概率论与数理统计习题解答

概率统计习题

习题一

一填空题

（1）设C B A ,,为三事件，试用C B A ,,的运算表示下列事件：C B A ,,

C B A ,,

中（2）设,,B A 为二事件，试用,,B A 的运算分别表示下列事件及其对立事件：,,B A 都

发生：,AB 其对立事件为

（2）设,,B A 为二事件，则

（4）设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知两件中有两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格

注：1A ：两件均不合格，2A ：一件合格，两件中有一件是不合格品即21A A ⋃；

两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格即1A ，故

5

16

466)())(())

((

16

1424

4221211211

=⋅+=

+

=

⋃⋃=

⋃=C C C C A A P A A A P A A A P P

（5）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，写出该试验的样本空间。{10，11，……}

（6）假设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ，若A 与B 互不相容，则3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P ，若A 与B 相互，则

5

.0)(),

(4.04.07,0)()()()()(=+-=⋅+-⋃=B P B P B P A P A P B A P B P

2甲乙丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶”；-B “乙中靶”；-C “丙中靶”则用上述三事件的运算非别表示下列事件

（1） 甲未中靶：A ； （2） 甲中靶而乙未中靶B A （3） 三人中只有丙未中靶：C AB

（4） 三人中恰好一人中靶：C B A C B A C B A ⋃⋃ （5） 三人中至少一人中靶 （6） 三人中至少一人未中靶

（7）

三人中恰好两人中靶：

（8） 三人中至少两人中靶AC BC AB ⋃⋃

（9） 三人中均未中靶：C B A （10） 三

人

中

至

多

一

人

中

靶

C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃

（11） 三人中至多两人中靶C B A ABC ⋃⋃= 3 20个运动队，任意分成甲乙两组（每组10队）进行比赛，已知其中有两个队是一级队，求这两个一级队： （1） 被分在不同组的概率，A ；（2）被分在同一组的

概率。B

526.0)(10

20

9

18

12≈=

C C C A P

474.02)(1020

818

22≈=

C C C B P

或：因,A B =故474

.0526.01)(1)(1)(=-≈-=-=A P B P B P

4 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率。 252.0350

245

15≈=

C C C P

5 在长度为a 得线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

,0,0a y a x 且a y x <+<0，又 4

12

22

,,=

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧--<---<--->+P a y a x a y x y x a x y y x a y x y

x a y x

6 在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于4

1

的概

率。

4

ln 4

14

1)4

1(4

ln 4

14

11)

ln 41(1

)411()41(14

114

1

+

=

<-

-

=-

=-

=

>

⎰xy P x x dx

x xy P 7 电路由电池组A 与两个并联的电池组C B 及串联而成，设电池组C B A ,,损坏的概率分别为2.0.2.0.3.0，求电路发生断电的概率是多少？（C B A ,,为相互工作的电池组）

设C B A ,,分别表示电池组C B A ,,损坏，电路发生断电可表示为BC A ⋃，故

328

.07.02.03.0)()()()()()()()()()()()()()(2

=⨯+=+=-+=-+=⋃A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P ABC P BC P A P BC A P

7 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为8.0，活到25年以上的概率为4.0，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？

5

.08

.04.0}20P{}2520{}

20/25{===岁以上活到岁以上岁以上，且活到活到去岁以上活到岁以上活到P P 8某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为

80％，40年内发生特大洪水的概率为85％，求已过去

了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。

:X 发生特大洪水的时刻。

25

.02

.005.0}

30{}

4030,30{}30

4030{==≥<<≥=

≥<10 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号“.”与“__”,由于通讯系统受到干扰,当发出信号“.”收 报台收报台未必收到信号“.”,而是分别以概率0.8与0.2收到信号“.”与“__”,, 当发出信号“__”时 ,收报台分别以概率0.9与0.1收到信号“__”与“.”,求收报台收到信号“.”, 发报台确实发出信号“.”的概率,以及收到信号“__”, 发报台确实发出信号“__”的概率.

:1A 发出信号“.” :2A 发出信号“__”

:1B 收到信号“.”; :2B 收到信号“__” 由题设:

1

.0)/(,4.0)(,

8.0)(,

6.0)(212111====A B P A P A B P A P 于是:

52

.01.04.08.06.0)

/()()/()()(2121111=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P A P

由贝叶斯公式有:903.0)

()

/()()/(111111==B P A B P A P B A P

又由:

9.0)/(,

2.0)(2212==A B P A B P 于是:

46

.09.04.02.06.0)

/()()/()()(2221212=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P

由贝叶斯公式有:75.0)

()

/()()/(222222==B P A B P A P B A P

11 设袋中有a 个黑球，b 个白球，现随机地从中取出一球，分别就（1）抽取后放回，（2）抽取后不放回，求出第

)1(b a k k +≤≤次取出的一个球是黑球的概率。

（1）b

a a P +=

（2）

b

a a k

b a b a b a k b a b a a k b a A k b a A k a P k

b a k b a +=

+-=-+++---+-+=

+--+=

+--+)

1()1)((]1)1()1[()1(()11(1

1

个

个球中取个个球中取（次取出黑球）

第

12 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占产量的25％，35％，40％，若每个车间成品中的次品率分别占产量的5％，4％，2％， （1）

全部产品中任意抽出一螺钉，试问它是次品的概率是多少？

（2）

全部产品中任意抽出恰好是次品 ，试问这个次品是甲车间生产的概率是多少

（1）321,,A A A 分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。:B 抽出的一个是次品

035

.0100

210040

100

410035

100

5

10025)

/()()(3

1

=++=

=∑=i i i A B P A P B P

（3） 由贝叶斯公式有:

362.0045

.0100

5

10025

)()/()()/(111≈==B P A B P A P B A P

13 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n 次才取出n k k ≤≤1(次红球的概率。

k

r n k n k k n k n C C )

10

1()109()101()109(10

111111-------=

14 灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。

记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好} X: 3个使用1000小时后坏了的只数。 则X ～)8.0,3(b

104

.02.01342.032.02

.08.02.08.0)1(3

3

3

2

1

33

3=⨯=⨯⨯+=⨯+⨯=≤C C X P 15

某人有两盒火柴，每盒中各有n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有r 根的概率。

r

n n r

n C --222

1

注：可看作r n -2重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为21

，取了第

二盒中一根火柴的概率也为21

，设所求事件为B ，则B

相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了n 根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了r n -根火柴，”的事件，故

r

n n r

n r n n n r n C C B P ----==2222

1)2

1()2

1()(

习题二

1 填空题

（1）设随机变量

X 的分布律为

2,1,0(!

