广东省佛山市顺德区普通高中2022-2023学年高三上学期教学质量检测(一)数学试题及答案

高三数学

2022．11

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、

试室号、座位号填写在数学答题卡，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1．已知集合2{60}A x x x =--≤，{14}B x x x =≤->或，则R A C B =（

）

A ．{21}

x x -≤≤-B ．{34}

x x x ≤>或C ．{24}

x x -≤≤D ．{13}

x x -<≤2．已知复数z 满足230z z ++=，则z 在复平面内对应的点位于（

）

A ．第一或第三象限

B ．第二或第四象限

C ．第二或第三象限

D ．第一或第四象限3．如图，已知四边形ABCD 是圆柱12O O 的轴截面，:3:2AD AB =，在圆柱12O O 内

部有两个圆锥(圆锥1PO 和圆锥2PO )，若12:2:1PO PO V V =，则圆锥1PO 与圆锥2PO 的侧面积之比为（）

A ．2:1

B

C

．1):1)

+D ．1:1

4．已知向量(2,)a n = ，(,4)b m = ，若(5,3)a b +=

，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）

A ．

25B

C ．68(,)

2525D ．42(,555．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，则()f x 的表达式可以为（

）

A ．()2cos(2)

6

f x x π

=-B ．7()2cos(2)6

f x x π=-C ．5()sin(2)3f x x π=-D ．7()2sin()12

f x x π=-

第3题图

第5

题图

6．已知四边形ABCD 是椭圆22

:143

x y C +=的内接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形

ABCD 为矩形，则四边形ABCD 的面积的最大值为（

）

A ．

B ．

48

7

C D ．+7．国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，

国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该被称为三孩.某个家庭积极响应该，一共生育了三个小孩.假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件A ：该家庭既有男孩又有女孩；事件B ：该家庭最多有一个男孩；事件C:该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（）

A ．事件

B 与事件

C 互斥但不对立B ．事件A 与事件B 互斥且对立C ．事件B 与事件C 相互

D ．事件A 与事件B 相互

8．已知函数()f x 满足：(2)()2f x f x -+=，对任意1x ，2[1,)x ∈+∞（12x x ≠），2121[()()]()0

f x f x x x -⋅->恒成立．若422()(62)2f x ax f x ++-≥成立，则实数a 的取值范围是（）

A ．(,2]{0}

-∞- B ．[2,)

-+∞C ．(,2]

-∞-D ．[2,0)(0,)

-+∞ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设55015(21)x a a x a x -=+++ ，则下列说法正确的是（

）

A ．01

a =B ．123451

a a a a a ++++=C ．024121

a a a ++=-D ．135122

a a a ++=10．我国在各种乒乓球比赛中均取得过优异的成绩，例如在刚刚过去的2022年成都世界乒乓球团体锦标

赛中，中国的乒乓球健将们再创佳绩，男团，女团分别获得了团体冠军．甲、乙两位乒乓球初学者，都学习了三种发球的技巧，分别是：上旋球、下旋球以及侧旋球．两人在发球以及接对方发球成功的概率如下表，两人每次发、接球均相互：则下列说法正确的是（

）

上旋球（发/接）下旋球（发/接）侧旋球（发/接）

甲

13（35）14（25）16（15）乙

14（15）12（35）14（15

）A ．若甲选择每种发球方式的概率相同，则甲发球成功的概率是

3

4B ．甲在连续三次发球中选择了三种不同的方式，均成功的概率为

172

C ．若甲选择三种发球方式的概率相同，乙选择三种发球方式的概率也相同，则乙成功的概率更大

D ．在一次发球中甲选择了发上旋球，则乙接球成功（甲发球失误也算乙成功）的概率是

1315

11．已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，{}n b 的通项公式为31n b n =-．将数列{}n a ，{}n b 的公共项按

从小到大的顺序组成一个新的数列{}n c ，设{}n c 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）

A ．2023{}

n c ∈B ．20234046

c b =C ．2023{}n S a ∈D ．2023{}

n S b ∈12．已知函数32()32f x x x x =-+，设方程()f x t =（0t >）的三个根分别为1x ，2x ，3x （123x x x <<），

则下列说法正确的是（）

A ．123

x x x +>B ．1233

x x x ++=C ．123232

()777

f x x x t

++f x f x f x f x f x f x +++++=

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,满分20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.

