线性代数试题及详解1

一、单项选择题

1．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则下列结论正确的是

A ．

T

T T T C B A ABC =）（ B ．CBA ABC = C ．C B A ABC ⋅⋅=

D ．1111()ABC A B C ----=

【答案】C

【解析】本题比较综合，考查了矩阵乘积的转置、逆矩阵、行列式以及性质。

A 不对，

T T T T

ABC C B A =（）；B 不对，因为矩阵乘法不满足交换律；C 是正确的，有限个方程乘积的行列式等于它们各自行列式的乘积。D 不对，因为1111()ABC C B A ----=，类似于上述转置的性质。 2．设行列式

1=d

c b a ，则=++

d d c b

b a 22（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】B

【解析】本题考查了行列式的性质。行列式中的某一列加上另一列的非零常数倍，行列式值不变。故本题选B 。

3．设A 为3阶方阵，且22A =-，则A =

（ ） A ．1 B ．

4

1

C ．4

1-

D ．-1

【答案】C

【解析】考查了行列式的性质。由公式A A n

k k =知，本题选C 。

4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=-d c

b a A 1

3）（，则A= （ ）

A ．⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛d c b a 3

B ．1

3-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛d c b a

C ．⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛d c b a 31

D ．1

31-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛d c b a 【答案】D

【解析】本题考查了逆矩阵的性质。由逆矩阵的性质：

11

A A --=（），1

1

1(0)kA A k k

--=≠（）可推得D 正确。先由

1

11(0)kA A k k --=≠（）得，111

,33a b a b A A c d c d --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，再由11

A A --=（），得

1

13a b A c d -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

。

5．若向量组s a a a ,,,21 线性无关，则下列结论错误的是（ ）

A ．s a a a ,,,21 中一定不存在零向量

B ．s a a a ,,,21 中任选几个向量组成的向量组仍然线性无关

C ．s a a a ,,,21 中存在一个向量，它可以由其余向量线性表出

D ．s a a a ,,,21 中的任何一个向量都不能由其余向量线性表出。 【答案】C

【解析】本题考查了向量组的线性相关性。A 对，因为含有零向量的向量组一定是线性相关的；B 对，因为向量组线性无关则部分组一定线性无关；C 错，若s a a a ,,,21 中存在一个向量，它可以由其余向量线性表出，则可以推得此向量组线性相关。同理，D 是对的。 6．在线性方程组Ax=b 中，A 是68⨯阵，如果余数矩阵，A 与增广矩阵(A ,b )的秩均为6，则Ax=b （ ） A ．有惟一解 B ．有无穷解

C ．无解

D ．无法确定是否有解

【答案】A

【解析】本题考查了线性方程组解的情况。若系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等则有解，否则无解。有解时，若系数矩阵的秩小于未知数个数，则有无穷多解，否则只有唯一解。 由已知，系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，此方程组未知数的个数是6，与秩相等，故只有唯一解。

7．设A 为3阶矩阵，且023=+E A ，则A 必有一个特征值为 （ ）

A ．2

3

-

B ．3

2-

C ．

3

2

D ．

2

3 【答案】B

【解析】本题考查了特征值的定义。由于 232303A E E A ⎛⎫

+=---= ⎪⎝⎭

， 所以

2

03

E A -

-=，

对照

0E A λ-=，知23

λ=-是A 的特征值。

8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特证值为2，2，3，则 0=+E B （ ）

A ．10

B ．36

C ．12

D ．无法确定

【答案】B

【解析】本题考查了相似矩阵与特征值的性质。由于A 与B 相似，则它们有相同的特征值，即B 的特证值为2，2，3，这样，B+E 的特征值为3，3，4。 所以 33436B E +=⨯⨯=。

9．二次型()22

123112233

,,f x x x x x x x x x =+++的矩阵为 （ ）

A ．⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛010101011

B ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

12

10210210211 C ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛02

11210211210 D ．⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛011101110

【答案】B

【解析】本题考查了二次型的定义。给出二次型，要能确定二次型的矩阵，或者给出矩阵要能写出对应的二次型。确定二次型的矩阵具体的方法是：123,,x x x 的平方项的系数是主对角线上的元素（从上到下），交叉项i j x x 系数的一半是矩阵中第i 行，第j 列的元素。易知本题选B 。

