南京市鼓楼区2015-2016学年第一学期九年级数学期末试卷

数   学

注意事项：

  本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．

 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）

1．从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（　　）

A．有两个不相等的实数根  B．有两个相等的实数根  C．只有一个实数根  D．没有实数根

3．若x1，x2是一元二次方程2x2－7x＋5＝0的两根，则x1＋x2的值是（　　）

A．                B．            C．－               D．－7 

4．下列哪一个函数，其图形与x轴有两个交点（　　）

        A．y＝17(x＋50)2＋2016                    B． y＝17(x－50)2＋2016

        C．y＝－17(x＋50)2＋2016                    D．y＝－17(x－50)2－2016

5．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于（　　）

A．57.5°                               B．65° 

C．115°                                D．130°

6．已知二次函数y＝x2－x＋a （a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（　　）

A． m－1＞0         B．m－1＜0       C．m－1＝0   　 D．m－1与0的大小关系不确定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）

7．已知⊙O的半径为5cm．圆心O到直线l的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是      ． 

8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE//BC，  若AD：AB＝4：9，则S△ADE：S△ABC＝      ．

9．若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC)，则AC的长为      cm（结果保留根号）．

10．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为      cm．

11．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为      cm．（结果保留π）

12．如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明(AB)站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处， 则小明的影子AM长为      m．

13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是      m．

14．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为      ． 

15．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式a(x－2)2＋b(x－2)＋c＜0的解集为

      ．

16．如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，D为的中点，直径AD交BC于点E，AE＝5，ED＝1，则BC的长是      m．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（9分）

（1）解方程2x2－4x－6＝0．

（2）①直接写出函数y＝2x2－4x－6的图像与x轴交点坐标；

②求函数y＝2x2－4x－6的图像的顶点坐标．

18．（6分）九（2）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）

如下表（单位：分）：

（2）计算乙队成绩的平均数和方差；

（3）成绩较为整齐的是　 ▲  　队．

19．（7分）如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD＝10．

（1）求FG的长；

（2）直接写出图中与△ BHG相似的所有三角形．

20．（7分）一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．

（1）从中随机摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为   ▲   ；

（2）从中随机摸出1个球，记录颜色后不放回，再摸出1个球．求摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率．

21．（7分）在淘宝一年一度的“双十一”活动中，某电商在2014年销售额为2500万元，要使 2016年“双十一”的销售额达到3600万元，平均每年“双十一”销售额增长的百分率是多少？ 

22．（8分）在作二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m的图象时，先列出下表：

（1）二次函数y1=ax2＋bx＋c的图像与y轴交点坐标为   ▲   ；

（2）当y1＞y2时，自变量x的取值范围是   ▲   ；

（3）请写出二次函数y1=ax2＋bx＋c的三条不同的性质．

23．（8分）请探究两个等腰三角形相似的条件，用文字语言直接写出探究的结果即可．

24．（7分）

（1）如图（1），已知射线OP与线段OH，在射线OP上取点D、E、F，且OD＝DE＝EF，用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）请用尺规在图（2）中∠BAC的内部作出一点O，使点O到AB的距离等于点O到AC的距离的2倍. （不写作法，保留作图痕迹）

（2）

（1）

（第24题 ）

F

25．（9分）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC＝∠DAM．

（1）求证：AM与⊙O相切；

（2）若AM＝3DM，BC＝2，求⊙O的半径．

26．（10分）某家禽养殖场，用总长为110 m的围栏靠墙（墙长为22 m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m 2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

27．（10分）如图（1），在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD．现将一个足够大的直角三角板的直角顶点P放在BD所在的直线上，一条直角边过点C，另一条直角边与AB所在的直线交于点G．

（1）是否存在这样的点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等？若存在，画出图形，并直接在图形下方写出BG的长．(如果你有多种情况，请用、、、…表示，每种情况用一个图形单独表示，如果图形不够用，请自己画图)