13．已知角(0,2πθ∈，且

1cos 22sin 2θ

θ

-=，则sin θ的值为__________．14．已知函数()y f x =经过点(1,3)A ，且(1)5f '=，请写出一个符合条件的函数表达式：()f x =__________．

15．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线为:b

l y x a

=，左、右焦点分别是1F ，2F ，

过点2F 作x 轴的垂线与渐近线l 交于点A ，若126

AF F π

∠=

，则双曲线C 的离心率为____________．16．如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设E 为11C D 的中点，

F 为1BB 上的一个动点，设由点,,D E F 确定的平面为α，当点F 与1

B 重合时，平面α截正方体的截面的面积为______；点1A 到平面α的距离的最小值为_______．

四、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本题满分10分)

体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）》（下面简称“体育健康促进行动方案”）中明确提出青少年学生每天在校内参与不少于60分钟的中高强度身体活动的要求.随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.某中学教师为了了解体育运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取1000名学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩情况，得到下表数据：

约定：平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”，数学成绩排在年级前50%以内（含50%）的为“数学成绩达标”.

（1）求该中学高三年级本次月考数学成绩的65%分位数；

（2）请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）；

（3）请根据已知数据完成下列列联表，并根据小概率值0.001α=的性检验，分析“数学成绩达

标”是否与“运动达标”相关；

附：22

()()()()()

n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（n a b c d =+++）

数学成绩（分）[30-50)[50-70)[70-90)[90-110)[110-130)[130-150]

人数（人）2512535030015050爱运动的人数（人）

10

45

145

200

107

43

数学成绩达标人数

数学成绩不达标人数

合计

运动达标人数运动不达标人数

合计

第16题图

18．(本题满分12分)

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，．

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设327n n b S n =

+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3

4

n T <．

从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：

①数列n S n ⎧⎫

⎨⎩⎭

是以32为公差的等差数列；②1223(1)n n na S n n +=++．

19．(本题满分12分)

已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC △的周长为sin ()sin sin C

c b c A B

-+-．

（1）求A ；

（2）若4b =，2c =，

M 是AC 的中点，点N 满足2NC BN =

，设AN 交BM 于点O ，求cos MON ∠的值．

20．(本题满分12分)

如图，在四棱锥P ABCD -

中，AB AD ==

CB CD ==60BAD ∠= ，点P 在平

面ABCD 上的投影恰好是ABD ∆的重心E ，点M 满足PM PC λ= ，且//PA 平面BDM ．

（1）求λ的值；

（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角的正切值为

3

2

，求平面BDM 与平面PAD 夹角的余弦值．21．(本题满分12分)

已知动圆C 经过点()1,0F ，且与直线1x =-相切，记动圆C 圆心的轨迹为E ．

（1）求E 的方程；

（2）已知00(4,)(0)P y y >是曲线E 上一点，A ，B 是曲线E 上异于点P 的两个动点，设直线PA 、

PB 的倾斜角分别为α、β，且34

π

αβ+=

，请问：直线AB 是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由．

22．(本题满分12分)

已知函数2

1()ln 2

f x mx x x =

+-．（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若a ，b 是()f x 的两个极值点，且a b >，求证：2[()()](41)()f a f b m a b -<+-．

第20

题图

2022学年顺德区普通高中教学质量检测（一）

高三数学参

一、单项选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题

目要求的.

1.D 【解析】集合{23}A x x =-≤≤，{|14}R C B x x =-<≤，从而可得{|13}R A C B x x =-<≤ .

2.C 【解析】根据求根公式可得：1112

z -=

，即可得z 在复平面内的点位于第二或第三象限.3.B 【解析】圆锥1PO 与2PO 的底面积相等，其体积之比为2:1，则可得12:2:1PO PO =，根据条件

:3:2AD AB =，可得:PA PD =.根据圆锥的侧面积公式S rl π=可得两圆锥的侧面积之比

2=.