10．设3阶实对称矩阵A 与矩阵B=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-400030002合同，则二次型T

x Ax 的规范形为

（ ）

A ．222

123234z z z -++ B ．222

123z z z -++ C ．222123

z z z -+

D ．222123

z z z +- 【答案】D

【解析】本题考查的是二次型的合同标准形与规范形的定义。3阶实对称矩阵A 与矩阵

B=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-400030002合同，则A 的合同标准形为222123

234z z z -++，根据二次型的规范形的定义可得规范型：2

2

2

123z z z +-。

二．填空题

11．行列式3

111211

11= 。

【答案】2。

【解析】本题考查的是行列式的计算。

111

11112

1010 2.113

002

==

12．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--300122101B=⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-210111102，则2A-3B = 。

【答案】405171030--⎛⎫ ⎪

-- ⎪ ⎪⎝⎭

。

【解析】本题考查了矩阵的数乘和减法运算。

10120120260340522213111442333171003012006036030----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。

13．设3阶方阵A =⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛--400320111，A A *=

【答案】800080008⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

。（填“8E ”也算正确）

【解析】本题主要考查了关于伴随矩阵的重要公式*A A A E =（由此得到逆矩阵的计算方法）。本题中，

800*8080008A A A E E ⎛⎫

⎪

=== ⎪ ⎪⎝⎭

。

14．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛520210001，则1

-A = 。

【答案】100052021⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

。

【解析】本题主要考查了逆矩阵的计算，特别是分块矩阵。本题所给的矩阵式可以分块的，

1

1100012025A O A O B ⎛⎫

⎛⎫ ⎪==

⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

，1

1

1

1111A O A O O B O

B ---⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 因为()1

11

1112521,2521A B ----⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

，所以

1

11

1100052021A O A

O

B --⎛⎫

⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪

-⎝⎭

。

15．设向量12311100,1,1,10011a a a β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，则β由321,,a a a 线性表出的表求式

为 。 【答案】13

βαα=-+。 【解析】本题主要考查了线性表出的定义。设123123

k k k βααα=++，则有

123011*********k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，即123233011k k k k k k ++⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

容易解得

3211,0,1k k k ===-， 所以

13

βαα=-+。

16．已知3元齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

32020321

321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a= 。

【答案】3。

【解析】考察了齐次方程组有非零解的充分条件。齐次方程组AX=O （A 为方阵）有非零解的充分条件是A 的行列式为零。齐次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

32020

321

321321x x x ax x x x x x

有非零解，则其系数行列式

111111

1201130123

01

2

a a a =-=-=，

所以3a =时此方程只有零解。

17．设21,a a 是线性非齐次方程组Ax=b 的解，21,k k 是常数，若2211a k a k +也是Ax=b 的

一个解，则21k k += 。 【答案】1。

【解析】本题考查了线性非齐次方程组Ax=b 解的概念。21,a a 是线性非齐次方程组Ax=b

的解，则12,Aa b Aa b ==。2211a k a k +也是Ax=b 的一个解，因此 121212121212(),,,1A k a k a b k Aa k Aa b k b k b b k k +=+=+=+=。

18．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特证值为2，则12)2(2-++A A A 必有一个特证

值为 。 【答案】

334

。 【解析】本题考查了特征值的性质。若A ，B 分别有特证值为121,(0)λλλ≠，则关于A 的

多项式()f A 有特征值1()f λ，A+B 的特证值为12λλ+， 1

A -的特征值为特证值为

1

1

λ。

A 有一个特证值为2，则2

2A A +就有一个特征值为2

2228+⨯=，2A 必有特征值4，

()1

2A -必有特征值

14，所以12)2(2-++A A A 必有特征值133844

+=。

19．二次型()313221321,,x x x x x x x x x f ++=的秩为 。 【答案】3。

【解析】本题主要考查了二次型秩的概念。先写出其对应的矩阵：

01/21/21/2

01/21/21/20⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，由于 01/21/201/21/201/21/21/201/21/201/21/201/21/201/201/21/21/21/2001/21/2001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，此矩阵的秩为3，因此这个二次型的秩也是3。

20．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛a 00010a 1a 为正定矩阵，则a 应满足条件 。

【答案】3。

【解析】本题考查了正定矩阵的概念和性质。正定矩阵应该要满足所有的顺序主子式大于0这个条件，即

1a 0110,

0,100,1

00a

a a a >>>

解得：01a <<。

三．计算题

21．求行列式

4

11113111121

1111。 【解析】本题考查了高阶行列式的计算。

111111111

2110100

1123 6.113100201

1140003

=

=⨯⨯⨯=

22．已知⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11324321,2132C B A ，X 满足2AX B C =+，求X .

