《三角函数》章末复习课

学习目标　1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换.

1.任意角三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；

(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；

(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0).

2.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tan α＝ .

3.诱导公式

六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.

4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质

类型一　三角函数的概念

例1　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝        .

答案　－8

解析　r＝＝，且sin θ＝－，

所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.

反思与感悟　(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.

②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.

(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

跟踪训练1　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.

解　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，

∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，

则x＝4t，y＝－3t.

r＝＝＝5|t|.

当t＞0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，

cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；

当t＜0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，

cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.

综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－

或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

类型二　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用

例2　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：

(1)＋；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值.

解　由根与系数的关系，得

sin θ＋cos θ＝，

sin θcos θ＝.

(1)原式＝＋

＝＋

＝－

＝sin θ＋cos θ＝.

(2)由sin θ＋cos θ＝，

两边平方可得

1＋2sin θcos θ＝，

1＋2×＝1＋，

m＝.

(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，

得两根和.

∴ 或 

∵θ∈(0，2π)，

∴θ＝或.

反思与感悟　(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.

(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.

跟踪训练2　已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；

(3)若α＝－，求f(α)的值.

解　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.

(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，

(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α

＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.

又∵<α<，∴cos α∴cos α－sin α＝－.

(3)∵α＝－＝－6×2π＋，

∴f＝cos·sin

＝cos·sin

＝cos·sin＝×＝.

类型三　三角函数的图象与性质

例3　将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图象.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值.

解　(1)函数y＝ sin x的图象向下平移1个单位长度得y＝sin x－1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的倍，得到y＝sinx－1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y＝sin(x－)－1的图象，∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[6k－，6k＋]，k∈Z.

(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，

∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值.

∵当x∈[3，4]时，x－∈[，π]，

∴sin(x－)∈[0，]，∴f(x)∈[－1，].

∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最小值是－1，最大值为.

反思与感悟　研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.

跟踪训练3　函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示.

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解　(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.

(2)因为x∈，所以2x＋∈，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.

类型四　三角函数的最值和值域

命题角度1　可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型

例4　求函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.

解　∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，

∴－≤sin(x＋)≤1.

当sin(x＋)＝1，即x＝时，y取得最小值1.

当sin(x＋)＝－，即x＝π时，y取得最大值4.

∴函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.

反思与感悟　利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.

跟踪训练4　已知函数y＝asin(2x＋)＋b在x∈[0，]上的值域为[－5，1]，求a，b的值.

解　∵x∈[0，]，

∴2x＋∈[，π]，sin(2x＋)∈[－，1].

∴当a＞0时，解得

当a＜0时，解得

∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.

命题角度2　可化为sin x或cos x的二次函数型

例5　已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值.

解　y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.

令t＝sin x，∵|x|≤，∴－≤sin x≤.

则y＝－t2＋t＋1＝－(t－)2＋(－≤t≤)，

∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－(－－)2＋＝.

反思与感悟　在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.

跟踪训练5　已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值.

解　令t＝sin x，则

g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－2＋＋b＋1，

且t∈[－1，1].根据对称轴t0＝－与区间[－1，1]的位置关系进行分类讨论.

①当－≤－1，即a≥2时，

解得

②当－1<－<0，即0解得(舍)或(舍)，

综上所述，a＝2，b＝－2.

类型五　数形结合思想在三角函数中的应用

例6　已知方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围.

解　函数y＝sin(x＋)，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解等价于函数y1＝sin(x＋)，y2＝在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以≤＜1，即≤m＜2. 

反思与感悟　数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.

跟踪训练6　设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为        .

答案　π

解析　记f(x)的最小正周期为T.由题意知≥－＝.又f()＝f()＝－f()，且－＝，

可作出示意图如图所示(一种情况)，

∴x1＝(＋)×＝，

x2＝(＋)×＝，

∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.

1.若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为(　　)

A.4      B.±4

C.－4或－      D.

答案　C

解析　由三角函数定义可知，r＝，

sin α＝ ，cos α＝，

sin α·cos α＝＝，

得a＝－4或－.

2.已知f(α)＝，则f(－)的值为(　　)

A.  B.－  C.－  D.

答案　C

解析　∵f(α)＝＝

＝－cos α，

∴f(－)＝－cos(－)

＝－cos(10π＋)＝－cos＝－.

3.函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为(　　)

A.[－2，2]  B.[－1，1]  C.[0，2]  D.[0，1]

答案　C

解析　∵f(x)＝

∴0≤f(x)≤2.故选C.

4.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)

A.2，－  B.2，－  C.4，－  D.4，

答案　A

解析　从图象可得T＝－＝，

∴T＝π＝，∴ω＝2.

又∵f＝2sin＝2sin＝2，且－＜φ＜，∴φ＝－.