4.C 【解析】由题意可得(2,1)a =- ，(3,4)b = ，向量a 在向量b 上的投影为2

cos ,5

a a

b ⋅<>= ，从而可得向

量a 在向量b 上的投影向量268(,52525b b ⋅=

.

5.A 【解析】设函数()2cos()f x x ωϕ=+，由题意可得313341234T ππ=-=，即可得T π=，根据2T π

ω

=可

得2ω=.当1312x π=

时，由2y =可得132cos()26πϕ+=，即有13

26

k πϕπ+=，从而可得13

26

k ϕπ=-

+，当1k =时，即可得选项A 成立.6.A 【解析】设点A 的坐标为(,)x y ，则可得矩形ABCD 的面积4S xy =，根据椭圆的方程：

221

43x y +=≥=，即可得xy ≤，从而可得ABCD 面积的最大值为.7.D 【解析】设0表示女孩，1表示男孩.该家庭的子女情况可表示如下：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1).事件A 包括：(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)；事件B 包括：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)；事件C 包括：(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1).

对于选项A ，事件B 与事件C 互斥且对立，故选项A 错误；对于选项B ，事件A 与事件B 不互斥，故选项B 错误；由上可知：63()84P A =

=，1()2P B =，1()2P C =，()0P BC =，3

()8

P AB =，其中事件A 与事件B 符合事件性的定义，故选项D 成立.

8.B 【解析】对任意1x ，2[1,)x ∈+∞（12x x ≠），2121[()()]()0f x f x x x -⋅->恒成立，可得()f x 在[1,)+∞上

单调递增，根据(2)()2f x f x -+=可得函数()f x 关于点(1,1)对称，从而可得()f x 在R 上单调递增.由不等式422()(62)2f x ax f x ++-≥可得4222()2(62)(24)f x ax f x f x +≥--=-，根据单调性可得

42224x ax x +≥-，

当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，2242()a x x ≥-+，其中2

2

42()x x -+的最大值为2-，从而可得实数a 的取值范围是[2,)-+∞.

二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要

求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.

9.CD 【解析】令0x =，可得01a =-，故A 错误；令1x =，可得0123451a a a a a a +++++=，从而可得

123452a a a a a ++++=，故B 错误；令1x =-，可得012345243a a a a a a -+-+-=-，通过组合可

得024121a a a ++=-，135122a a a ++=，从而可得C ，D 成立.

10.BC 【解析】若甲选择每种发球方式的概率相同，即均为1

3

.根据全概率公式可得甲发球成功的概率为

111111133343⨯+⨯+⨯=，同理可得乙发球成功的概率为：1111111

3432343

⨯+⨯+⨯=，从而可得A 错误，C 成立；根据事件性的定义，可得甲在连续三次发球中选择了三种不同的方式的概率为111134672⨯⨯=，故B 成立；在一次发球中甲选择了发上旋球，则乙接球成功的概率为：2111133515

+⨯=，故D 错误.

11.BCD 【解析】由题意可得数列{}n c 的通项公式61n c n =-.令202361n =-，可得1012

3

n =

不是整数，故A 错误；20234046620231340461c b =⨯-=⨯-=，故B 成立；20236(122023)20236(122023)63371

S =+++-=+++-⨯- 6(122023337)1{}n c =+++--∈ ，从而可得选项C ，D 均成立.

12.BCD 【解析】结合函数()f x 的图象可得1201x x <<<，32x >，从而可得1232x x x +<<，故选项A 错

误；由题意可得3212332()()()x x x t x x x x x x -+-=---，上述方程化简即可得1233x x x ++=成立，故B 成立；对于选项C ，12321322323261

()7777777

x x x x x x x ++=++=+，根据201x <<，可得21232321777x x x x <

++<，由此即可得123232

()777

f x x x t ++<成立，故C 成立.经验证函数()f x 关于点(1,0)对称，即满足()(2)0f x f x +-=，当32i i x x ++=时，可得3()()0i i f x f x ++=，即可得D 成立.