【解析】本题考查了矩阵方程的求解，涉及矩阵的加法、数乘和逆矩阵的计算。由

2AX B C =+，可得

()

11

2231

223 =2123411231

246 =123

4222358 =1252510 =.54X A B C --=+⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣

⎦⎣⎦⎝⎭

-⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤+ ⎪⎢⎥⎢

⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭

-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

23．设向量组），，（），，（1211,2301-==βα，求 （1）βαT

（2）向量a 与β的内积（βα,）。

【解析】本题主要考查了向量的内积运算。

（1）()T

1112

100000112133363222

4

2αβ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪=-= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

。 （2）（βα,）=11(1032)110(1)32219.21T

αβ⎛⎫ ⎪- ⎪==⨯+⨯-+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭

24．求向量组T 3T 2T 11022,8520,3211）

，，（），，（），，（-==-=αααT

42171,），，（---=α.的秩和其一个极大线性无关组。

【解析】本题考查了向量组的极大无关组和秩的计算方法。先将向量以列的形式排成一个矩

阵，然后将之化为行阶梯型矩阵：

1

02110211021122702460123250105

4105413

81208

710871102

11021102

101230123012

3,0014140011001

10023230

2323000

0---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪→

→

⎪ ⎪ ⎪--- ⎪

⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→

⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪

⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭

由此可知，向量组的秩为3，其中一个极大无关组是123,,ααα。

25．当a ，b 为何值时，方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=-+=++

+1

13232321

32321x x x x x b x a x x ）（有无穷多解？并求出其通解。

【解析】本题考查了线性非齐次方程组解的情况判定与通解的求法。此方程组的增广矩阵

232301100111

110111011101110111111111111111001a b a b a b a b ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

， 因为增广矩阵与系数矩阵的秩相等且小于未知数个数的时候有无穷多解，所以当

10a b +==，即1,0a b =-=时方程组有无穷多解。此时方程组等价于：

123231

1

x x x x x ++=⎧⎨

-=⎩，

自由未知量的个数为3-2=1个，选3x 为自由未知量，则

()1233233

3121x x x x x x x x

=-+=-⎧⎪

=+⎨⎪=⎩，

即1233021101x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，所以通解为： 123021101x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（其中k 为任意常数）。

26．求2阶矩阵A =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛4221的所有特征值和特征向量。

【解析】本题考查的是矩阵的特征值与特征向量的计算。由

0E A λ-=，得

21

2

5024

λλλλ--=-=--， 解得此矩阵的两个特征值120,5λλ==。

当10λλ==时，()E A x O λ-=的系数矩阵为：

121212240000E A λ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=→→

⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

()E A x O λ-=等价于1220x x +=，取2x 为自由未知量，得通解为

12222221x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（2x 为任意常数）， 因此属于特征值10λλ==的所有特征向量为121k -⎛⎫

⎪⎝⎭

（1k 为任意常数）。

当25λλ==时，()E A x O λ-=的系数矩阵为：

424221210000E A λ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=→→

⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

()E A x O λ-=等价于1220x x -=，取1x 为自由未知量，得通解为

11121122x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

===

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（1x 为任意常数）

， 因此属于特征值25λλ==的所有特征向量为212k ⎛⎫ ⎪⎝⎭

（1k 为任意常数）。

四．证明题：

27．若123,,ααα线性无关，证明：12,αα-23αα-31αα-线性相关。 【解析】假设存在常数123,,k k k 使得

()121k αα-+()232k αα-+()

313k αα-=0， 即

123132132()()()0k k k k k k ααα-+-+-=， 由于123,,ααα线性无关，根据定义，有

132132

000k k k k k k -=⎧⎪

-=⎨⎪-=⎩，

其系数行列式

1

011011011

1001

1011001

1

01

1

00

----=-=-=--，

因此132132

000k k k k k k -=⎧⎪

-=⎨⎪-=⎩有非零解，也就是说存在不全为零的一组常数123,,k k k ，可使

()121k αα-+()232k αα-+()

313k αα-=0

成立，根据线性相关的定义可知，12,αα-23αα-31αα-线性相关。