2016讲弹性力学试题及答案1

一、填空题

1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。

3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。

4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。

5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。

6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

2、平面问题分为                 和               。

    平面应力问题  平面应变问题

6、在弹性力学中规定，切应变以      时为正，      时为负，与      的正负号规定相适应。

 直角变小   变大  切应力

7、小孔口应力集中现象中有两个特点：一是                  ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是                 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。

    孔附近的应力高度集中        ,   应力集中的局部性       

四、分析计算题

1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1），，；

（2），，；

其中，A，B，C，D，E，F为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程；（2）在区域内的相容方程；（3）在边界上的应力边界条件；（4）对于多连体的位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量，，，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。

解：将所给应力分量代入平衡微分方程

得

即

由x，y的任意性，得

由此解得，，， 

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。

（1），，；

（2），，；

（3），，；

其中，A，B，C，D为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：

（1）相容。

（2）（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。

（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则，，（1分）。

5、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

解：将应力函数代入相容方程

可知，所给应力函数能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为

，， 

对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：

上边，，，，，；

下边，，，，，；

左边，，，，，；

右边，，，，，。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。

6、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

解：将应力函数代入相容方程

可知，所给应力函数能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为

，， 

对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：

上边，，，，，；

下边，，，，，；

左边，，，，，；

右边，，，，，。

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。

7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

                      解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知

                      将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

                      将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即

，     

这两个方程要求

，     

代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得

对应应力分量为

以上常数可以根据边界条件确定。

左边，，，，沿y方向无面力，所以有

右边，，，，沿y方向的面力为q，所以有

上边，，，，没有水平面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

将的表达式代入，并考虑到C=0，则有

而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

，    

将的表达式代入，则有

由此可得

，，，， 

应力分量为

,  ,  

虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。

解：纯三次的应力函数为

相应的应力分量表达式为

,  ,  

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。

上边，，，，没有水平面力，所以有

对上端面的任意x值都应成立，可见

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

对上端面的任意x值都应成立，可见

因此，应力分量可以简化为

，， 

斜面，，，，没有面力，所以有

由第一个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

由第二个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

（1分）

由此解得

（1分），

从而应力分量为

, ,                 

设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为。因此，所求在这部分边界上合成的主矢应为零，应当合成为反力。

可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为，液体的密度为，试求应力分量。

解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与成正比（g是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与成正比。此外，每一部分还与，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，和的量纲是L-2MT-2，是量纲一的

量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是，，，四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。

其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设

相应的应力分量表达式为

, , 

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。

左面，，，，作用有水平面力，所以有

对左面的任意y值都应成立，可见

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

对左面的任意y值都应成立，可见

因此，应力分量可以简化为

，， 

斜面，，，，没有面力，所以有

由第一个方程，得

对斜面的任意y值都应成立，这就要求

由第二个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

由此解得

， 

从而应力分量为

, , 

1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为）                      （13分）

题三（1）图

解：很小，，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。

将应力函数代入，可求得应力分量：

     ；     ；

   边界条件：

（1）；   

代入应力分量式，有

     或             （1）

（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：，和M = Pd

由该脱离体的平衡，得

将代入并积分，有

  得          （2）

联立式（1）、（2）求得：

， 

代入应力分量式，得

；；。

结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。