三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分.其中第16题第一空2分,第二空3分.

13.【解析】根据二倍角公式可得21cos 21(12sin )sin 2sin 22sin cos cos θθθ

θθθθ

---===⋅，根据同角三角函数的关系

22sin cos 1θθ+=可得：sin θ=θ的终边位于第一象限，所以sin θ=.

14.32()1f x x x =++或251

()22

f x x =

+或()52f x x =-（只要满足条件即可）【解析】略.15.

21

3

【解析】由题意可得点A 的坐标为(,)bc c a ，122F F c =，易知12AF F ∆是直角三角形，从而可得

12tan 2bc AF F ac ∠=

，即23b a =，结合222c a b =+即可得双曲线C

的离心率为3

.

16.；

26

3

【解析】对于第一空，当点F 与1B 重合时，平面α截正

方体的截面形状为菱形，该菱形的对角线长分别为：

，从

而可得其截面的面积为；对于第二空，如图建立空间直角坐标系：可得点1(0,0,2)A ，(0,2,0)D ，(1,2,2)E ，设点(2,0,)F t （[0,2]t ∈）.可得面α的一个法向量为(4,4,2)m t =--

.点1A 到平面α

的距离

11cos ,d A D A D m =⋅<>=

，化简可得

3d =≥.四、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答题须写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.（本题满分10分）

解：（1）数学成绩在[)30,90分的频率为()1

251253500.51000

++⨯

=，数学成绩在[)30,110分的频率为()1

251253503000.80.651000

+++⨯

=>，…………………1分所以65%分位数在[)90,110内，故65%分位数为0.650.5

90201000.3

-+⨯=.……………………3分

（2）估计该中学本次月考数学成绩的平均分为：

2540125603508030010015012050140

91.501000

x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

=（分）………………5分

（3）

…………6分

数学成绩达标人数

数学成绩不达标人数

合计

运动达标人数350200550运动不达标人数

150300450合计

500

500

1000

零假设为

0:H “数学成绩达标”与“运动达标”之间无关联.………………………………7分

根据列联表的数据，经计算得到

2

2

1000(350300200150)550450500500

χ⨯⨯-⨯=

⨯⨯⨯90.91≈……………………………………………8分0.00110.828x >=……………………………………………………………………9分

根据小概率值0.001x 的性检验，我们推断0H 不成立，即认为“数学成绩达标”与“运动达标”有关联，此推断犯错的概率不大于0.001.…………………………………………………………10分18.（本题满分12分）

解：（1）选①，依题意得：

1331(1)122

n S S n n n -=+-⨯=，…………………………………………………1分所以232

n n n S -=①……………………………………………………………………2分213(1)(1)(2)2

n n n S n ----=≥②…………………………………………………………3分

②-①得：22

33(1)(1)32(2)22

n n n n n a n n ----=-=-≥，……………………………………5分

当1n =时13121a =⨯-=，所以*32()n a n n N =-∈．………………………………………6分选②，当2n ≥时，因为1223(1)n n na S n n +=++①所以12(1)23(1)n n n a S n n --=+-②

………………………………………………………1分

①-②得：122(1)26n n n na n a a n +--=+……………………………………………………2分即13(2)n n a a n +-=≥……………………………………………………………………3分又21226a S =+即213a a -=………………………………………………………………4分所以数列{}n a 是以1为首项3为公差的等差数列，……………………………………………5分所以*1(1)332()n a n n n N =+-⨯=-∈.…………………………………………………6分