}{===k k a

k X P k

λ

）则λ

-=e a

（2）设随机变量

X 的分布律为

2,1,0(}{==

=k N

a k X P ）则1=a

（3）一均匀骰子在重复掷10次后，X 表示点3出现的次数，则X 服从：参数为)6

1

,10(b 的二项分布，分布律

为102,1,0()6

5

()61(}{1010

===-k C k X P k k k ）

（4）设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=,

0,

10,2)(x x x f ，

Y 表示对X 的三次重复观察中事件⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

≤21X 出现的次

数，则

94

316

13

4

3)

4

1(}2{2

23=

⨯

===C Y P

（5）已知X ～),(2

σμN ,则σ

μ

-=

X Y ～)1,0(N

2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 {报童赔钱}={0.15X<100} 66615

10666

15

.0100<⇒=<

X X

3 设在15只同类型的零件中有两只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

3512}1{3

152

13

1

2=

=

=C C C X P

35

1}2{315

1

13

22=

=

=C C C X P

35

22}2{}1{1}0{=

=-=-==X P X P X P

4 进行重复试验，设每次试验成功的概率为P ，失

败的概率为P q -=1，

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。

（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。

（1）第X 次成功，前X-1次全失败。

,2,1)

1(])1([}{1

1

11=-=-==----k p p p

p p C k X P k k k k

（2）第Y 次成功，前Y-1次成功r-1次。

,1,)

1(}{1

11+=⋅-==----r r k p

p p C k Y P r

k r r k

5 设随机变量X 的分布函数⎪⎩

⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0

,0)(2

x x x X x F ，

试求（1）}2

1

{)3(},4

3

1{)2(}2

1

{>≤<-≤X P X P X P

43}21{1}2

1{)3(,16

9

)1()43

(}43

1{)2(4

1

)21(}21

{=

≤

-=>

=--=≤<-==≤

X P X P F F X P F X P

6 有一繁忙汽车站，每天有大量汽车通过，设每两汽车在一天的某时段内出事故的概率为0.0001，在某天该时

段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）

1.0=≈np λ

004

.01.01}1{}0{1}2{1

.01

.0≈--==-=-=≥--e

e

X P X P X P

7 …在t 时间间隔内收到紧急呼救的次数X 服从参数为

2

t 的泊松分布，……

（1）…中午12点至下午3时没有收到紧急呼救的概率。 （1）…中午12点至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。 （1）参数为

2

3)3(2

=

=t t 在3小时内收到k 次呼救的

概率为：220

.0}0{,2,1,0,

!

)23(}{23

2

3

≈=====--

e X P k k e k X P k

（1）参数为2

5)5(2

=

=t t

918.0,!

0)25(1}0{1}1{2

5

0≈-==-=≥-e

X P X P

8 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。

001.0=p ，（每个工作时内发生故障的概率）

X ：100作时内发生故障的次数，X ～)001.0,100(b

99984.0!

21.0!11.0!

0001

.0999

.0001

.0999

.0999.0}2{}1{}0{}2{1

.02

1.01

.01.02

98

210099

1

1001000

100≈++≈

⋅+⋅+==+=+==≤---=≈e e e

C C C X P X P X P X P np λ

8 设X ～],5,2[U 现对X 进行3次观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。 3

22

535}3{=--=

>X P

Y 表示对X 进行3次观察，观察值大于3的次数，则 Y ～)3

2

,3(b ，

27

2027

4)

3

2(31)32(}3{}2{}2{3

33223=

+

=

+==+==≥C C Y P Y P Y P 10 设随

机变量X ～⎪⎩⎪

⎨⎧

<-=,

0,1,1)(2x x c x f 求：（1）常数c,(2)X 的分

布函数)(x F ，（3）X 落在区间)2

1

,21(-的概率。

（1） 因

π

π1

c arctan 1)(11

1

11

2

=

==-==--∞+∞-⎰⎰故c x

c x

dx c dx x f

⎪

⎩⎪

⎨⎧

<-=,

0,1,11)(2

其他x x x f π （2） 当1X -<时,0)x (F = 当1X 1<<-时，

2

1arcsin 1arctan 1

1)(11

2

+

==

-=--⎰x x t

dt

x F x

x

ππ

π

当X 1≥时：

1arctan 101)(1111

1

2==+-=--⎰⎰x dt t

dt

x F x

π

π （3）

3

1]2

1)2

1arcsin(1

[

)212

1arcsin

1

(

)21()21()21

2

1{=

+

-

-+=--=<

<-π

π

F F X P

11 …服务时间X 服从指数分布，其概率密度为

⎪

⎩⎪⎨

⎧>=-其他

,00

,51)(5x e x f x

，某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，求Y 的分布律，并求}1{≥Y P . 等待1次离开的概率为：

⎰⎰∞+-∞+-

===>102

1055

1)(}10{e

d e dx x f X P x

Y ～),,5(2-e b

)

5,,1.0()1(}{5225 =-==---k e

e

C k Y P k

k

k 5167.0)1(1}0{1}1{5

2≈--==-=≥-e

Y P Y P

12 X ～)2,3(2

N （1）求

}

3{},2{},104{},52(>>≤<-≤（2）求,c 使得}{}{c X P c X P ≤=> （

1

）

5238.0)2

1()1()2

32(

)235(

}52{=-

-=---=≤<φφϕφX P

9396

.01)27

(2)27

()27

()

2

34(

)2310(

}104{=-=--=----=≤<-φφφϕφX P

6997.0)2

5(

)21(1}22{1}2{=---

-=≤<--=>ϕφX P X P

5.0)0(1}3{1}3{=-=≤-=>φX P X P

由}{}{c X P c X P ≤=>得

)23(

}232

3{}{2

1-=-<-=≤=c c X P c X P φ，

又3),0(2

1

==c 故φ

13

寿命X 服从σμ,60=的正态分布，若要求

80.0}200120{≥≤少？

）

（查

1.20.0)40

(

,80.01)40

(

2)

