在[]和[]上用罗尔定理，存在使，存在使，再对在[]上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在内

（2）由结论可知即，因此

令，可以验证在[]上连续，在内可导，满足罗尔定理的三个条件

故存在，使

于是成立

二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理

例1  设在内可导，且， 

      求的值

解：由条件易见， 

由拉格朗日中值定理，有

其中介于与之间，那么

于是，，则

例2设是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且，又设是

在[1，2]上的最大值，证明：存在，使得。

      证：由周期性可知，不妨假定而，对分别在[1,]和[, 2]上用拉格朗日中值定理，

      存在，使得         ①

      存在，使得       ②

      如果，则用①式，得；

如果，则用②式，得；

因此，必有，使得

例3  设在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，且，，证明：

      （Ⅰ）存在，使得

      （Ⅱ）存在，，使

证：（Ⅰ）令，则在[0, 1]上连续，且，，用介值定理推论存在，使，即

    （Ⅱ）在[0,]和[，1]上对用拉格朗日中值定理，存在，使得

存在，，使

      ∴

例4  设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导，且，若极限存在，证明：

    （1）在内；

    （2）在内存在，使

；

   （3）在内存在与（2）中相异的点，使

证：（1）因为存在，故，由在[]上连续，从而. 又知在内单调增加，故

    （2）设，

         则，故，满足柯西中值定理的条件，于是在内存在点，使

          ，

即                 

    （3）因，在[]上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由（2）的结论得

，

      即有               .

三、泰勒公式（数学一和数学二）

例1 设在[-1，1]上具有三阶连续导数，且，，.

     求证：，使.

     证：麦克劳林公式

        其中，介于0与之间。  ∵

        后式减前式，得

    ∵在[]上连续，设其最大值为，最小值为.

则

再由介值定理， 

使

例2设函数在闭区间[]上具有二阶导数，且，试证：在内至少存在一点，使

成立。

分析：因所欲证的是不等式，故需估计，由于一阶泰勒公式

，（其中在之间）

含有，因此应该从此入手. 再由知，应在两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的项，同时又能出现项.

证：在与上分别用泰勒公式，便有

.

.

两式相减，得

            .

所以至少存在一点，使得

                          不定积分

例、求下列不定积分

（1）                    （2）（a）

（3）（） （4）

解：（1）＝＝＝

                =

（2）＝

                    ＝

                    ＝

                    ＝－

（3）=

                        =

（4）==＝

例、 求

解： ＝ 6＝ 6

＝6＝2

=2-3

例、求

解一： ＝

    ＝＝－=- (这里已设x>0)

解二：倒代换

＝ 

＝－    

原式＝－＝= (x>0)

例 求

解一：＝x(arcsinx)—=x—2

      =x+2

      = x+2

      = x+2

      = x+2arcsinx－2x+C

解二：令arcsinx＝t，则x＝sint ，

      ＝

      ＝＝

      ＝＋2tcost－2sint +C

       =x+2

例 设f（x）的一个原函数F（x）＝，求I＝

解：I＝＝xf（x）－＝x

     =－＋C

例 设，当x时 f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(x)>0，            

 求f（x）（x

解：2＝2＝

而＝＝

  =+－＝＋

＝＋C ， ， C=0，又，

因此

则 f（x）＝＝

例8、设＝，求I＝

解一：令u=，则sinx＝，x＝arcsin，f(u)= 

则 I＝＝－＝－2

    ＝－2＋2

＝    －2＋＋C

解二：令x＝，则，dx＝2costsintdt，

则I＝

   ＝－2tcost＋2＝－2tcost＋2sint＋C

   ＝－2＋2＋C

积分证明题

例1、设f（x）在[0,]上连续，，，求证存在

证：令F（x）＝  则F(0)＝0，F()＝0，

又0＝＝＋＝

如果F(x)sinx在（0,）内恒为正，恒为负 则也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在使，而sin，所以F（）＝0  于是在区间上分别用罗尔定理，则存在使，存在＝0，其中