（2）证明：因为由（1）知*

32()n a n n N =-∈，所以2

(132)322

n n n n n S +--==

，………………7分所以23312737(2)

n n b S n n n n n n ===

+-++…………………………………………………8分111()22

n n =

-+…………………………………………………………………9分

当1n =时，1113

34

T b ==

<；……………………………………………………………10分当2n ≥时，121111324(2)

n n T b b b n n =+++=+++

⨯⨯+ 11111111111

(1)()()()2322423522n n =-+-+-++-+ 11111111(1)2324352

n n =-+-+-++-+ 311412

n n =

--++………………………………………………………………11分3

4

<

…………………………………………………………………………12分19.（本题满分12分）

解：（1）依题意得：sin ()

sin sin C c b a b c c A B

-++=+-，……………………………………1分

所以sin ()

sin sin C c b a b A B -+=

-，

由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得：()

c c b a b a b

-+=

-，………………………………2分所以()()()a b a b c c b +-=-，即2

2

2

c b a bc +-=，………………………………………3分

由余弦定理得：2221

cos 22

c b a A bc +-==，………………………………………………4分

因为0A π<<，………………………………………………………………………5分

所以3

A π

=

．…………………………………………………………………………6分（2）法一：依题意得：2133

AN AB AC =+uuu r uuu r uuu r

，……………………………………………7分

12

BM AM AB AC AB =-=-uuur uuur uuu r uuu r uuu r

，

…………………………………………………………8分所以211()()

332

AN BM AB AC AC AB ⋅=+⋅-uuu r uuur uuu

r uuu r uuu r uuu r 222136

AB AC =-+uuu

r uuu r ………………………………………………………9分

21

416036

=-⨯+⨯=，…………………………………………………10分

所以AN BM ⊥uuu r uuur ，即AN BM ⊥，所以2

MON π

∠=，即可得cos 0MON ∠=.………………12分

法二：因为M 是AC 的中点，所以1

22

AM AC =

=，又因为2c =，60BAC ∠=o ，……………7分所以ABM ∆是等边三角形，所以60ABM ∠=o

，…………………………………………8分

由余定理得：2

2

2

2cos a b c bc A =+-=，……………………………………………9分

所以222

a c

b +=，所以90B =

，所以30CBM ∠=o

，……………………………………10分

因为2NC BN = ，所以12333BN BC ==，24333

NC BC ==，

在Rt ABN ∆中，433

AN =

，所以=AN BN ，所以30NAC C ∠=∠=o

，……11分所以60ANB NAC C ∠=∠+∠=o

，所以90AN O NB N B M N ∠+∠=∠=

，所以cos 0MON ∠=.12分20．（本题满分12分）

解：（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，因为AB AD =，CB CD =，所以ACD ABC ∆≅∆，所以AC BD ⊥，………………………1分

又因为AB AD =，60BAD ∠=

，所以ABD ∆是正三角形，

所以603AO ==

，6CO =

=，……………………………………2分

因为//PA 平面BDM ，且PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面BDM MO =，所以//PA MO .所以

31363PM AO PC AC ===+，即1

3

λ=.…………………………………………………4分（2）如图，以O 为原点，以OB 为x 轴，以OC 为y 轴，以过点O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，

建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，

因为点P 在平面ABCD 上的投影恰好是ABD ∆的重心，所以PE ⊥平面ABCD ，2AE EO =，所以2AE =，1EO =，因为直线PA 与平面ABCD 所成角的正切值为