160

120(

)160

200(

}200120{φσ

φσ

φσ

φσ

φ≅≥⇒≥-=---=≤最大为31.25。 14 随机变量X 的分布律为：

求2

X Y =的分布律。

Y 的所有可能取值为0，1，4，9，有概率的可加性，有：

得2

X Y =的分布律为

15

设X ～x

e Y N =求)1(),1,0(的概率密度，（2）

求122

+=X Y 的概率密度，

+∞

=====

'==>='∞+∞-==∞

=∞

-∞

+∞

-},max{,

0},min{,

1)(,

ln )()(,0)()()1(e

e e

e

y y h y y h x x g e x g e x g Y x

x

βα有反函数，且有）上恒，在（故Y 的概率密度⎪

⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,

00

,21)(2)(ln 2

y y e y y f y Y π

(2)因0122

≥+=X Y ，则)1(,0)(≤=y y F y ，

当1>Y 时，

⎪

⎩⎪⎨⎧≤>-===-<

<--

=<+=----

---

-

⎰⎰

1,

0,

1,)

1(21)(212

21}

2

12

1{}12{)(410

2

1022

12

1

22

2

2

y y e y y f dx

e

dx e

y X y P y X

P y F y Y y x

y y x

y ππ

π

习题三

1.离散随机变量

Y

X 与相互同分布，

,2

1}1{}1{=

-==-=Y P X P .

2

1}1{}1{=

===Y P X P 求

}{Y X P =的概率.

.

2

1)(}

1,1{}1,1{}{=

==+-=-===已知Y X P Y X P Y X P .

即使两个离散随机变量Y X 与相互同分布, Y X 与一般不会以概率1相等.

（2）设二维随机变量),(Y X 的概率密度

⎪⎩⎪⎨

⎧≤≤=其他，

,0,

1,),(22y x y cx y x f ，则。421C = （3）X 和Y 是相互同分布的随机变量，且

,

21}1{}1{=

===Y P X P ;

21}2{}2{=

===Y P X P 求

Y X Z +=的概率分布.

,41}2{=

=+Y X P

}

2{}1{}3{====+Y P X P Y X P 2

1}1,2{=

==+Y X P ,

,41}4{=

=+Y X P

（2）由已知易得,2

1}22{==X P ;2

1}42{=

=X P

2.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X , Y 如下：

⎩⎨

⎧=,1,0若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品，X

⎩⎨

⎧=;1,0若第二次取出的是次品

若第二次取出的是正品，Y

试分别就（1）、（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律．并问随机变量X 和Y 是 否相互？

（1）放回时，

,365}1,0{,3625}0,0{======Y X P Y X P ,36

5}0,1{=

==Y X P ,36

1}1,1{=

==Y X P

（2）不放回抽样，

,6610}1,0{,66

45}0,0{=

=====Y X P Y X P

,66

1}1,1{,66

10}0,1{=

===

==Y X P Y X P 放回抽样时，两

次抽样相互；不放回抽样，不相互． 3

设

随

机

变

量

)

,(Y X 的联合密度

⎩⎨⎧<<<<--=其他，

,042,20),6(),(y x y x k y x f

试求（1）常数k ；（2）};3,1{<};5.1{)3(（1）因

8

1,18)26()2122

()6(2

02

04222042=

==-=-+-=--⎰⎰⎰⎰k k dx x k dx x y k dydx y x k

8

3)62

(8

1)6(8

1}3,1{)2(103

22

1032=

-+-

=

--=<<⎰⎰⎰dx x y

dydx

y x Y X P

32

27875.6)26(81)262

(81)6(8

1}5.1{)3(5.105

.10

4

2

2

5.1042==-=---

=

--=

<⎰⎰⎰⎰dx x dx x y

dydx

y x X P

3

2)26(81)6(81),(}4{)

4(42402

4

2404

240

=

--=--==<+⎰⎰⎰⎰⎰---dy yx x x dx y x dy dx

y x f dy Y X P y

y y

4.随机变量),(Y X 在矩形域d y c b x a ≤≤≤≤,上服从

均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X 及Y 是否？

解 按题意),(Y X 具有联合概率密度

⎪⎩

⎪

⎨⎧

≤≤≤≤--=.,0,,,)

)((1),(否则d y c b x a d c a b y x f ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=b x a x b x a a

b x f X ,0,1)(, ⎪⎩

⎪

⎨⎧><≤≤-=d y c y d y c d c y f Y ,0,1

)(,

X 及Y 是的.

事实上,若),(Y X 服从区域D 上的均匀分布，则只有当

D 为矩形区域：d y c b x a ≤≤≤≤,时，X 与Y 分别服从

],[],,[d c b a 上的均匀分布，且X 与Y ，反之亦然.

5 一仪器由二个部件构成，以X 和Y 分别表示二个部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数

⎪⎩⎪⎨

⎧≥≥+--=+---其他，

,00,0,1),()(5.05.05.0y x e e e

y x F y x y x （1）X 与Y 是否？

（2）两个部件的寿命都超过100小时的概率α （1）

X 和Y

的分布函数分别为

⎪⎩⎪⎨

⎧≥-=+∞=-其他，

,0,0,1),()(5.0x e

x F x F x X ⎪⎩⎪⎨

⎧≥-=+∞=-其他，

,0,0,1),()(5.0y e

y F y F y Y 由于)()(),(y F x F y x F Y X =，故。

1

.005

.005.0)]1.0(1)]{1.0(1[}1.0{}1.0{}

1.0,1.0{)

2(---==--=>>=>>=e

e

e

F F Y P X P Y X P Y X α

6 （1）求第二题中X 和Y 的边缘分布，（2）X 与Y 是否？

（1）由∑=====1

},{}{k k Y i X P i X P

∑=====1

},{}{k j Y k X P j Y P 知，放回与不放回的情形

都是： 放回，X 与Y ；不放

回，X 与Y 不；

7 随机变量)

,(Y X 的分布函数为

),(y x F =

)3arctan

)(2

arctan

(1

2

y C x B ++π

.

