《高等工程数学》科学出版社版习题答案(第二章)

（此习题答案仅供学员作业时参考。因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！）

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P50

1．求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化

（1）  （2）  （3）

解：（1）特征值：

可对角化。

（2）特征值：

不可对角化。

（3）特征值：

不可对角化。

2．求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan标准形

（1）（2）（3）（4）

解：（1）不变因子是： 

初等因子是： 

Jordan标准形是： 

（2）不变因子是： 

初等因子是： 

Jordan标准形是： 

（3）不变因子是： 

初等因子是： 

Jordan标准形是： 

（4）不变因子是： 

初等因子是： 

Jordan标准形是： 

3．设（1）（2）（3）

求可逆矩阵P，使得P－1AP是Jordan标准形

解：（1）A的特征值为

         对应的特征向量是： 

         二级根向量是： 

（2）A的特征值为

         对应的特征向量是： 

         二级根向量和三级根向量是： 

（3）此题数据不便于求解特征值，A的特征多项式是：

4．试求第2题 最小多项式。

解：（1）最小多项式是： 

   （2）最小多项式是： 

（3）最小多项式是： 

（4）最小多项式是： 

5．设，计算方阵多项式

解：因为：

而是A的特征多项式 ，所以f（A）＝0

故有

6．设A是可逆方阵，证明A－1可表示为A的方阵多项式。

证明：设A是n阶方阵，其特征多项式是：

因A可逆，所以（为什么？自己证明）

由  得

所以A－1可表示为A的多项式。

7．设，，证明A不能与对角矩阵相似。

证明：由题设知，A的最小多项式是：，有重根，所以不能相似对角化。

8．已知，证明A与对角矩阵相似。

证明：由题设知，是A的零化多项式，而多项式没有重根（为什么？自己证！！），所以A的最小多项式没有重根，故与对角矩阵相似

9．设，试证A的Jordan标准形是diag{1,1,…,1,0,…,0}

证明：因为是A的零化多项式，且是最小多项式，所以A的特征值只能是0和1，且可对角化，所以A的Jordan标准形是diag{1,1,…,1,0,…,0}

10．设方阵A的特征多项式和最小多项式分别为：

 （1）

（2）

试确定A的所有可能的Jordan标准形

解：（1）A的可能Jordan标准形为

      或

（2）A的可能Jordan标准形为