3

2

，

所以在Rt PAE ∆中3tan 2PE PAE AE ∠=

=，所以3

32

PE AE ==，……………………………6分(0,3,0)A -

，B ，(0,6,0)C

，(D ，(0,1,3)P -，

由（1）知，13λ=，所以13OM OP PM OP PC =+=+ 4(0,,2)3=，所以4

(0,,2)3

M ，

(0,2,3)AP =

，(AD =

，OB = ，4

(0,,2)3

OM = ，……………………8分

设平面PAD 的法向量为111(,,)m x y z = ，

则111130

230

m AD y m AP y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，

取1

x =得11y =，123z =-，

所以2

)3m =- 是平面PAD 的一个法向量，…………………………………………9分

设平面BDM 的法向量为222(,,)n x y z = ，

则2220

420

3n OB n OM y z ⎧⋅==⎪

⎨⋅=+=⎪⎩

，取23y =，得20x =，22z =-，

所以(0,3,2)n =-

是平面BDM 的一个法向量……………………………………………10分所以

4

33cos ,||||

m n

m n m n +

⋅<>==⋅

20=，………………………………………11分

所以平面BDM 与平面PAD

夹角的余弦值为20

.………………………………………12分21.（本题满分12分）

解：（1）设动圆C 的圆心为(,)x y

|1|x =+，………………2分

化简得：2

4y x =，即E 的方程为2

4y x =；………………………………………………4分

（2）因为00(4,)(0)P y y >是曲线E 上一点，所以2

04416y =⨯=，所以04y =，所以(4,4)P ，当α、β中有一个为

2π时，不妨设4

π

α=，则2πβ=，此时(4,4)B -，直线PA 方程为：y x =，

联立24y x

y x

==⎧⎨⎩，解得(0,0)A ，直线AB 方程为：0x y +=，…………………………………5分

当α、β都不为2

π

时，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，设211(,)4y A y ，2

22(,)4y B y

，

所以112

114

4=

1444

y k y y -=

+-，同理可得224

4

k y =+.…………………………………………6分因为34

π

αβ+=

，所以tan()1αβ+=-，所以tan tan 11tan tan αβαβ+=--⋅，………………………7分

所以

12

12

11k k k k +=--⋅，即121210k k k k +-⋅+=，……………………………………………8分

所以

12124444

104444

y y y y +-⋅+=++++，即12128()320y y y y ++⋅+=，…………………9分依题意可设直线AB 方程为：x ty n =+，联立24x t x y n

y =+⎧=⎨⎩，消x 整理得：2

404ty n y --=，…10分

所以2

60161t n +∆>=，124y y t +=，124y y n ⋅=-，……………………………………11分

所以324320t n -+=，即=88n t +，所以+88(8)8x ty n ty t t y =+=+=++，

令80y +=得8y =-，8x =，所以直线AB 经过定点(8,8)Q -．……………………………12分22．（本题满分12分）

解：（1）对函数()f x 求导可得211

()1mx x f x mx x x

+-'=+-=.…………………………1分

当0m =时，1

()x f x x

-'=

，令()0f x '=得：1x =，当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上单调递减；

当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增；……………………………………2分当0m ≠时，设2()1g x mx x =+-，14m ∆=+当1

4

m ≤-时，0∆≤，()0g x ≤，所以()0f x '≤，()f x 在(0,)+∞上单调递减；………………3分当104m -

<<时，0∆>，令()0g x =得：111402x m -=>，211402x m

-+=>，且12x x >，当20x x <<或1x x >时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在114(0,2m

-，114(,)

2m

--+∞上单调递减；

当21x x x <<时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x

在11(,22m

m

---上单调递增；4

分

当0m >时，0∆>，令()0g x =

得：1102x m --=<

(舍去)，2102x m

-+=>，当20x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x

在1(0,2m

-+上单调递减；2x x >时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在114(,)2m

-++∞上单调递增；……………5分（2）由（1）知，104m -

<<，,a b 是210mx x +-=的两根，所以1a b m +=-，……………6分因为21()ln 2f a ma a a =+-，21()ln 2f b mb b b =+-，所以1()()()()()(ln ln )2f a f b m a b a b a b a b -=+-+---1()(ln ln )2a b a b =---……………7分所以2[()()]()2(ln ln )f a f b a b a b -=---，又1a b m +=-，所以要证2[()()](41)()f a f b m a b -<+-，只需证2()ln ln a b a b a b -->+，……………………8分等价于2(1)ln 1a a b a b b

->+，………………………………………………………………10分设

a t

b =，则1t >，所以2(1)ln 1t t t ->+，所以只需证2(1)ln 01t t t -->+，令2(1)()ln (1)1t g t t t t -=->+，所以2

222

12(11)14(1)()0(1)(1)(1)t t t g t t t t t t t +-+-'=-=-=>+++，…………………………………11分所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=，所以2(1)ln 01

t t t -->+，即2[()()](41)()f a f b m a b -<+- (12)

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