江西财经大学线性代数试题061107513020

03-04学年第一学期期末考试试卷

试卷代码：03043A 卷 课时：48课时 课程名称：线性代数 适用对象：选课班

一、填空题（3×5＝15分）

1、 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=443

322110

0000000a b a b b a b a A ，则A ＝______。 2、 已知A ，B 均为n 阶方阵， A 与B 相似，且线性方程组A X ＝β仅有一个解，则 )(B R ＝______。

3、 设A ，B ，

C 同为n 阶方阵，且A B C =n I ，那么B 是可逆阵，1−B ＝______。 4、 设A 为实对称阵，且A 1X ＝0，A 2X ＝32X ，其中1X ，2X 为非零列向量，则1X 与2X 的内积（1X ， 2X ）＝______。

5、 设可逆方阵A 有特征值λ，则方阵（1

*−+A A ）必有特征值______ 。 二、单项选择题（3×5＝15分）

1、设*A 为n 阶可逆方阵A 的伴随矩阵，则必有*A ＝______。 (A ) A (B ) A 1 (C ) A n (D ) A 1−n

2、对于矩阵A ，B ，C ，D ，I ，下述论断不正确的是______。 (A ) 若A B =I （A ，B 为同阶方阵），则B ＝1−A (B ) 若A ≠0，则*A ≠0

(C ) 若A ＋B ＝A ＋C ，则B ＝C

(D )（A 1−B 1−）T =(B T A T )1−(A ，B 可逆)

3、若向量组1α，2α，3α线性无关，而1α，2α，4α线性相关，则______。 (A ) 1α必可由2α，3α，4α线性表示

(B ) 2α必不可由1α，3α，4α线性表示

(C ) 4α必可由1α，2α，3α线性表示

(D ) 4α必不可由1α，2α，3α线性表示

4、要使1α＝（1，0，2）T ，2α＝（0，1，－1）T 都是线性方程组A X ＝0的解，只要系数矩阵A 为______。

(A ) （－2，1，1） (B ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−110102 (C ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−110201 (D ) ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−110224110 5、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的______。 (A ) 充分必要条件 (B ) 充分而非必要条件

(C ) 必要而非充分条件 (D ) 既非充分也非必要条件

三、计算题（60分）

1、（10分）已知A 1−＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡421310121，B 1−＝⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−132121012 求A ，（A T B )1−，（（A B ）T ）1−，AB

2、（12分）向量组1α＝（3，λ，1），2α＝（λ，3，0），3α＝（λ－3，λ－1，－1），问λ为何值时，1α，2α，3α线性相关？λ为何值时，1α，2α，3α线性无关？

3、

（12分）讨论线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+−−=++−2

321

3213212222k x x x k x x x x x x ，当k 取何值时有解，无解？有解？有解时，求其解。

4、（12分）设A ＝⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡0402010y x 有三个线性无关的特征向量，求x 和y 满足的条件。 5、（14分）已知A ＝⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112，求正交矩阵T 和对角矩阵Λ，

使得T 1−A T ＝Λ

四、证明题（2×5=10分）

1、已知A ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛111（1，1，1）＋⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛321x x x （ 1y ，2y ，3y ），其中1x ，2x ，3x ，1y ，2y ，3y 为任意实数，证明：A ≡0

2、设向量组1α，2α，K ，s α线性无关，试证：向量组1α，1α＋2α，K ， 1

α＋2α＋K ＋s α也线性无关。