江西财经大学线性代数试题061107336592

05-06学年第二学期期末考试试卷

试卷代码：034C 卷

课时： 课程名称：线性代数（工） 适用对象：选课班

一、单项选择题（3′×4=12′）

1．已知)1,1,a (1=α，)1,a ,1(2−=α，)a ,1,1(3−=α线性相关，则a 为 A ．a = 2 B ．a =-1 C ．a=2或a =

-1 D ．a ≠2且a ≠-1 2．n 维向量组s 21,,,αααL 线性无关的充要条件是 A ．s 21,,,αααL 均不是零向量

B ．s 21,,,αααL 中任意两个向量的分量不成比例

C ．向量s 21,,,αααL 的个数s ≤n （维数）

D ．某向量β可以由s 21,,,αααL 线性表示，且表示式唯一 3．下列说法正确的命题个数有

n 阶方阵A 可逆的充要条件是，相应的齐次线性方程组AX ＝0仅有零解

n 阶方阵A 可逆的充要条件是，它的所有的特征值均不为零 n 阶方阵A 可逆的充要条件是，它的伴随矩阵A *可逆

n 阶方阵A 可逆的充要条件是，A 经过初等行变换所得行阶梯形矩阵中含有n 个非零行向量

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．实二次型f(x 1，x 2，x 3)=x 12+2x 1x 2+tx 22+3x 32，当t= 时，其秩为2 A ． 0 B ．1 C ．2 D ．3

二、填空题（3′×5=15′）

1．已知α＝(1,2,3)，则行列式|T α⋅α|＝ 。

2．已知：向量组)1,3,a (1=α，)3,b ,2(2=α，)1,2,1(3=α，)1,3,2(4=α的秩为2，则a 、b 的取值为 。

3．设矩阵A 的一个特征值为2，|A -1|=4

1则A *的一个特征值为 。

4．已知A 、B 为可逆矩阵，D ＝⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛C B A 0，则D -1＝ 。

5．设A 、B 均为m ×n 矩阵，且R(A)=r 1，R(B)=r 2，R(A+B)=r 3，则r 1，r 2，r 3的关系为 。

三、计算题（8′×2=16′）

1．先化简，再计算

已知⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛=210320002A 三阶矩阵B 满足A -1BA=2A+BA ，求矩阵B -1。

2．设四元非齐次线性方程组AX=B 的R （A ）=3。X 1，X 2，X 3均为它的解向量且⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=54321X ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=+432132X X 求其通解。 四、计算题（15′×3=45′）

1．已知向量组A ：1α＝(1,0,2,1)T ，2α=(1,2,0,1)T ，3α=(2,1,3,0)T ，4α＝(2,5,-1,4)T ，5α＝(1,-1,3,-1)T ，求A 的一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。

2．求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3x 2x 2x 3x 51x 2x x x 25x x 4321

432121的一个解及导出组的基础解系。

3．已知三阶矩阵A 的特征值为2，4（二重）其对应的特征向量为T 1)21,21,0(−=α，T 2)0,0,1(=α，T 3)2

1,21,0(=α，求矩阵A 。 五、证明题（6′×2=12′）

1．设21λλ，是实对称矩阵A 的两个特征值，21,αα是对应的特征向量，且21λ≠λ，求证：21αα与正交。

2．设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=α321a a a ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=β321b b b ，⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛=γ321c c c （0b a 2i 2i ≠+ 3,2,1i =）。 已知0c y b x a :l 1111=++

0c y b x a :l 2222=++

0c y b x a :l 3333=++

三直线l 1，l 2，l 3相交于一点

求证：α、β线性无关，α、β、γ线性相关，反之亦然。