实验七 直线一级倒立摆根轨迹控制实验

1、实验目的

（1）了解直线倒立摆系统的组成以及系统建模的过程；

（2）学习根轨迹法设计控制器的原理和方法；

（3）学习用MATLAB&SIMULINK对倒立摆系统建立模型的方法，并仿真实现；

（4）学习用MATLAB实现倒立摆控制器的设计，并仿真实现；

（5）了解根轨迹校正实时控制方法和过程。

2、实验设备

（1）直线倒立摆实验装置

（2）电控箱

（3）GT-400-SV-PCI运动控制卡

（4）计算机

（5）软件要求：Matlab6.5以上版本软件，VC++6.0软件，板卡自带Device Manager，倒立摆实时控制软件。

3、实验原理

3.1 倒立摆系统组成 （见附录4）

3.2 倒立摆系统模型 （见附录4）

3.3 根轨迹分析

闭环系统瞬态响应的基本特性与闭环极点的位置紧密相关，如果系统具有可变的环路增益，则闭环极点的位置取决于所选择的环路增益，从设计的观点来看，对于有些系统，通过简单的增益调节就可以将闭环极点移到需要的位置，如果只调节增益不能满足所需要的性能时，就需要设计校正器，常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。

根据附录中公式（15）得到倒立舞者开环传递函数，输入为小车的加速度，输出为倒立摆系统摆杆的角度，被控对象的传递函数为：

给系统施加脉冲扰动，输出量为摆杆的角度时，系统框图如下：

图7-1 直线一级倒立摆闭环系统图（脉动干扰）

考虑到输入r(s) = 0，结构图变换成：

图7-2 直线一级倒立摆闭环系统简化图（脉动干扰）

该系统的输出为：

其中 num ——被控对象传递函数的分子项；

 den ——被控对象传递函数的分母项；

 numlead 、denlead ——控制器超前环节传递函数的分子项 ；

 numlag 、denlag ——控制器滞后环节传递函数的分子项和分母项；

 k ——控制器增益

实际系统的开环传递函数为：

可以看出，系统有两个零点，有两个极点，并且有一个极点为正。画出系统闭环传递函数的根轨迹如图7-3，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。

图7-3  直线一级倒立摆开环根轨迹图

3.4 根轨迹校正原理

磁悬浮系统的根轨迹校正可以转化为如下的问题： 对于传递函数为：

的系统，设计控制器，使得校正后系统的要求如下： 调整时间ts=0.5s(2%)；最大超调量。根轨迹设计步骤如下：

1、确定闭环期望极点的位置，由最大超调量公式（7-1）（7-2）时间常数公公式（7-3），根据指标要求确定期望闭环极点的位置，计算出系统结构参数为：

。

                        （7-1）

                        （7-2）

                        （7-3）

期望的闭环极点为：。

2、未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为：

3、按取a值最大的法则，求出超前校正装置的零点和极点分别为： 

4、校正后系统的开环传递函数为

5、由幅值条件，并设反馈为单位负反馈于是我们得到了系统的校正控制器：

6、上述过程手动计算比较复杂，可以采用编程程序自动计算得到。

num=[0.02725];den=[0.0102125 0 -0.26705];

G=tf(num,den)

[z,p,K]=tf2zp(num,den)

sys=zpk(z,p,K)   %原系统零极点表达式

subplot(3,2,1),rlocus(sys); %绘制原系统根轨迹

t=0:0.005:10;

subplot(3,2,2),step(sys,t)  %绘制原系统阶跃相应曲线

OverStep=0.1; %设置超调量

AdjustTime=0.5;  %设置调整时间

zeta1=abs(sqrt((log(OverStep)^2)/(pi^2+(log(OverStep)^2))))   %计算满足设计要求的阻尼比

sita1=acos(zeta1)    

wn=4/(zeta1*AdjustTime)     %计算满足要求的自然振荡角频率

P=[wn*(-cos(sita1)+i*sin(sita1)),wn*(-cos(sita1)-i*sin(sita1))]   %期望闭环主导极点用复数表示

fai=sum(angle([P(1)-p(1),P(1)-p(2)]))-pi    %校正装置提供的相角（主导极点处的相角差）

gama=(pi-sita1-fai)/2                %按取a最大法则，求gama

zeroc=real(P(1))-imag(P(1))*tan(gama+sita1-pi/2)    %校正环节零点

polec=real(P(1))-imag(P(1))*tan(gama+sita1-pi/2+fai)   %校正环节极点

zg=[z;zeroc]                     %校正环节零极点加入原系统中

pg=[p;polec]