（2）如图（2），当点P在BD的延长线上时，以P为圆心、PB为半径作圆分别交BA、BC延长线于点E、F，连EF，分别过点G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N为垂足．试探究PM与FN的关系．

数学试题参及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）

7． 相交      8．16：81    9．3－3     10．4              11．8π

12．5         13．3      14．            15．x＜3或x＞5     16．2

三、解答题（本大题共11小题，共88分．）

17．（9分）（1）解方程2x2－4x－6 =0

解： x2－2x－3＝0

x2－2x＋1＝4

(x－1)2＝4                                                   ……2分

x－1＝±2

x1＝3  x1＝－1                                           ……4分

（2）①函数y＝2x2－4x－6的图像与x轴交点坐标（3 ，0），（－1，0）；……6分

②y＝2(x2－2x) －6 

    ＝2(x2－2x+1－1)－6                                        ……7分

＝2(x－1)2－8                                              ……8分

所以 顶点（1，－8）                                      ……9分

18．（6分）（1）中位数是　 9.5    　分，                …………………1分

众数是　10   　分；                           …………………2分

（2）9分，＝1分2 ；                      ……………………5分 

（3）　乙 　队．                                 ……………………6分

19．（7分）

（1）在正方形ABCD和矩形DEFG中，∠E＝∠C＝90°， 

∠EDA与∠CDG均为∠ADG的余角，

∠EDA＝∠CDG           

∴△DEA∽△DCG，              ………………………………………………2分

∴＝

∵ED＝FG，

∴＝                   ……………………………………………………3分

由已知GD＝10，AD＝CD＝8，

∴＝，∴ FG＝6.4      ………………………………………………………4分

（2）△AFH、△DCG、∽△DEA ．     　　　…………………………………7分

20．（7分）

（1）；                                …………………………3分

（2）编号，或列表或画树状图或枚举正确，　　　　　　………………………5分

共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相同．摸出“1个是红球，1个白球”（记为事件B）的结果有6种， 　　　　　　　　……………………………6分

所以P(B) ＝． ……………………………………………………………………7分

21．（7分）

解：设平均每年“双十一”销售额增长的百分率是x，根据题意得

2500(1＋x)2＝3600           …………………………………………………………4分

(1＋x)2＝                 …………………………………………………………5分

1＋x＝±

x1＝＝20%，x2＝－（不合题意，舍去）……………………………………………6分

答：平均每年“双十一”销售额增长的百分率是20%．………………………………7分

22．（8分）

（1）（0，－3）；…………………………………………………………2分

（2）x＜－1或x＞5　 　　…………………………………………………………4分

（3）答案不惟一，下列解法供参考：该函数的图像开口向上；当x＝1时，函数有最大值；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而增大；顶点坐标为（1，－4）；对称轴为直线x＝1．　　　…………………………………………………………8分

（每少或错1条扣1分）

23．（8分）

①顶角相等的两个等腰三角形相似；

②底角相等的两个等腰三角形相似；

③腰和底成比例的两个等腰三角形相似.

正确写出1个得3分、2个6分、3个8分.