求：（1）),(Y X 的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X 及Y 是否？

解

由

分

布

函

数

的

性

质

有

),(-∞x F =0,0),(=-∞y F ),(+∞+∞F =1

从而对任意的y x ,；有

0)2

)(2

arctan

(1

2

=-

+π

π

C x B ，

,0)3

arctan

)(2

(12

=+-

y C B π

π

于是，有2

π

=B ，2

π

=

C

)

9)(4(6

),(2

22y x y x f ++=π

)

4(2

)(2

x x f X +=

π，)

9(3

)(2

y y f Y +=

π 。

8 设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为

),

(y x f =,,

00,10),

2(8.4⎩⎨

⎧<<<<-其它

x

y x x y

求边缘概率密度.

解 对任意10≤≤x ，

)2(4.2)2(8.4),()(2

0x x dy x y dy y x f x f x

x

X -=-==⎰⎰ 当0≤x 或1≥x 时00)(0==⎰dy x f x

X ,对任意

10≤≤y ，

⎰⎰+-=-==1

2

1

)

43(4.2)2(8.4),()(y

y

Y y y y dx x y dx

y x f y f ，

可知边缘概率密度为：

⎪⎩⎪⎨

⎧≤≤-=其它

,

01

0),

2(4.2)(2x x x x f X

.,

01

0),

43(4.2)(2⎪⎩⎪⎨

⎧≤≤+-=其它

y y y y y f y

9.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,

00

,)(t t te t f t ，设各周的需要量是相互的，试求两周

需要量的概率密度.

i X 表第i 周的需求量，各i X 相互。 设两周的需求量为21X X Z +=，则

1111

11)()(),()(2

1dx x z f x f dx x z x f z f X X Z -=-=⎰⎰∞+∞-∞

+∞

-

要⎩⎨⎧>>⇒=-1

111,

0,0)()(21x z x x z f x f X X

而

,

)()()()(11)

(111111

21z

x z x X X e

x z x e

x z e x x z f x f -----=-=-

故

)

0(,6

)3

2

(

)()(2

3

1211110>=-

=-=---⎰z e

z

e

x z

x dx e

x z x z f z

z

z

z

Z

故⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=-0,00

,!3)(3z z e z z f z Z

10.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从

)400,160(N 分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小

于180小时的概率.

设i X 为选取的第i 只电子管的寿命，则i X ～

)20,160(2

N .4,3,2,1=i

令},,,min{4321X X X X Y =则

=>}180{Y P [}180{1>X P ]4

，而

1587.0)1(1}180{1=-=>φX P 因此

000634.0}180{=>Y P

11.设随机变量Y X ,相互同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件}{a X A ≤=.},{a Y B >=且

,9

7)(=

B A P 求常数a

4

)

3)(1(12

32

12

32

1)()()()()(97--+

=---

-+

-=

-+=⋃=a a a a a a B P A P B P A P B A P

3

73

50)73)(53(,0353699

24

3

4,4

3

412

2

2

=

=

=--=+--

=+-⇒

+-+

=a or

a a a a a a a a a

习 题 四

1填空：

（1）．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且

},2{}1{===X P X P 求.2)(,2),(==X D X E

（2）设随机变量n X X X ,,,21 同分布，期望为a ，方差2

σ，令∑==

n

i i n X n X 1

1，则n

a

X D a X E n n 2

)(,

)(=

=

（3）设随机变量321,,X X X ，1X 在[0.6]上服从均匀分布，2X 服从)2,0(2

N ，3X 服从参数为3=λ的泊松分布，记32132X X X Y +-=，则

46

39443)(9)(4)()(321=⋅+⋅+=++=X D X D X D Y D

2 产品次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机的抽取10件产品进行检验，若发现其中的次品数多于1，就去调整设

备，以X 表示一天中调整设备的次数，求E(X),(设各产品是否次品是相互的)

设：Y: 取10件进行检验的次品数,

)1.0,10(b Y ≈

⎩⎨

⎧=否则

，

次品数大于次检验要调整设备，即第01,1i X i 则

,

4

1

∑==i i X X )}

0(0}1(1{44)()(4

1

=⋅+=⋅===∑=i i i

i i X P X P EX X E X E

而}1{)0(1)1(=-=-==Y P Y P X P i

∑=--=--=10

i 10109

.01.01}P{1}0{1i

i i C P 次品次品2638.073616.01)9.09

.0(19

10

≈-≈+-=

故0556.12636.04=⋅=EX

5．一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布，

概率密度为⎪

⎩⎪⎨⎧≤>=-

.0,

0,

0,41)(4x x e x f x 工厂规定，出售的设备若在

售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

:A 售出设备一年内调换，:Y 表示调换费用。则：

⎰

---==10414,14

1

)(e dx e A P x ∑-=-k

k k p y Y E )100()100(=

.33)1(20010041

41

=----e e （元）

6．设),(Y X 的分布律如下表:

（1）求)(),(Y E X E ，（2）设X

Y Z =

，求);(Z E （3）设

,)(2

Y X Z -=求).(Z E

（1）Y X ,的边缘分布见上表，故：

,24.032.024.01=⨯+⨯+⨯=EX

03.013.01=⨯+⨯-=EY

（2）

15

11.03

10

3

11.02

12.011-

=⨯+

+-+

-+

-=

=∑∑

i

j ij i

j

P X Y EZ

（3）5)(2==-=∑∑ i j

ij j i P y x EZ

7．随机变量X 服从几何分布，其分布律为

,,2,1,)

1(}{1

=-==-k p p k X P k 其中10

<

).(),(X D X E

)(X E =∑∞

=--=⋅1

1)1(k k p q p

kq

=)(32

+++q q

q p ='

⎪⎭⎫ ⎝⎛-q q p 1=.1

p

)(2

X

E =∑

∑∞

=∞

=-'=⋅1

1

1

2)(k k k

k kq p p q

k

=])11(

[])([1

''-=''∑∞

=q

q p q q p k k

='⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-2)1(q q p

2

421)1()1(2)1(p q

q q q q p +=--+-= 其中“′”表示对q 的形式导数.

