南京 高考数学 模拟试题(1)

                   数 学I

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．

4． 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．

1．, ,若对应点在第二象限,则m的取值范围为    ▲    ．

2.已知全集，集合，则中最

  大的元素是    ▲    ．

3．已知，若函数的最小正周期是2,

   则    ▲    ．

4.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是:    ▲    ．

While  <10

End While

Print “”

5．已知函数，，则的单调减区间是    ▲    ．

6．在数轴上区间内，任取三个点，则它们的坐标满足不等式：

的概率为    ▲    ．

7．P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为：    ▲    ．

8、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题序号是    ▲    ．

(1)若m∥,n∥,则m∥n，            (2)若则

(3)若，且，则；(4)若，，则

9. 定义在上满足:，当时， =，

则=    ▲    ．

10.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，

记，则当最小时    ▲    ．

11.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个

   数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，

如：…，则第行第3个数字是    ▲    ．

12. 已知正方形的坐标分别是, ,，，动点M满足： 则    ▲    ．

13. “”是“对正实数，”的充要条件，则实数    ▲    ．

14.函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是    ▲    ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．(本题满分14分)

     已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R，都有f (－x) = f (2＋x)成立，设向量

= ( sinx , 2 ) ， = (2sinx ,)， = ( cos2x , 1 )， =(1,2)，

（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；

（Ⅱ）当x∈[0,π]时，求不等式f (·)＞f (·)的解集.

16．(本题满分14分)

在如图的多面体中，⊥平面，,，，

，，，是的中点．

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求证：；

(Ⅲ)求多面体的体积.   

17．(本题满分14分)

     已知双曲线的两焦点为，为动点，若．

（Ⅰ）求动点的轨迹方程；

（Ⅱ）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点．试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

18．(本题满分16分)

      如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为

（1）设∠CA1O =  (rad)，将y表示成θ的函数关系式；

（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长。

19．(本题满分16分)

    已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。

（1）求的值；

（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；

（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。

20．(本小题满分16分)

   函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点(1,1)为函数f(x)的驻点，则称f(x)具有“1—1驻点性”.

（1）设函数f(x)=-x+2+alnx，其中a≠0。

①求证：函数f(x)不具有“1—1驻点性”；②求函数f(x)的单调区间

（2）已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1—1驻点性”，给定x1，x2R，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠-1，α=，β=，若|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，求λ的取值范围.

数学Ⅱ（附加题）

23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．（矩阵与变换）求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.

2. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为，其中为参数.以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.

二．[必做题] 每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

3. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.

（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？

（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.

4. 已知数列满足：.

（Ⅰ）求证：使；

（Ⅱ）求的末位数字.

模拟试卷(三)

数学参

1. 2. 3  3.－1  4. 28  5. 

6.的实质是点在点之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为

7.解析：焦点=,而的最小值是8. (3) (4) 

9.2 

10当离圆最远时最小，此时点坐标为：记，

则，计算得=   

11.， 

12.设点的坐标为，∵，∴． 整理，得（），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以

13. 若则不符合题意，若则于是，亦可转化为二次函数恒成立展开讨论。

14.由于在上是减函数，所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得

15．解；（1）设f(x)图象上的两点为A(－x,y1）、B(2＋x, y2），因为=1   

   f (－x) = f (2＋x)，所以y1= y2

由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，

∴x≥1时，f(x)是增函数 ；x≤1时，f(x)是减函数。

（2）∵·=（sinx，2）·（2sinx,）=2sin2x＋1≥1，

·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，

∵f(x)在是[1，+∞）上为增函数，∴f (·)＞f (·)f(2sin2x＋1)＞ f(cos2x＋2)

2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2

cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈z

kπ＋＜x＜kπ＋, k∈z   ∵0≤x≤π      ∴＜x＜

综上所述，不等式f (·)＞f (·)的解集是：{ x|＜x＜} 。

16．解：(Ⅰ)证明：∵，∴.

       又∵,是的中点， ∴，

        ∴四边形是平行四边形，∴. 

∵平面，平面，∴平面.  

(Ⅱ)证明：∵平面，平面，∴， 

又，平面，∴平面.  

过作交于，则平面.

