第七章相似法,因次分析,模型建立

第七章 相似法，因次分析，模型建立

流力的問題是有許多可以靠解方程式，求取解析解。但是也有更多的問題是要仰賴實驗提供數據來完成問題的真正解決。本章便是要介紹這方面的一些方法及觀念，對實驗的設計規劃以及結果的整理及應用，將有實質的幫助。

相似法(similitude)的觀念就是要在一個系統(實驗室裡)上的測量，可以用來描述另外一個相似的系統(實驗室外)的行為表現。模型便是指實驗室裡的系統，用來觀察某些控制條件下的重要現象，（實驗室外的則稱為原型）。經由因次分析，建立出兩個系統的關聯性。而由模型的研究中，研發出預測原型某些物理量的方法（如經驗公式）。

7.1

通常一個流力的問題跟許多因數有關，為了觀察這些因數的影響，實驗上可能十分耗時與不經濟。利用因次分析，可以整合這些許多的因數。例如，決定管路中每一固定長的壓降，有影響的因數如管徑、流體密度、流體粘滯度、流體平均速度等，

於是我們可能有四張圖來表示壓降與這四個變數的關係。但是經由因次分析，我們可以的到兩個無因次參數，一樣來表示上式的關係，這樣就簡單清楚多了。

而實驗室裡的模型便可以選擇適當的尺寸或不同的流體，選擇的依據就是上面的式子。

7.2

白金漢Pi定理說一個方程式內如有k個變數，它的關係就能整合成k - r個無因次的參數來表示，r是這些變數內所使用到的因次數。通常以?來表示無因次參數。最常見的基本因次是質量(M，或是力量F)、長度(L)、時間(T)。

7.3

決定Pi項的方法有很多。首先看的是重覆變數法(repeating variables)。幾個重要的程序是，

1. 決定一個問題的有關變數(k個)

2. 這些變數的基本因次是哪些，有幾個(r個)

3. 從所有變數中，選擇r個所謂的重覆變數

4. 剩下的k - r個變數裡，逐一跟重覆變數以不同的次方相乘結合成共k - r個Pi項

5. 決定各變數的次方，使每一個Pi項成為無因次

重覆變數的選擇要以較平常的變數為優先，因為它會重覆出現在Pi項裡面。假如某一變數是受其他變數的影響的，那麼則要避免選擇該變數做重覆變數。

此時，原先變數之間的關係，

改變成Pi項之間的關係，

7.4

提醒注意一下，Pi項是無因次的，所以任意兩個Pi項的次方乘積也都是一個Pi項，但是總數只有k - r個。

7.5

7.6

流體力學裡常見的無因次參數列如下表，這些無因次參數通常也代表著一些作用力的相對大小。

名稱

型式

物理意義

註

雷諾數，Re

Reynolds number

慣性力/粘滯力

最重要的流力無因次參數

福洛得數，

Fr

Froude number

慣性力/重力

出現於有自由表面時

歐拉數，Eu

Euler number

壓力/慣性力

出現於當壓力或壓力降很重要時

馬赫數，Ma

Mach number

慣性力/壓縮力

出現於流體壓縮性很重要時

偉柏數，We

Weber number

慣性力/表面張力

出現於流體表面張力很重要時

例如看雷諾數，慣性力是指流體在其運動方向上的力，是質量與流線上加速度的乘積，。粘滯切應力是粘滯度乘以速度梯度，所以慣性力與粘滯力的比值等於

這就是雷諾數，是最常見的無因次數，也是層流與紊流的判斷基準。

慣性力與重力的比值，

開根號就是福洛得數。

壓力係數是壓力與動態壓力(dynamic pressure)之比，所以它的一半就是歐拉數。

7.7

依據得到的Pi項，便能有效的整理實驗數據，並簡潔的表現出來。

7.8

一個模型的建立如何可以正確來預測原型的表現？當我們用因次分析寫下，

我們只需要了解物理現象的一般性本質以及相關的變數就夠了。變數本身的值，例如長多少，有多重，或是粘滯度的大小，在因次分析中，都不需要知道。

上式適用於任何由相同變數控制的系統，所以對一個原型建立的模型也會有，

當兩者的物理現象相同時，函數?的形式也就會相同。因此，當，等等（稱為模型設計條件），最後（預測方程式）也要成立。模型測量得到的便能用來預測某一構成此Pi項的原型變數。

模型大小有各種比例，有的是長度比例，有的是速度比例，密度比例，粘滯度比例等等。

在各種比例條件下的，常會發生模型設計條件的Pi項無法全部滿足，此時便有所謂的扭曲模型，可能需要犧牲重要性比較低的效應。例如在一個選定長度比例下的模型，如果為了在其中兩個含速度的Pi項要有相同的速度比例，你可能會找不到滿足設計條件的粘滯度比例（或流體的其他物理性質）的流體。

這時候，相似法分析中便要借重其他的理論分析或已知的條件來補充。例如船舶前進的阻力有來自船體表面的摩擦切應力阻力，以及船體形狀的壓力差阻力兩種。模型（滿足福洛得數相同）中可以量得總阻力，再減掉借重其他分析找出切應力的阻力，便得到壓力阻力。以此結果去預測原型的壓力阻力，最後再將由前面所提的其他分析得到的原型摩擦切應力阻力加回去，便是原型總阻力。

7.9

看一些典型的模型研習，包括內部流動、外部流動、自由表面流動。

7.10

我們由因次分析得到相似定律。只要了解一個物理現象的相關變數即可。過程簡單，但是假如有重要變數沒有考慮進來的話，便會有不正確的結果。因此，一種替代的方法，是利用已知的統制微分方程

式來求相似法定律，而不必求出該方程式的解。

例如看一不可壓縮，二維，牛頓流體，穩定狀態下的情形，重力在負y方向，

加上適當的邊界條件。要找出相似條件需求，便要先將這些方程式無因次化。我們要先找出題目的一些特徵量，一些有關該物理題目的一些具代表性的物理量，例如圓形管流動的平均速度，直徑，或是外部流動的均勻流速，某一點壓力等等。特徵速度用V表示，特徵尺寸用L表示，壓力用po表示。定義如下的無因次變數，

，，

代入連續方程式及納維爾-斯托克方程式，注意因為，

，

所以，

也包括無因次化的邊界條件。我們看到方括弧內的參數群就是我們曾提到的歐拉數，雷諾數，以及福洛得數。因此，在由相同物理現象構成的模型及原型的方程式中，當這些無因次參數在模型與原型也相同時，方程式便會有相同的一般解，此時我們稱為動態相似。當我們代入無因次邊界條件時（稱為幾何相似），兩個系統便得到完全一致的方程式解。

幾何相似的意思就是模型與原型外表形狀相同，每一個長度都有一樣的長度比例。而動態相似則是各種作用力的比例也要模型與原型一致，那麼它所代表的其實就是流線形狀的相似。

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