5.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

解　令t＝sin x，则t∈[－1，1]，

则函数可化为f(t)＝－t2＋t＋a＝－(t－)2＋a＋.

当t＝时，f(t)max＝a＋，即f(x)max＝a＋；

当t＝－1时，f(t)min＝a－2，

即f(x)min＝a－2.

故函数f(x)的值域为[a－2，a＋].

所以解得3≤a≤4.

故实数a的取值范围为[3，4].

三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.

课时作业

一、选择题

1.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)

A.      B.

C.      D.

答案　D

解析　因为sin ＝sin＝sin ＝，

cos ＝cos＝－cos＝－，

所以点在第四象限.

又因为tan α＝＝－＝tan＝tan ，

所以角α的最小正值为.故选D.

2.若sin(π－α)＝－，且α∈(π，)，则sin(＋α)等于(　　)

A.－      B.

C.－      D.

答案　C

解析　∵sin(π－α)＝－，∴sin α＝－，

又∵α∈(π，)，

∴cos α＝－＝－ ＝－，

∴sin(＋α)＝cos α＝－，故选C.

3.已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域为(　　)

A.[－1，1]      B.[－，1]

C.[－1，]      D.[－1，－]

答案　C

解析　f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|

＝

函数f(x)的图象如图所示，由f(x)的图象，知f(x)的值域为[－1，].

4.设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是(　　)

A.[－4，－2]      B.[－2，0]

C.[0，2]      D.[2，4]

答案　A

解析　由数形结合的思想，画出函数y＝4sin(2x＋1)与y＝x的图象，观察可知选A.

5.将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)

A.在区间上单调递减

B.在区间上单调递增

C.在区间上单调递减

D.在区间上单调递增

答案　B

解析　y＝3sin向右平移个单位长度得到y＝3sin＝3sin的图象.

∵x∈，则2x－∈，

∴y＝3sin在上单调递增.

6.函数f(x)＝Asin(ωx＋θ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)

A.sin      B.sin

C.sin      D.sin

答案　A

解析　由图象知A＝，∵－＝T，

∴T＝π，∴ω＝2.∵2×＋θ＝＋2kπ(k∈Z)，

∴可取θ＝－，∴f(x)＝sin.

7.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在区间[，π]上是单调递增函数”的一个函数可以是(　　)

A.y＝cos(2x－)      B.y＝sin(2x－)

C.y＝sin(2x＋)      D.y＝sin(＋)

答案　B

解析　由T＝＝π知，ω＝2，D错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x＝时，函数值为最值，A错；由B的单调递增区间，可得

－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，即为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)，当k＝1时，[，π]∈[，]，故选B.

二、填空题

8.设x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋sin x的最大值是        .

答案　

解析　∵f(x)＝cos2x＋sin x

＝－sin2x＋sin x＋1

＝－2＋.

又∵x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，

∴当sin x＝时，f(x)的最大值是.

9.函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值等于        .

答案　

解析　由图知A＝2，ω＝，φ＝0，

∴f(x)＝2sinx，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0.

又f(x)的周期为8，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014).

＝f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝.

10.设函数f(x)＝sin(2x＋)，下列命题：①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点(，0)对称；③把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数.其中正确命题的序号为        .

答案　③

解析　f(x)＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；f(x)＝sin(2x＋)的图象的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)；f(x)的周期为T＝＝π，由(2x＋)∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，得f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)；把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到f(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos 2x的图象，为偶函数.故只有③正确.

11.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，则f(x)的单调递增区间是        .

答案　(k∈Z)

解析　由题意可知，当x＝时，f(x)取最值.∴f＝sin＝±1，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z).又f>f(π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.不妨取φ＝－，则f(x)＝sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，则＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

三、解答题

12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 ＋ ＝2，求tan α.

解　∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，

∴α是第二象限角，

∴ ＋ 

＝ ＋ 

＝＝＝2，

∴cos α＝－，则sin α＝，tan α＝－1.

13.已知f(x)＝3sin(2x＋)－1.

(1)f(x)的图象是由y＝sin x的图象如何变换而来？

(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值.

解　(1)将函数y＝sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y＝3sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)＝3sin(2x＋)－1的图象.

(2)最小正周期T＝π，由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，

得对称轴方程为x＝＋(k∈Z).

当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，

即x＝＋kπ(k∈Z)时，

f(x)取得最大值2.

四、探究与拓展

14.将函数f(x)＝2sin(ωx－)(ω>0)的图象向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图象.若y＝g(x)在[－，]上为增函数，则ω的最大值为        .

答案　2

15.已知函数f(x)＝cos，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

解　(1)因为f(x)＝cos，x∈R，

所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，

得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos ＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝.