2000年全国初中数学竞赛试题及参

　　一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

　 1．设ａ、ｂ、ｃ的平均数为Ｍ，ａ、ｂ的平均数为Ｎ，Ｎ、ｃ的平均数为Ｐ．若ａ＞ｂ＞ｃ，则Ｍ与Ｐ的大小关系是（）．

  Ａ．Ｍ＝Ｐ

　 Ｂ．Ｍ＞Ｐ

　 Ｃ．Ｍ＜Ｐ

　 Ｄ．不确定

　 2．某人骑车沿直线旅行，先前进了ａ千米，休息了一段时间，又原路返回ｂ千米（ｂ＜ａ），再前进ｃ千米，则此人离起点的距离ｓ与时间ｔ的关系示意图（图1）是（）．

图1

　 3．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁．那么（）．

　 Ａ．甲比乙大5岁

　 Ｂ．甲比乙大10岁

  Ｃ．乙比甲大10岁

　 Ｄ．乙比甲大5岁

　 4．一个一次函数的图象与直线ｙ＝54ｘ＋954平行，与ｘ轴、ｙ轴的交点分别为Ａ、Ｂ，并且过点（－1，－25），则在线段ＡＢ上（包括端点Ａ、Ｂ），横、纵坐标都是整数的点有（）．

  Ａ．4个

　 Ｂ．5个

　　Ｃ．6个

　 Ｄ．7个

　 5．设ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ的三边的长，且，则它的内角∠Ａ、∠Ｂ的关系是（）．

  Ａ．∠Ｂ＞2∠Ａ

　 Ｂ．∠Ｂ＝2∠Ａ

  Ｃ．∠Ｂ＜2∠Ａ

　 Ｄ．不确定

　 6．已知△ＡＢＣ的三边长分别为ａ、ｂ、ｃ，面积为Ｓ；△Ａ′Ｂ′Ｃ′的三边长分别为ａ′、ｂ′、ｃ′，面积为Ｓ′，且ａ＞ａ′，ｂ＞ｂ′，ｃ＞ｃ′，则Ｓ与Ｓ′的大小关系一定是（）．  Ａ．Ｓ＞Ｓ′

　 Ｂ．Ｓ＜Ｓ′

　 Ｃ．Ｓ＝Ｓ′

　 Ｄ．不确定

　 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

　 7．已知ａ＝，那么3／ａ＋3／ａ2＋1／ａ3＝____．

图2

 　8．如图2，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝8，ＢＣ＝6，∠ＢＣＤ＝45°，∠ＢＡＤ＝120°，则梯形ＡＢＣＤ的面积等于____．

　　 9．已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ2＋2ｘ－ａ－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有____个．

图3

　 10．如图3，工地上竖立着两根电线杆ＡＢ、ＣＤ，它们相距15ｍ，分别自两杆上高出地面4ｍ、6ｍ的Ａ、Ｃ处，向两侧地面上的Ｅ、Ｄ，Ｂ、Ｆ点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳ＡＤ与ＢＣ的交点Ｐ离地面的高度为____ｍ．