2

)(p

q X D =

， .2)(,2)(==X D X E

11 设随机变量X

服从指数分布：⎪⎩⎪⎨

⎧≤>=-,0,

0,0,)(x x e x f x 当当λλ其中.0>λ求)()2(),2()1(2X e E X E -. 解 ⎰∞

+-=0

2)2(dx e

x X E x

220

00=+

-=-=⎰

⎰∞+-∞

+∞

+--dx e xe

xde

x

x x

3

1)(032===⎰

∞+-- dx e e

E x

X

12设随机变量X

服从瑞利分布，其概率密度为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=-.0,

0,0,)(2222x x e x x f x σσ其中,0>σ是常数.求).(),(X D X E

σ

π

π

σ

σ

σ

σ

σσσ

σ

σ

2

4

2)2(

2)(0)

2(

020

2020

22

22

22

222

22

2=

==+-=-==⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-

∞

+-∞

+-

∞+-

x d e

dx

e xe

xde

dx e x

X E x x

x

x

x

，

20222

2

0222020

22

022

22

32

22)2(2)(22

22

22

222

22

2σσσ

σ

σ

σσσσ

σ

σ

=-=--=+-=-==∞+-∞+-∞+-∞

+-∞+-

∞+-

⎰⎰⎰⎰x

x x

x

x

x

e x d e dx

e e x de

x dx e x

X E 2

)2

2(σ

π

-

=DX

13设n X X X ,,,21 同分布随机变量，期望为μ，方

差2

σ，令∑==

n

i i X n X 1

12

1

2

)(11

∑=--=

n

i i X X n S

，

（1）验证n

a

X D X E 2

)(,)(=

=μ

（2）验证2

1

2

211

∑=--=

n

i i X

n X

n S

（3）验证2

2

)(σ=S E （1）∑==⋅=

=

n

i i n n

X E n X E 1

1)(1)(μμ，

∑==

⋅=

=

n

i i n

n n

X D n X D 1

2

2

2

2

1)(1

)(σ

σ

∑∑==+--=--=

n

i i i n

i i X X X X n X X n S

1

22

2

1

2

)2(11

)

(11

)2( ∑=+--=

n

i i X

n X n X n 1

2

2

2[11

=

][1

12

1

2∑--=n

i i

X n X

n

（3）)]()([11

)(2

1

2

2

∑=--=

n

i i X nE X E n S E

])([)([{11

2

1

2∑=+-+-=

n

i i i X E X D n EX DX n

2

21

2

2

][

])([{11

σ

μσ

==+-+-=

∑=i n

i i i DX n

n EX DX n

习题五

3．对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸

弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗命中目标的概率.

第k 次轰炸命中目标的次数为)100,,2,1( =k X k ,则

k X 同分布,且69.1,2)(2

===σ

μk X E ,命中的总

次数∑==100

1

k k

X

X ,σ

μ

n n X k k -∑=100

1

(近似)～)1,0(N ,

}220180{≤≤X P 8759.0)13

20()13

20(

=-

Φ-Φ≈

4．设保险公司的老年人寿保险一年有１万人参加，每人每年交４０元，若老人死亡，公司付给家属２０００元，设老人年死亡率为０．０１７，试求保险公司在这次保险中亏本的概率． 设老人死亡数为,X 017.0,10000==p n ，公司亏本当且仅当 ,10000402000⨯>X 即200>X ，于是，

),(npq np N X ≈，

亏本的概率：

01017.0)321.2(1))

1(200(

1}200{≈Φ-=--Φ-≈>P np np X P ．

5．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ(未知），方差4002

=σ

.为了估计μ，随机地取n 只这种器件，在时刻

0=t 投入测试（设测试是相互的）直到失败，测得其寿

命为∑==

n

k k n X n X X X X 1

211,,,,以 作为μ的估计.为了使

,95.0}1{≥<-μX P 问n 至少为多少？

95.0}1

{,95.0}1{1

≥≤

⨯

-⇔≥<-∑=n

n

n n X P X P n

i i σ

σ

μ

μ

95

.0)()(

95.0}{

1

≥-

-⇔≥≤

-∑=σ

φσ

φσ

σ

μ

n

n

n

n n X P n

i i 1537

,.15362096

.1,96.120

1.96975.0)20

(

,95.1)(22

2

≥⇒=∙>>=≥⇒≥n n n n n

）

（查

φφσ

φ

习题六

1填空题

1 设总体X ～X X X N ,,,),,(2

σμ是来自总体X 的样本，则随机变量X ～)1(2

-n χ，

n

S

X μ

-～)1(-n t （2）在正态总体

)3,20(N 中抽取2个样本，样本均值分别为Y X ,，又样本容量分别为10，15，则

Y 。

0)(=-Y X E ，2

115

310

3)(=+=+=-Y D X D Y X D

（3）在正态总体),(2σμN 中抽取16个样本，2

,σμ均未知，2

S 为样本方差，则99.0}041.2{

2

2=≤σ

S

P

注：

99

.001.01}615.3015{

1}

041.21515(}041.2{

)

15(2

2

2

2

222

=-=

>-=⨯≤=≤χσ

σ

σ查S

P S

P S

P

2设n X X X ,,,21 是来自总体)(2

n χ的样本，求变量样本均值X 的数学期望与方差。

由于n X X X ,,,21 是来自总体)(2

n χ的样本，故

n X D n X E i i 2)(,)(==，

∑==⋅⋅=

=

n

i i n n n n

X E n X E 1

1)(1)(，

∑==⨯⋅=

=

n

i i n n n

X D n X D 1

2

2

221)(1

)(

5 X ～Y N ),,(2

1σμ～),,(2

2σμN 从2总体中抽样本，得下列数据：7.116,54,72

11===S X n ；

7.85,42,82

22===S Y n ，求}5.78.0{21<-<μμP

解：2总体方差相等，故2

1

2111)