24．（7分）.（1）                            （2）

点M、N为所求作的三等分点．               点O为所求作的点．

……………………………4分　　　　　　　……………………………7分

25．（9分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（1）证明：连接OM．

在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°

∴∠BAC＝∠DCA　　∵OM＝OC，

∴∠OMC＝∠OCM． 

∵∠BAC＝∠DAM，

∴∠DAM＝∠OMC．　　　　　　………………2分

∴∠OMC＋∠DMA＝∠DAM＋∠DMA． 

在△DAM中，∠D＝90°，

∴∠DAM＋∠DMA＝180°－90°＝90°．

∴∠OMC＋∠DMA＝90°．

∴∠AMO＝90°，　∴AM⊥MO．　　　　　　　　……………………………4分

点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，

∴AM与⊙O相切．　　　　　　　　　　　　　　　……………………………5分

（2）在△BAC与△DAM中，

∵∠BAC＝∠DAM，∠B＝∠D，∴△BAC∽△DAM　……………………………6分

∴＝，∴＝．

∵AM＝3DM，∴AC＝3BC．

BC＝2，AC＝6. 　　　　　　　　　　　　　　　　……………………………7分

在△DAM中，DM2＋AD2＝AM2

即DM2＋22＝（3DM）2

解得DM＝．AM＝．　　　　　　　　　　　……………………………8分

在△AMO中，AM2＋MO2＝AO2

即（）2＋ MO2＝（6－MO）2．

解得MO＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………………9分

26.（10分）解：

（1）∵ 矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，

∴ 矩形AEFB面积是矩形CDEF面积的3倍，

∴ AD＝3DE．∵AD＝x，∴GH＝x．　　　　　　……………………………2分

∵ 围栏总长为110 m，

∴ 2x＋x＋2CD＝110．

∴CD＝55－x．　　　　　　　　　　　　　　　……………………………3分

∴y＝x（55－x）＝－x2＋55x．　　　　　　　……………………………5分

自变量x的取值范围为：24≤x＜40．　　　　　　……………………………6分

（2）∵y＝－x2＋55x＝－( x2－40 x) ＝－( x－20) 2＋550，　…………8分

∵自变量x的取值范围为：24≤x＜40，且二次项系数为－＜0，

∴当x＝24时，y有最大值，最大值为528平方米．　　　　　　　…………10分

27．（10分）

（1）说明： 图形正确、答案正确，给出1个得3分、2个得5分、3个或4个得7分．

（以下推导过程供参考）

当点P与点D重合时，△GCB≌△CGP，

BG＝CP＝3． 

当点P在BD的延长线上，PC=BC时，

由HL得，△GCB≌△GCP， 

∴BG＝PG，BC＝PC．

∴点G、C在BP的垂直平分线上．

∴GC是BP的垂直平分线．

∴∠BGC＋∠GBD＝90°，∠CBD＋∠GBD＝90°．

∴∠BGC＝∠CBD．

又∵∠GBC＝∠BCD＝90°，∴ GCB∽△BDC．

∴＝．

∵ BC＝4，CD＝3，∴＝，∴ BG＝．

当点P在线段BD上（不包括端点），PG=BC时，△GCB≌△GCP，

∵△GCB≌△CGP，

∴CB＝GP， BG＝PC，∠BCG＝∠PGC．

∴△GPB≌△CBP．∴∠GBP＝∠CPB．

∵∠GBP＋∠CPB＋∠POB＝180°， 

∠BCG＋∠PGC＋∠GOC＝180°，

∴∠GBP＋∠CPB＋∠POB＝∠BCG＋∠PGC＋∠GOC．

又∵∠POB＝∠GOC， ∴∠GBP＝∠PGC，∴ BD∥GC．

∵BG∥CD，∴ 四边形BGCD是平行四边形．

∴BG＝CD＝3．

当点P与点B重合，BG＞0．

（2）由（1）可知，此时△GBC≌△GPC ，且BG＝．

∵△GBC≌△GPC ，∴∠GPC＝∠GBC＝90°．

∵GM⊥EF，CN⊥EF，

∴∠GMP＝∠PNC＝90°，∠GNP＋∠GPM＝90°．

∵∠GPC＝90°，∴∠GPM＋∠NPC＝90°，

∴∠MGP＝∠NPC．

∴△PGM∽△CPN，∴＝．

∵△GBC≌△GPC ，∴CP＝CB＝4，PG＝BG＝．

∴＝＝，∴PM＝CN．    .........................................................................8分

∵PB＝PF，∴∠F＝∠PBC，又∵∠FNC＝∠BCD＝90°，

∴△FNC∽△BCD，∴＝．

∵BC＝4，DC＝3，∴＝，∴FN＝CN．...................................................9分

∵PM＝CN，FN＝CN，∴PM＝FN．....................................................................10分