判断函数单调性及求值域的重要方法

一、定义法

设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.

二：性质法

除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 

若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：

⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；

⑵ f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；

⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；

⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；

三：同增异减法 

是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.

注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；

    （2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；

    （3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数.

求函数值域的常用方法

1．观察法

用于简单的解析式。

y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).

2.配方法

多用于二次(型)函数。

y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）

3. 换元法

多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。

特别注意中间变量（新量）的变化范围。

y=-x+2√( x-1)+2

令t=√(x-1),

则t≤0, x=t^2+1.

y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].

4. 不等式法

用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。

y=（e^x+1）/(e^x-1), (0011/(e^x-1)>1/(e-1),

y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).

5. 最值法

如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].

因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.

 6.  反函数法

有的又叫反解法.

函数和它的反函数的定义域与值域互换.

如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.

7. 单调性法

若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为

[f(b), f(a)]. 

8. 数形结合法

利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域.