(n n S Y X t w +

---=

μμ～ )2(21-+n n t ，其中：2

)1()1(212

2

22

11-+-+-=

n n S n S n S w ，

又124254=-=-Y X ，

518.08

19

111

2

1

≈+

=

+

n n

0.1013

7

.8577.1166≈⨯+⨯=

w S ，所以

}

5.78.0{21<-<μμP }

16.2{}869.0{}16.2869.0{}

10518.08.01211)(10

518.05

.7122121>->=<<=⨯-<+---⎩⎨⎧<⨯-=t P t P t P n n S Y X P w μμ

查表：16.2)13(,870.0)13(025.020.0==t t ，故

175.0025.020.0}5.78.0{21=-=<-<μμP

6总体X ～n X X X N ,,,),,(212

σμ是来自总体X 的样本，（1）求n X X X ,,,21 的联合概率密度。（2）求X 的概率密度。

（1）2

1

2

2)(21

σ

μσπ∑=--⎪⎭

⎫

⎝⎛n

i i x n

e （2）

2

2)

(2)(21n x e

n

σ

μσ

π--

∙

习题七

一 （1）设321,,X X X 是来自总体X 的样本，

3212

13

1ˆX aX X +

+=μ

为总体均值均值μ的无偏估计，则

.6

1=

a 。

（2）设总体X 的一个容量为2的样本为

,,21X X 2113

231ˆX X +

=μ

2122

121ˆX X +

=μ

总体均值均

值μ的无偏估计，则1ˆμ

和2ˆμ中2ˆμ较为有效。 （3）若由总体θθ)(,(x F 为未知参数）的样本观察值求得9.0)5.455.35(=<<θP ，则称)5.45,5.35(是θ的置信度为9.0的置信区间。

（4）设总体X 的均值μ未知，根据来自X 的容量为10的简单随机样本测得的样本均方差为,2022.6=s 则X 的方差2

σ

的置信度为0.95的置信区间为

)2243.128,2213.18(。

2 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以㎜计）：

,

002.74,0067.74,993.74,

000.74,001.74,003.74,005.74,001.74

试求总体均值均值μ及方差2σ的矩估计，

解：由P 令

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=+=====∑=n i i x n EX DX EX x EX 122

222211)(,μσμμμ 故001375.7481ˆ8

1

===∑=i i x x μ

6

28

1

212

106ˆ81ˆ-=⨯=-=

∑μ

σ

i x 3设n X X X ,,21是来自参数为λ的泊松分布总体X ～

)(λP 的一个样本，试求λ的极大似然估计和矩估计， 解：先求极大似然估计：

,1,0,

!

}{===-k e

k k X P k

λ

λ

,

!

)(1

λ

λ

λ-=∏

=e

x L i x n

i i

)!ln(ln )()(ln 1

1

∑∑==--=n

i i n

i i x n x L λλλ，

令

x n x d L d n

i i

=⇒=-⇒=∑=λ

λ

λ

ˆ0,0ln 1

再求矩估计：X ～λλ=⇒EX P )(，令x =λx =⇒λ

ˆ, 4设总体X 的概率分布为

其中)2

10(<<θθ是未知参数，利用总体的如下样本值

3，1，3，0，3，1，2，3。求θ的极大似然估计和矩估

计，

解：矩估计：令

θθθ

θθ43632)22(12

2

-=-++-⋅==EX X ，

又.4

1ˆ1443816

8

16=⇒=⇒-=⇒

=

θθθx 4

2

)]3([)2()]1([)0()(=⋅=⋅=⋅==X P X P X P X P L θ（抽样

时，0=X 出现一次，1=X 出现两次，2=X 出现一次，

3=X 出现四次，

4

2

6

4

2

2

2

)21()1(4)21()]1(2[θθθθθθθθ--=--=

)21ln(4)1ln(2ln ln θθθ-+-++=LnL )

(12

13724

52

14,031412,0628241210121868842)231(6)1(8)21(2)21)(1(621812

6

,0218

12

6ln 2

2

2

2

2

2

2

+±

=

+

=

=+-=+-⇒-=+--+-=+-⇒-+-=--⇒

-+

-=

⇒

=--

--

=she d L

d θθθ

θθθ

θθθθ

θθθθθθθθθθθθ

θ

θθθθθ

12

137ˆ-=

θ

5设n X X X ,,21是来自总体的一个样本，试求下列各

总体的密度函数或分布律中的未知参数的极大似然估

计和矩估计，

（1）⎩⎨⎧<<+=qita

x x x f ,0,

10,)1()(αα其中,1->α未知参数为α

矩估计：令

⎰--=⇒++=

+=

=1

0212ˆ,2

1)1(x

x dx x x EX X α

ααα

α

极大似然估计∏==+=+∏=n

i i n

i n

i x x L 1

1

)1(])1[()(α

α

ααα

∑=++=n

i i x n L 1

ln )1ln()(ln ααα，

令

1ln ˆ0ln 1ln 1

1

--=⇒=++=

∑∑==n i i

n

i i x n

x n

d L d α

αα

（2）⎩⎨⎧>=+-qita

x x x f ,0,

1,)()1(θθ其中,1>θ未知参数为θ

矩估计：令

⎰-=

⇒-=

-=

=

=∞+-+-10

1

1)

1(1

ˆ,1

1x x x

dx x

x EX X θθθθ

θθθ

θ

极大似然估计])()

1(1

+-=∏=θθθi

n

i x L

∑=+-=n

i i x n L 1

ln )1(ln )(ln θθθ，

令

∑==

=n

i i

x n

d L d 1

ln ˆ,0ln θθ

6设n X X X ,,21是来自总体X ～),(2σμN 的一个样本，试确定常数C ，使∑-=+-1

121)(n i i i X X C 为2σ的无偏估计。

解

;

∑∑-=++-=+-+=-11

12

2

111

2

1)]

()(2)()([])([n i i i i i n i i i X E X E X E X E c X X C E (n X X X ,,21同分布于X )

2

2

2

)1(2])()()[1(2σ-=--=n c EX X E n c )

1(21-=

⇒n c

7 设总体X 的分布律为θθθ

,,,2,1,1

)( ==

=k k X P 为未

知参数，今从该总体中抽取一随机样本n X X X ,,21，求θ

的矩估计。 令

1

2ˆ2

1

2

)