例2、设在[0,1]上有连续的一阶导数，且f（0）＝f（1）＝0，试证：，其中M＝

证：用拉格朗日中值定理

f（x）＝f（x）－f（0）＝，其中

f（x）＝f（x）－f（1）=,其中

由 题设可知; 又

因此

＝M＝

例3．设f（x），g（x）在上连续，证明

证一：（引入参数法）

设t为实参数， 则

＋2＋

作为t的一元二次不等式 A＋2Bt＋C，则－AC0

即,因此

证二：（引入变上限积分）

令F（u）＝

于是＝2f（u）g（u）

         ＝

         ＝     

则 F（u）在上单调不增   故

即

证三： （化为二重积分处理）

令 I＝， 则I＝，其中区域D：，同理 I＝

2I＝

，故2I

因此，I＝

例4．设f（x）在上连续，证明

证：在例3中，令g（x）＝1，则

于是＝

例5．设在上连续，且>0，证明

证：在例3柯西不等式中，取f(x)为，g(x)为

则，，

而

因此

例6、设在上具有连续导数，且＝＝0，，

求证： 

证：在例3柯西不等式中取f(x)为，g（x）为x

于是

===

                       定积分的应用

例1、求曲线处法线与曲线所围成图形的面积

解： 先找出法线方程

法线方程 y－1＝（－1）（x－）

 x＋y＝

曲线和法线x＋y＝的另一交点为 

所求面积 S＝

例2、设f(x)在上连续，在（a, b）内，证明，且唯一，使得y＝f（x），y＝f，x＝a，所围面积是y＝f（x），y＝f，x＝b 所围面积的三倍。

证：令F（t）＝

由连续函数介值定理的推论可知使F＝0

再由，可知f（x）的单调增加性，则唯一

例3、设y＝f（x）在上为任一非负连续函数。

（1）试证：，使上以f（x）为高的矩形面积等于上以y＝f（x）为曲边的曲边梯形面积。

（2）又设f（x）在（0，1）内可导，且，证明（1）中唯一。

（1）证：设，则，且，对F(x)在上用罗尔定理

，使，即证毕

（2）证：令

                                     ＝－2f(x)－<0(由（2）的已知条件)

因此在（0，1）内， 单调减少， 是唯一的

例4 求由曲线y＝和直线y＝0，x＝1，x＝3 所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

解一：平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积

＝

平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积

＝27

所求体积=+=9

解二： 

        =

         =

例5、设是由抛物线和直线x=a, x=2 及y=0 所围成的平面区域;是由抛物线和直线x=a, y=0所围成的平面区域, 其中0(1) 试求绕x轴旋转而成的旋转体体积;绕y轴而成的旋转体体积(如图)

(2)问当a为何值时, +取得最大值? 试求此最大值

解  (1)  =

        =

或      =

(2) V=+=

由=0,

得区间 (a,2) 内的唯一驻点 a=1.

又因此a=1 是极大值点, 也是最大值点. 此时+的最大值为

二 物理和力学方面应用(数学一和数学二)

例  为清除井底的污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口, 已知井深30m, 抓斗自重400N, 缆绳每米重 50N, 抓斗抓起污泥重2000N, 提升速度 3m/s, 提升过程中污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 问克服重力需作多少焦耳的功?

说明：(1) 1N1m=1J; m, N, s, J 分别表示米, 牛顿, 秒, 焦耳.

      (2)抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.

解：所需作功 W=

     是克服抓斗自重所作的功=40030=12000

   是克服缆绳重力作的功=

是提取污泥所作的功=

所以 W==91500(J)

                 用特殊方法计算定积分

例1、计算下列定积分

（1）I＝（f为连续函数，f（sinx）＋f（cosx））

（2）I＝

（3）I＝（a常数）（）

（4）I＝

解：（1）令x＝，则

I＝， 2I＝＝， I＝

（2）令x＝，则

I＝＝

  ＝－I  ， 2I＝，   I＝

（3）令x＝，则

I＝－＝，

2I＝＝＝，I＝

（4）令9－x＝t＋3，则 x＋3＝9－t，于是

I＝＝

因此，2I＝，则I＝1

例1、设连续函数f（x）满足f（x）＝lnx－，求

解：令＝A，则f（x）＝lnx－A，

两边从1到e进行积分，得＝－＝（xlnx－x）－A（e－1）于是A＝e－（e－1）－A（e－1），eA＝1，A＝，则＝

例2、设f（x）连续，且，f（1）＝1，求

解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令u＝2x－t，则

－＝2x－（u>0）

代入条件方程后，两边对x求导，得

三、递推方法

例1、设＝（n＝0，1，2，……）

（1）求证当n2时，＝

（2）求

解：（1）＝＝－xcosx＋

              ＝(n—1) =(n—1) 

           =(n—1)－（n－1）

       n＝(n—1)，则＝（n）

（2）＝，＝1，

当n＝2k 正偶数时，

＝＝＝ ＝＝

当n＝2k＋1 正奇数时，

＝＝＝＝＝

例2、设＝  ，求证＝  

证：令x＝—t, ==  则＝  

例3、设＝ 求证＝

解：＝＝＝

 例4：计算（n为正整数）

解一：令x＝cost

＝＝＝

解二：＝

         ＝－

         ＝－＝…

         ＝

         ＝＝

二、广义积分

例1、计算I＝

解：I＝＝＝－

     ＝－＋＝＋

＝＝0

＝

  ＝＝ln＝ln1－ln＝ln2

（这里＝ln1＝0） 于是I＝＋＝ln2

例2计算

解：令x＝，I＝＝

由于＝

I＝==

     = arctan

     ==