图4

　  11．如图4，在直角坐标系中，矩形ＯＡＢＣ的顶点Ｂ的坐标为（15，6），直线ｙ＝1／3ｘ＋ｂ恰好将矩形ＯＡＢＣ分成面积相等的两部分，那么ｂ＝____．

　 12．某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是____．

　 （注：利润率＝×100%）

　 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

　 13．设ｍ是不小于－1的实数，使得关于ｘ的方程ｘ2＋2（ｍ－2）ｘ＋ｍ2－3ｍ＋3＝0有两个不相等的实数根ｘ1，ｘ2．

　 （1）若ｘ12＋ｘ22＝6，求ｍ的值；

　 （2）求的最大值．

图5

　 14．如图5，已知四边形ＡＢＣＤ的外接圆⊙Ｏ的半径为2，对角线ＡＣ与ＢＤ的交点为Ｅ，ＡＥ＝ＥＣ，ＡＢ＝ＡＥ ，且ＢＤ＝2．求四边形ＡＢＣＤ的面积．

　 15．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼） 参

参

　   一、选择题

　 ∴Ｍ＞Ｐ．

　 2．因为图Ａ没有反映休息所消耗的时间，图Ｄ没有反映沿原路返回的一段路程，图Ｂ尽管表明了折返后ｓ的变化，但没有表示消耗的时间，所以上述三图均有误，故选Ｃ．

　 3．设甲现在ｘ岁，乙现在ｙ岁，显然ｘ＞ｙ，依题设，有

　 ｙ－（ｘ－ｙ）＝10，　　①

　 ｘ＋（ｘ－ｙ）＝25，　　②

　 ②－①，得ｘ－ｙ＝5．

　 故选Ａ．

　 4．设ｙ＝5ｘ／4＋ｂ，由－25＝5／4×（－1）＋ｂ，得ｂ＝－95／4，∴　ｙ＝5ｘ／4－95／4．∴　有Ａ（19，0），Ｂ（0，－95／4）．

　 由ｙ＝5（ｘ－19）／4，0≤ｘ≤19，取ｘ＝3，7，11，15，19时，ｙ是整数．

　 因此，在线段ＡＢ上（包括端点Ａ、Ｂ），横、纵坐标都是整数的点有5个．选Ｂ．

图6

　 5．由条件，得ａ2＋ａｂ＋ａｃ＝ａｂ＋ｂ2，即

　 ｂ2＝ａ（ａ＋ｃ），

　 ∴ｂ／ａ＝（ａ＋ｃ）／ｂ．

　 如图6，延长ＣＢ至Ｄ，使ＢＤ＝ＡＢ，于是ＣＤ＝ａ＋ｃ．

　 在△ＡＢＣ与△ＤＡＣ中，∠Ｃ为公共角，且ＡＣ／ＢＣ＝ＤＣ／ＡＣ，

　 ∴△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠Ｄ．

　 ∵∠ＢＡＤ＝∠Ｄ，

　 故∠ＡＢＣ＝∠Ｄ＋∠ＢＡＤ＝2∠Ｄ＝2∠ＢＡＣ． 选Ｂ．

　 6．构造△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′如下：

　 （1）作△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，显然Ｓ／Ｓ′＝（ａ／ａ′）2＞1，即Ｓ＞Ｓ′．