1(11

1

21

11-=⇒+=

+=

⋅

++⋅

+⋅===X EX X θθθθθθ

θθ

θ

μ

8设总体X ～),(2

σμN ，样本观察值：

56.7,02.9,88.6,20.8,54.6

求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间 （1）已知2.1=σ （2）未知σ

（1）2.1=σ由 页 ，μ的置信度为α-1的置信区间为,5,05.0,

2

==n Z n X ασ

α

025.0}{025.0=>Z Z P 查表

)

69.8,

59.6(96.1),96.1(975.0)(025.0025.0⇒=Φ==ΦZ Z （2）σ未知，由 页 ，μ的置信度为α-1的置信区间为,5,05.0),

1(2

==-n n t n

s X αα

查表)88.8,

40.6(,

77.2)4(025.0=t

9 随机地从A 批导线中抽取4根，又从B 批导线中抽取5根，测得电阻为：

A 批导线：0.143，0.142，0.143，0.137

B 批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140

设测定数据分别来自分布),(),,(2221σμσμN N ，且两样本相互，又21,μμ均为未知，试求21μμ-的置信度为0.95的置信区间

解：由题中条件有6

2110233.8,139.0,141.0-⨯===s y x

95

.01,

72,5,

4,10

26.521216

22=-=-+==⨯=-αn n n n s 6

212

222

11210571.62

)1()1(,025.02-⨯=-+-+-==n n s n s n s w α

36.2)7(,

671.011,

10

563.2025.02

1

3

==+

⨯=-t n n s w

由 页 式 ，21μμ-的置信度为α-1的置信区间为

)

006.0,002.0()

0041.0002.0(11)2(2

1

212

-⇔⇒+

⋅

-+- n n s n n t Y X w α

10 9发炮弹作试验，炮口速度的样本标准差

)(11s m s =……，求2

σ的置信度为0.95的置信区间

解：

22

)1(σ

s

n -～)1(2-n χ，故：

05.0,1})

1()1()

1()1({

22

12

2

2

2

2

=-=--≤

≤---

ααχ

σχα

αn s

n n s

n P

查表18.2)8(,

535.17)8(2

975.0025.02==χχ，所以

1

.2142.74442.5595

.0}18

.21218535

.171218{2

2

≤≤⇒≤≤=⨯≤

≤⨯σσσ

P

要条件为.0=ρ

9 设321,,X X X 是来自均值为λ的泊松分布总体的样本且

λ未知，设),(3

1,4

1424132123211X X X T X X X T ++=

+

+=

,4

15

1613213X X X T ++

=

都是λ的估计量，则321,,T T T 中

21,T T 是无偏的，且无偏估计量中较为有效的是2T

10设n X X X ,,,21 是来自总体X ～)1,(μN 的样本且μ未知，检验假设0:0=μH （备选假设0:1≠μH ）时应选用05级概率统计A （学时）试卷 一 填空题（4分×10题）

1掷一颗骰子，观察出现的点数，请写出该随机试验的样本空间}6,5,4,3,,2,1{=S 。

2设C B A ,,为三个事件，则C B A ,,都发生应表示为.ABC 3设B A ,为两事件，且7.0)(,6.0)(==B P A P ，则)(AB P 的最大值为.6.0

4 设,9.0)(,6.0)(=⋃=B A P A P 且A 与B 互不相容（互斥），则.3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P

5 已知随机变量X 服从二项分布，即X ～),2.0,20(B 则X

的分布律为)20,,2,1,0(8.02.0)(2020

===-k C k X P k

k k 6 已知随机变量X 在区间[1，3]上服从均匀分布，则X 的

概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=31,

0,

31,21)(orx x x x x f

7已知随机变量X ～)1,3(-N ，Y ～,2),

1,2(Y X Z N -=则

.72.23)(-=--=Z E

8 若),(Y X 服从二维正态分布，其联合概率密度为

}

)())((2)(exp{121

),(2

2

2

22

1212

1

2

12

21σμσσμμρσμρ

σπσ-+----⋅-=

y y x x y x f

则X 与Y 相互的从分必统计量,10X n n

X Z =

-=若

2

αZ Z >，则拒绝假设0:0=μH （设检验水平为)α

二 设甲袋中有3只正品2只次品，乙袋中有2只正品2只次品，先从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一只产品，求取到正品的概率。

:A 甲袋中取到正品，:B 乙袋中取到正品，

25

13

52525353)/()()/()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P

三 用X 表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是

⎩⎨⎧≤>-=-0,

00

,1)(4.0x x e x F x

（1）求},3{≤X P （2）求},3{=X P （3）求概率密度).(x f 解：0}3{)2(,1)3()1(2.1==-=-X P e F

（3）⎩⎨⎧≤>=-0,

00

,4.0)(4.0x x e x f x

四设X ～X Y N =求),1,0(的概率密度，

）当0>y 时，⎰--

=

<=y y

t

Y dt e y Y P y F 22

21}{)(π

⎪

⎩⎪⎨⎧<>=⇒=

--⎰0,

00,2)(222

02

2

2

y y e y f dt

e

y Y y t

ππ

五 在总体)3.6,52(2N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8至53.8之间的概率。

X ～),36

3.6,

52(2

N

}6

3

.68

.163.6506

3.62.1{}8.538.50{≤-≤-=≤≤X P X P

8293

.018729.095.01

)78

()712(}7126

3.65078

{=-+=-Φ+Φ=≤-≤-=X P 六设n X X X ,,21是来自参数为θ的指数分布的总体X X ,的

概率密度，⎩⎨⎧≤>=-0

,0,

0,)(x x e x f x θθ其中,0>θ未知参数为θ

，试求θ的极大似然估计和矩估计，

解：矩估计：令

∑⎰⎰⎰=∞+∞+-∞+-∞

+=-=

=⇒=

+

-=

=

=

=n i i

t

t

t

x

t x

x n X

dt e

te

dt te dx xe

EX X 1

1ˆ1

])

