江西财经大学线性代数试题061107144167

05-06学年第二学期期末考试试卷

试卷代码：034C 卷

课时： 课程名称：线性代数（工） 适用对象：选课班

一、单项选择题（3′×4=12′）

1．已知向量组)1,1,a (1=α，)1,a ,1(2−=α，)a ,1,1(3−=α线性相关。则a 为

A ．a ≠2且a ≠-1

B ．a=2或a=-1

C ．a=2

D ．a=-1

2．下列说法正确的命题个数为

n 阶方阵A 可逆的充要条件是|A|≠0

n 阶方阵A 可逆的充要条件是A 的列向量组线性无关

n 阶方阵A 可逆的充要条件是A 有n 个不同的特征值

n 阶方阵A 可逆的充要条件是A 有n 个不同的特征向量 A ：1 B ：2 C ：3 D ：4

3．齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是 A ．A 中的列向量组线性相关 B ．A 中的行向量组组性相关 C ．A 中的列向量组线性无关 D ．A 中的行向量组线性无关 4．二次型f(x 1，x 2，x 3)=2x 12－x 1x 2+x 22的矩阵为

A ．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1112

B ．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−12/12/12

C ．⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−000011012 D ．⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−000012/102/12

二、填空题（3′×5=15′）

1．设向量组)1,3,a (1α，)3,b ,2(2α，)1,2,1(3α，)1,3,2(4α的秩为2，则a 、b 的取值为 。

2．设A 为三阶方阵且|A|＝3，则行列式|5A -1－4A *|＝ 。

3．设2=λ是非奇异矩阵A 的特征值，则矩阵12)A 3

1(−有一特征值 。

4．已知A 、B 为n 阶矩阵，D ＝⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0A B 0，|D|≠0则D -1＝ 。 5．已知Am×n ，Bm×s 则R （A ）、R （B ）与R （A ，B ）的关系为 。

三、计算题（8′×2=16′）

1．先化简，再计算

已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100210321C ，⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛=300230123B ，矩阵A 满足A(E －C -1B)T C T =E ，求矩阵A 。

2．设四元非齐次线性方程组AX=B ，R （A ）=3，X 1，X 2，X 3为它的解向量X 1+X 2=(1,1,0,2)T ，X 2+X 3=(1,0,1,3)T 求AX=B 的通解。

四、计算题（15′×3=45′）

1．已知T 1α＝(1,2,0,3)，T

2α=(2,3,4,1)，T 3α=(1,3,-4,8)，T 4α＝(4,7,4,7)。

求向量组4321αααα的一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。

2．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧−λ=++λ−=+λ+−=λ++3x x x 2x x x 2x x x 321

321321，

（1）无解；(2)有唯一解；（3）有无数解，并求出用导出组的基础解系表示的无数解。

3．设3阶实对称矩阵A 的特征值为3，1，1，与特征值3对应的特征向量为T )10,1(=α，求矩阵A 。

五、证明题（6′×2=12′）

1．设A ，B 为n 阶方阵，且AB ＝0，求证：R(A)+R(B)≤n 。

2．设X 0是非齐次线性方程组AX ＝b 的一个解，X 1,X 2,…,X n-r 是AX ＝0的基础解系，求证：X 0，X 1，X 2,…，X n-r 线性无关。