江西财经大学线性代数试题06110732995

04-05学年第一学期期末考试试卷

试卷代码：03043 A 卷 课时：48 课程名称：线性代数 适用对象：挂牌班

一、填空题(每小题3分，共15分)

1.设 7

11002510

20214214

=D ，则________=D 。 2.设A 为3阶方阵，且 3=A 则_______)2

1(2=A 。 3.已知向量组)3,2,1(1=α，)1,1,0(2−=α，)7,0,0(3=α，则向量组的秩为_______。

4.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321

321321x x x x x x x x x λλλ有非零解的充分条件是_____=λ。 5.设0是方阵⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛=α01020101A 的特征值，则________=α。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设4阶方阵A 的行列式为2，则A 的伴随矩阵*

A 的行列式为 （ ）。

(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 1

2.设n 阶方阵A 满足02=−I A ，其中I 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）

。 （A）I A = （B）I A −= （C）1−=A A （D）1=A

3.向量组n ααα,,,21L 线性无关的充要条件是 ( ) 。

(A) n ααα,,,21L 均不为零向量

(B) n ααα,,,21L 中任意两个向量的对应分量不成比；

(C) n ααα,,,21L 中有一个部分向量线性无关

(D) n ααα,,,21L 中任意一个向量都不能由其余1n −个向量线性表示

4.设n 元齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=AX 有非零解的充分必要条件是 ( ) 。

(A)n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r >

5.A 与B 为n 阶方阵，如果n B R A R ==)()(，则 ( )。

(A) A 与B 等价 (B) B A = (C) B A =

(D) B A ，的行向量组有相同的极大无关组

三、（12分）

设矩阵

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=31100021000010000043

00012A 求 13,,,−A A A A A T 。

四、（12分）

已知向量组321,,ααα线性无关，设32113)1(αααλβ++−=，3212)1(ααλαβ+++=，3213)1()1(αλαλαβ−++−−=，试问：当λ为何值时，向量组321,,βββ线性无关？线性相关？

五、（12分）

设⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101102121t t t A ，且方程组0=AX 的基础解系含有两个解向量，求0=AX 的通解。

六、（12分）

用正交矩阵将实对称矩阵A 对角化。⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=101010101A

七、（12分）

设4321,,,αααα为四维向量组，),,,(4321αααα=A 且0=AX 的通解为T k X )0,1,0,1(=，求向量组4321,,,αααα的极大无关组。

八、（每小题5分，共10分）证明题 1 、设λ是n 阶可逆矩阵A 的一个特征值，证明λA 是A 的伴随矩阵∗A 的特

征值。

2 、设∗X 是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n X X X −,,,21L 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，证明r n X X X X −∗,,,,21L 线性无关。