[(1

1θθ

θ

θ

θ

θθ极大似然估计])(1

1

∑=-=∏=n i i x n

i e

L θ

θθ，

∑=-=n

i i x n L 1

ln )(ln θθθ， 令

x x n x n

d L d n i i

n

i i 1ˆ,0ln 1

1===-=∑∑==θθθ

七 在钢线碳含量对于电阻的效应研究中得到以下数据：

求Y 关于x 的线性回归方程x b a y

ˆˆˆ+=，计算用到的中间数据

为

：

595

.2,6.21141)

(,44.14)

(71

2

2

7

1

2

7

1

===∑∑∑===i i i i i i x y x 4

.145,8.351

.552,61.85,2.31047171

71

71

7

171

2

===⋅==∑∑∑∑∑∑======i i i i i i i i i i i i i y x y x y x y

解：532.044.147

1595.2)

(1

2

1

1

2=⨯-

=-

=∑∑

==n

i i n i i

xx x n x S

03

.846.211417

12.3104)

(1

2

112=⨯-

=-

=∑∑

==n

i i n

i i

yy y n y S 6083.693.7861.85))((1

1

1

1

=-=-

=∑∑∑===n

i i n

i i n

i i i xy y x n y x S

x y

a

S S b

xx

xy

5503.129584.13ˆ9584

.136.128.37

14.1457

1ˆ,5503.12ˆ+==⨯⨯-

⨯===

05级概率统计B （48学时）试卷 一 填空题（4分×10题）

1掷一颗骰子，观察出现的点数，请写出该随机试验的样本空间}6,5,4,3,,2,1{=S 。

2设C B A ,,为三个事件，则C B A ,,都发生应表示为.ABC 3设B A ,为两事件，且7.0)(,6.0)(==B P A P ，则)(AB P 的最大值为.6.0

4 两人的去破译一密码，已知各人能译出的概率为,

21

则两人中至少有一人能破译密码的概率为.4

3，

5 设,9.0)(,6.0)(=⋃=B A P A P 且A 与B 互不相容（互斥），则.3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P

6 已知随机变量X 服从二项分布，即X ～),2.0,20(B 则X

的分布律为)20,,2,1,0(8

.02.0)(2020 ===-k C k X P k

k k 7 已知随机变量X 在区间[1，3]上服从均匀分布，则X 的

概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=31,

0,

31,21)(orx x x x x f

8已知随机变量X ～)1,3(-N ，Y ～,2),

1,2(Y X Z N -=则

.72.23)(-=--=Z E

9 设321,,X X X 是来自均值为λ的泊松分布总体的样本且

λ未知，设),(3

1,4

1424132123211X X X T X X X T ++=

+

+=

,4

15

1613213X X X T +

+

=

都是λ的估计量，则321,,T T T 中

21,T T 是无偏的，且无偏估计量中较为有效的是2T

10设n X X X ,,,21 是来自总体X ～),(2σμN 的样本且2

σ已知，μ未知，则μ 的置信度为α-1的置信区间为

),(2

2

αασ

σ

Z n

X Z n

X +

-

二 设甲袋中有3只正品2只次品，乙袋中有2只正品2只次品，先从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一只产品，求取到正品的概率。

:A 甲袋中取到正品，:B 乙袋中取到正品，

25

13

52525353)/()()/()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P

三 用X 表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是

⎩⎨⎧≤>-=-0,

00

,1)(4.0x x e x F x

（1）求},3{≤X P （2）求},3{=X P （3）求概率密度).(x f 解：0}3{)2(,1)3()1(2.1==-=-X P e F

（3）⎩⎨⎧≤>=-0,

00

,4.0)(4.0x x e x f x

四设X ～X Y N =求),1,0(的概率密度， ）当0>y 时，⎰--

=

<=y

y

t

Y dt e y Y P y F 22

21}{)(π

⎪

⎩⎪⎨⎧<>=⇒=

--⎰0,

00,2)(222

02

2

2

y y e y f dt

e

y Y y t

ππ

五已知二维随机变量),(Y X 的联合分布律为，其中a 为知

（1）求a ，（2）求),(Y X 的边缘分布律，（3）判断),(Y X 的性，（4）求)(Y X E +

)1()0(1.0}1,0{-=⋅=≠=-==Y P X P Y X P ，不 1

.1)()()(2

.06.04.0,9.06.03.0=+=+=+-==+=Y E X E Y X E EY EX

六 在总体)3.6,52(2N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8至53.8之间的概率。

X ～),36

3.6,

52(2

N

}6

3

.68

.163.6506

3.62.1{}8.538.50{≤-≤-=≤≤X P X P

8293

.018729.095.01

)78

()712(}7126

3.65078

{=-+=-Φ+Φ=≤-≤-=X P 七设n X X X ,,21是来自参数为θ的指数分布的总体X X ,的

概率密度，⎩⎨⎧≤>=-0

,0,

0,)(x x e x f x θθ其中,0>θ未知参数为θ

，试求θ的极大似然估计和矩估计，

解：矩估计：令

∑⎰⎰⎰=∞+∞+-∞+-∞

+=-=

=⇒=

+

-=

=

=

=n i i

t

t

t

x

t x

x n X

dt e

te

dt te dx xe

EX X 1

1ˆ1

])

[(1

1θθ

θ

θ

θ

θθ

极大似然估计])(1

1

∑=-=∏=n i i x n

i e

L θ

θθ，

∑=-=n

i i x n L 1

ln )(ln θθθ， 令

x x n x n

d L d n i i

n

i i 1ˆ,0ln 1

1===-=∑∑==θθθ

06级概率统计A （学时）试卷 一 填空题（4分×10题）

1。设A 表示“甲种产品畅销”B 表示“乙甲种产品滞销”，则“甲种产品畅销或乙甲种产品滞销”用B A ,表示为.B A ⋃ 2已知，且7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ，且B A ,相互，则

5

.0)()(4.04.07.0)()()()()(=⇒+-=⋅+-⋃=B P B P B P A P A P B A P B P 的最大值为.6.0

3 袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回的抽取两次，则第二次取到新球的概率为5

3

4 设离散型随机变量X

的分布律为

),,2,1()( ===k b k X P k

λ且,0>b 则.11b

+=

λ

5 已知随机变量ξ在（0，5）上服从均匀分布，则方程：

02442

=+++ξξx x 有实根的概率为.5

3}2{=

>ξP