数学竞赛第十二届全国“华罗庚金杯”数学邀请赛决赛试卷(四年级组)

决赛试卷（四年级组）

              班级        姓名         分数          

一、填空题（每秒题10分，共80分）

1.7×9×11×13×……×2009×2011积的个位数是              。

    2.哈理波特有一本120页的魔法书，非常可惜被姨妈撕掉了一页，现在所剩的页码之和为7197。哈理波特的魔法书被撕掉的这一页的页码为           。

3.如图，不含▲的正方形有            个。

4.标有一号、二号、三号的三个盒子里面各有若干个黑色的小球，如果第一次从一号盒子里面拿20个小球放到二号盒子里面，第二次又从二号盒子里拿15个小球放到三号盒子里，最后再从三号盒子里拿出20个小球放到一号盒子里，这时三个盒子里面的小球都是60个。一号、二号、三号盒子里面原来各有小球           个。             

5.大、小两个杯子都未装满水，如果将小杯子的部分水倒入大杯子，并将大水杯倒满，则小杯子还剩水30克，如果将大杯子中的部分水倒入小水杯将其倒满，则大杯子还剩水90克，已知大杯子容积是小杯子的2倍，两杯子原来共装水         克。

6.A、B两地之间的道路分上坡和下坡两种路段，共70千米，兰兰上坡速度为5千米/时，下坡速度为7千米/时，去时用了10.5小时，则返回时用        小时。

7.三年级一班有学生42人，其中参加美术班的同学有39人，参加体操班的同学有34人，参加游泳班的同学有30人，参加奥数班的同学有37人。那么，这个班至少有

         个学生这四种班都参加。

8.一个自然数n，各位数字之和是400，要使n最小，n应当是         位数，它的首位数字应当是             。

二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解答过程）

9.清明节，三年一班与三年二班同学各排成一路纵队去扫幕，如果两路纵队同时同方向齐头行进，行6分钟后，一班队伍超过二班队伍。一班队伍每分钟行60米，二班队伍每分钟行50米。如果这两路纵队、队尾相齐同时同方向行进则5分钟后，一班队伍超过二班队伍，如果一、二两班队伍的前后两人都相距1米，求一、二两班各有多少人？

    10.宽18厘米，长未知的同样大小的长方形小纸片拼成如右图所示的图形，求阴影部分的面积。

    11.果篮里有苹果、香蕉、梨、桔子、桃五种水果若干个，每个人可以从中任取两个，那么最少需要多少个人才能保证至少有2人选的水果是完全相同的？

    12.蜘蛛有八只脚、蜻蜓有六只脚和两对翅膀，苍蝇有六只脚一对翅膀，现有三种昆虫共21只，共有146只脚和16对翅膀，则：蜘蛛、蜻蜓和苍蝇各有多少只？ 

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参（四年级组）

一、填空（每题10分，共80分）

1—8题参提示：

1.答：5。

解：乘式中的乘数全部都是奇数，而且其中有个位数是5的乘数。因为奇数与奇数的积是奇数，奇数与5的积的个位数是5，所以整个乘式的积的个位数是5。

2.答：31和32。

  解：哈理波特的魔法书原来共有120页，原来的页码之和为：

1+2+3+…+120=（1+120）×120÷2=7260

被撕掉的这一页的两面页码之和为

7260－7197=63

因为：一页书上的页码是两个连续的整数，

所以：被撕掉的这一页书的页码是31和32。

3.答：41

解：图中一共有正方形  5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=55（个）

    其中含“▲”的正方形共有 1+4+4+4+1=14（个）

    所以不含“▲”的正方形共有55－14=41（个）

4.答：60、55、65

解：用倒推法，列表如下：

解（1）如果从小杯倒入部分水将大杯倒满，则小杯还剩水30克，说明水的总量是大杯总容量加30克。

（2）如果大杯水倒出部分将小杯装满，则大杯还剩水60克，说明水的总量是小杯总容量加60克。

  由（1）、（2）两个条件我们可知：大杯总容量比小杯总容量多60－20=40（克），又因为大杯总容量是小杯的2倍，可知多的40克就是小杯子对应的1倍。

由此可得小杯的总容量是：60－20=40（克）

两水杯共有水：40+60=100（克）

6.答：13.5

解：因为来回两次的上坡路和下坡路的总和相等，即为一个全程，70千米。

所以来回总计用时  70÷5+70÷7=24（小时）

返回用时：24－10.5=13.5（小时）

7.答：14

解：把全班学生分两类：

  一类：至少有一种班不参加（包括四个班都不参加的）

二类：四种班都参加的人。

要使四种班都参加人最少，则至少有一种班不参加人最多，由此可知，不参加美术班，不参加体操班，不参加游泳班，不参加奥数班的学生不能重叠。

所以：四种班都参加的人=全班人数－至少有一种班不参加的人。

即：42－（42－39）－（42－34）－（42－30）－（42－37）=14（人）

8.答：45，4

   解：400÷9=44……4

这个数可表示为：

二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解题过程）

9.解：（1）当队首相齐时，快队超过慢队，比慢队多行距离是一个快队伍的队长：

即：一班队长（快队）：（60－50）×6=60（米）…………………（3分）

（2）当队尾相齐，快队超过慢队，要比慢队多行的距离正好是一个慢队的队伍长。

即：二班队长（慢队）：（60－50）×5=50米。……………………………（3分）

（3）又因为每列队伍中前后两人都相距1米

所以：一班有人数：60+1=61（人）。………………………………………（2分）

二班有人数：50+1=51（人）。……………………………………………（2分）

    10.解：仔细观察，可以发现：阴影部分是3个相同的小正方形，其边长是长方形的长与宽的差。

而从AB这条线段可以看出5条长=3条长+3条宽，可见3条宽=2条长……（3分）

根据宽12厘米，可推算出长是（18×3÷2）=27厘米。…………………（3分）

  ∴ （平方厘米）。…………………………………（4分）

11.答：16

解：在这五种水果中任取两个，有以下几种情况：

（1）苹果、苹果   （2）香蕉、香蕉      （3）梨、梨       （4）桔子、桔子

（5）桃、桃       （6）苹果、香蕉      （7）苹果、梨     （8）苹果、桔子

（9）苹果、桃     （10）香蕉、梨       （11）香蕉、桔子  （12）香蕉、桃

（13）梨、桔子    （14）梨、桃         （15）桔子、桃

 共15种。…………………………………………………………………… （5分）

作最不利打算，这十五种情况有十五个同学来拿，这样，已经有15个同学了，若再来一个同学，无论他选哪种拿法，也只能是这十五种的任意一种，即：会和前15个人之中的一个人的拿法相同。

即：最少需要16个同学才能保证至少有2人选的水果完全相同。………（5分）

12.答：10、5、6

    解：蜻蜓和苍蝇都有六只脚，可把它们看作一种动物，先求蜘蛛的只数，再根据翅膀对数和蜻蜓、苍蝇的只数，求他们各有只数。

蜘蛛：（146－6×21）÷（8－6）=10（只）。……………………………（3分）

蜻蜓和苍蝇共有：21-10=11（只）。……………………………………（2分）

蜻蜓：（16-11×1）÷（2-1）=5（只）。………………………………（3分）

苍蝇：11－5=6（只）。……………………………………………………（2分）

评分参考：见解答过程，有答案没有过程，只给4分。