　 （2）设ａ＝ｂ＝，ｃ＝20，则ｈｃ＝1，Ｓ＝10， ａ′＝ｂ′ ＝ｃ′＝10，则Ｓ′＝／4×100＞10，即有Ｓ＜Ｓ′．

　 （3）设ａ＝ｂ＝，ｃ＝20，则ｈｃ＝1，Ｓ＝10，ａ′＝ｂ′＝，ｃ′＝10，则ｈｃ′＝2，Ｓ′＝10，即有Ｓ＝Ｓ′．

　 因此，Ｓ与Ｓ′的大小关系不确定．选Ｄ．

　 二、填空题

　 7．因为（－1）ａ＝2－1，即1／ａ＝－1，

　 所以3／ａ＋3／ａ2＋1／ａ3＝［3＋3／ａ＋1／ａ2］／ａ

　 8．作ＡＥ、ＢＦ垂直于ＤＣ，垂足分别为Ｅ、Ｆ．

　 由ＢＣ＝6，∠ＢＣＤ＝45°，得ＡＥ＝ＢＦ＝ＦＣ＝6．由∠ＢＡＤ＝120°，得∠ＤＡＥ＝30°．因ＡＥ＝6，得ＤＥ＝2．

　 ＡＢ＝ＥＦ＝8，ＤＣ＝2＋8＋6＝14＋2．

　 所以Ｓ梯形ＡＢＣＤ＝（8＋14＋2）／2×6＝66＋6．

　 9．（1）当ａ＝1时，ｘ＝1．

　 （2）当ａ≠1时，易知ｘ＝1是方程的一个整数根，再由1＋ｘ＝且ｘ是整数，知1－ａ＝±1，±2．

　 所以ａ＝－1，0，2，3．

　  由（1）、（2）得符合条件的整数ａ有5个．

　 10．作ＰＱ⊥ＢＤ，垂足为Ｑ，设ＢＱ＝ｘｍ，ＰＱ＝ｙｍ．由ＡＢ∥ＰＱ∥ＣＤ，得

　　ｙ／6＝ｘ／15，　　①

　 　　②

　 ①＋②得5ｙ／12＝1，所以ｙ＝12／5＝2.4，即点Ｐ离地面的高度为2.4ｍ．

　 11．设矩形ＯＡＢＣ的对角线的交点为Ｐ，则Ｐ是它的对称中心，Ｐ点的坐标为（7.5，3）．过矩形对称中心的直线，总是将矩形分成面积相等的两部分．将Ｐ点的坐标代入ｙ＝ｘ／3＋ｂ，得ｂ＝1／2（或0.5）．

　 12．设原进价为ｘ元，销售价为ｙ元．那么按原进价销售的利润率为×100%，原进价降低后在销售时的利润率为×100%，根据题意，得×100%＋8%＝×100%，

　 解得ｙ＝1.17ｘ．

　 故这种商品原来的利润率为×100%＝17%．

　 三、解答题

　 13．因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝4·（ｍ－2）2－4（ｍ2－3ｍ＋3）＝－4ｍ＋4＞0，

　 解得ｍ＜1．

　 结合题设知－1≤ｍ＜1．

　 （1）因为ｘ12＋ｘ22＝（ｘ1＋ｘ2）2－2ｘ1ｘ2＝4（ｍ－2）2－2（ｍ2－3ｍ＋3）＝2ｍ2－10ｍ＋10，

　 所以2ｍ2－10ｍ＋10＝6，

　 解方程，并考虑－1≤ｍ＜1，故ｍ＝．

　 （2）

＝2（ｍ2－3ｍ＋1）．

　 设ｙ＝2（ｍ2－3ｍ＋1）＝2（ｍ－3／2）2－5／2，－1≤ｍ＜1．因为ｙ在－1≤ｍ＜1上是递减的，所以当ｍ＝－1时，ｙ的最大值为10．

　 故的最大值为10．

　 14．由题设得ＡＢ2＝2ＡＥ2＝ＡＥ·ＡＣ，

　 ∴ＡＢ／ＡＣ＝ＡＥ／ＡＢ．

　 又∠ＥＡＢ＝∠ＢＡＣ，

　 ∴△ＡＢＥ∽△ＡＣＢ，

　 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＢ，

 　ＡＢ＝ＡＤ．

　 连结ＡＯ，交ＢＤ于Ｈ，则ＢＨ＝ＨＤ＝，所以

　 ＯＨ＝＝1，

　 ＡＨ＝ＯＡ－ＯＨ＝1，

　 ∴Ｓ△ＡＢＤ＝12ＢＤ·ＡＨ＝．

　 因为Ｅ是ＡＣ的中点，所以Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＢＣＥ，Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ△ＣＤＥ，

　 ∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＢＣＤ．

　 ∴Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝2Ｓ△ＡＢＤ＝2．

　 15．易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人．对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住ｓ层的人乘电梯，而住ｔ层的人直接上楼，ｓ＜ｔ．交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少．

　 设电梯停在第ｘ层，在第一层有ｙ个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为

　 ｓ＝3［1＋2＋…＋（33－ｘ）］＋3（1＋2＋…＋ｙ）＋［1＋2＋…＋（ｘ－ｙ－2）］

　　≥316．

　 又当ｘ＝27，ｙ＝6时，ｓ＝316．

　 故当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分．