∵平面， ∴.  

∵，∴四边形平行四边形，∴，

∴，又，

∴四边形为正方形，∴， 

又平面，平面,∴⊥平面.  

∵平面, ∴. 

(Ⅲ) ∵平面，，∴平面， 

由（2）知四边形为正方形，∴. 

∴，  

17．解法一：

（Ⅰ）由题意知：，又∵，∴动点必在以为焦点，

长轴长为4的椭圆，∴，又∵，．    

∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意，可设直线为：．

1取得，直线的方程是

直线的方程是交点为        

若，由对称性可知交点为

若点在同一条直线上，则直线只能为．

②以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．

事实上，由，得即，

记，则．

设与交于点由得

设与交于点由得

，            

∴，即与重合，

这说明，当变化时，点恒在定直线上．

解法二：

（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为

取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为．

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．

事实上，由，得即，

记，则．

的方程是的方程是

消去得……………………………………    ①

以下用分析法证明时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明

即证即证………………    ②

∵∴②式恒成立．

这说明，当变化时，点恒在定直线上．

解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得

即．

记，则．

的方程是的方程是    

由得    

即

    ．

这说明，当变化时，点恒在定直线上．

18. （Ⅰ）解：在△COA1中，

，，     ………2分

=

（）……7分

（Ⅱ），   

令，则              ………………12分

当时，；时，，

∵在上是增函数

∴当角满足时，y最小，最小为；此时BCm   …16分

19解：（1）由已知，得，  ∴ 

   （2）由得则，

∴，即，

于是有，并且有，

∴即，

而是正整数，则对任意都有，

∴数列是等差数列，其通项公式是。  

（3）∵

∴

；

由是正整数可得，故存在最小的正整数M=3，使不等式恒成立。

20．解：（Ⅰ）① =-1++ ∵=-1+1+a≠0，

∴函数f(x)不具有“1—1驻点性”.…………………………………………2分

②由== 

(ⅰ)当a+＜0,即a＜-时，＜0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数； 

(ⅱ)当a+=0,即a=-时，显然≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数；………………4分

(ⅲ)当a+＞0，即a＞-时，由=0得=±…………………………6分

当-＜a＜0时， -＞0∴x(0, a+-)时，＜0; 

x( a+-, a++)时，＞0; x( a++, +∞)时，＜0; 

当a＞0时， -＜0 ∴x(0, a++)时，＞0; x( a++,+∞)时，＜0; 

综上所述：当a≤-时，函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)；    

当-＜a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为(0, a+-)和( a++,+∞)，

函数f(x)的单调递增区间为( a+-, a++)；

当a＞0时,函数f(x)的单调递增区间为(0, a++)，

函数f(x)的单调递减区间为( a++, +∞)；………………………………9分

（Ⅱ）由题设得： =3bx2+6x+c,∵g(x)具有“1—1驻点性”∴且

即解得∴=-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0，故g(x)在定义域R上单调递减.

①当λ≥0时，α=≥=x1，α=＜=x2，即α[x1,x2),同理β(x1,x2] 11分

由g(x)的单调性可知：g(α)，g(β)[ g(x2),g(x1)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x1)-g(x2)|与题设|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|不符.

②当-1＜λ＜0时，α=＜=x1，β=＞=x2…………………13分

即α＜x1＜x2＜β∴g(β)＜g(x2)＜g(x1)＜g(α)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，符合题设

③当λ＜-1时，α=＞=x2, β=＜=x1，即β＜x1＜x2＜α

∴g(α)＜g(x2)＜g(x1)＜g(β)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|也符合题设……… ……15分

由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠-1……   …………………16分

数学Ⅱ（附加题）参

1．解：矩阵M的特征多项式为=.

令得矩阵M的特征值为－1和3 .

当

所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.

当

所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.

2．解：直线l的普通方程为：，设椭圆C上的点到直线l距离为.

∴当时，，当时，.

3．解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

平面ABC的一个法向量为则（*）

于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，

.

（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为

，设平面PMN的一个法向量为，.

由得，解得.

令于是由

，

解得的延长线上，且.

4．解：⑴当

假设当

则当时， 

…

其中….

所以

所以；

（2），故的末位数字是7.