Kc=abs((P(1)-polec))*abs(P(1)-p(1))*abs(P(1)-p(2))/(K*abs(P(1)-zeroc));  %计算校正环节的放大系数

sysc=zpk(zeroc,polec,Kc)

sys2=zpk(zg,pg,Kc*K)   %校正后系统开环传递函数

subplot(3,2,3),rlocus(sys2); %绘制加入校正环节后系统根轨迹

T=feedback(sys2,1);     %校正后系统闭环传递函数

subplot(3,2,4);step(T,t)  %校正后系统阶跃相应

4、实验步骤

1、根轨迹校正仿真实验

程序仿真

打开“Inverted Pendulum\B. Linear Inverted Pendulum\\1) Linear 1-Stage IP Experiments\\a. Root Locus Experiments ”中的“Root Locus Control M Files”。运行程序，观察根轨迹图和阶跃响应曲线，为使位于右半平面的根轨迹进入左边平面，因此增加一个坐半平面的零点，假设为-7，但在实际系统中，传递函数分子的阶次必须比分母的阶次低，因此我们增加一个远离零点的极点。校正后系统的跟轨迹如图7-4所示:

图7-4 校正后的根轨迹图

从图中可以看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，选取适当的K就可以稳定系统。系统的阶跃响应如图7-5所示：

图7-5  校正后的阶跃响应

可以看出，系统有较好的稳定性，但系统存在一定的稳态误差，并且超调过大，改变控制器的极点和零点，可以得到不同的控制效果。修改控制器的极点和零点，完成表7-2。

Simulink仿真

(1)   进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\\Linear Inverted Pendulum\\Linear 1-Stage IP Experiment\\ Root Locus Experiments”中的“Root Locus Control Simulink”。如图7-6所示。

图7-36 根轨直线一级倒立摆的迹控制仿真模块图

(2) 在上面窗口中设置“Simulation time”以及“Solver options”等选项。设置仿真步长为 0.005 秒，仿真时间为5秒。如图7-7所示。点击 运行仿真，双击“Scope”模块观察仿真结果：

图7-7 直线一级倒立摆的系统仿真参数设置

(3) 点击运行仿真，双击“Scope”模块观察仿真结果。如果曲线超出界面范围，可以点击“”观察全图。

(4) 仿真并完成表7-3。

2、根轨迹校正实时控制实验

（1）安装好MATLAB实时控制软件。

（2）进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\\Linear Inverted Pendulum\\Linear 1-Stage IP Experiment\\Root Locus Experiments”中的“Root Locus Control Demo”）。如图7-8所示。

图7-8 直线一级倒立摆的根轨迹实时控制模块

（3）点击“”编译程序，编译成功后在MATLAB命令窗口中有提示信息：Successful completion of Real-Time Workshop build procedure for model

（4）选择外部模式“Extermal”，点击“”连接程序。点击“”运行程序。

（5）程序运行后，用小球在电磁铁附近可以试探到电磁铁有一定的吸力。将小球用手放置到电磁铁下方期望悬浮的位置，程序进入自动控制时，缓慢松开手。

（6）用示波器“Scope”观察实验数据。

（7）双击“Manual Switch”切换控制器到上方，观察实验数据并记录，可以看到在给定干扰的情况下系统的响应。

（8）实验数据输出到MATLAB工件空间的方法：在Scope参数中，选中History，对Scope数据进行设置，Save data to workspace，设置数据名称，Format选Array。

5、数据记录

1、

表7-2 根轨迹校正程序仿真记录

表7-3 根轨迹校正Simulink模块仿真记录

6、实验报告

1、根据表7-2分别写出KK1和KK2所对应的系统开环传递函数以及对应闭环的性能指示。

2、根据表7-3分别写出各控制器对应系统响应曲线的指示：超调量、上升时间、调节时间。比较控制效果。

3、分析实时控制数据和仿真结果的差别。