...科新版七年级数学下7.2探索平行线的性质最新试题同步练习课时作业含...

一．选择题（共15小题）

1．（2021春•澧县期末）如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（　　）

A．∠F＝100° B．∠C＝140° C．∠A＝130° D．∠D＝60°

2．（2021春•南京期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝65°，则∠2的度数是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°

3．（2021•庐阳区校级模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°

4．（2021春•醴陵市期末）如图，下列结论不正确的是（　　）

A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠B

C．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180° D．若∠1＝∠2，则AD∥BC

5．（2021秋•东西湖区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠EFB+∠HGC＝116°，则∠IPK的度数为（　　）

A．129° B．128° C．127° D．126°

6．（2021春•盐城期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（　　）

A．30° B．60° C．50° D．40°

7．（2021春•高新区月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠D＝35°，则∠E的度数为（　　）

A．75° B．35° C．110° D．40°

8．（2021春•金乡县期末）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE；其中正确的是（　　）

A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④

9．（2021春•莱阳市期末）如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（　　）

A．134° B．124° C．114° D．104°

10．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（　　）

A．45° B．36° C．72° D．18°

11．（2021•金坛区模拟）如图，已知a∥b，m∥n，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°

12．（2021•常州一模）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝44°时，∠1的大小为（　　）

A．56° B．46° C．36° D．34°

13．（2021•阜宁县二模）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．40° D．30°

14．（2021•焦作模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）

A．60° B．65° C．72° D．75°

15．（2021•建湖县二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE＝γ，则（　　）

A．β＜α＜γ B．β＜γ＜α C．α＜γ＜β D．α＜β＜γ

二．填空题（共18小题）

16．（2020秋•滨海县期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝°，则∠DEF＝　   　°．

17．（2021•射阳县二模）将一副直角三角板如图摆放，点D落在AC边上，BC∥DF，则∠1＝　   　°．

18．（2021•阜宁县模拟）如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝130°，则∠1＝　   　．

19．（2021•姑苏区校级二模）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝　   　．

20．（2021•常州二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝°，则∠EGD的大小是　   　．

21．（2021春•江宁区月考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，则∠A的度数为　   　．

22．（2021春•常熟市期中）如图，直线a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是　   　°．

23．（2021春•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝　   　°．

24．（2021•姑苏区校级一模）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝　   　°．

25．（2021春•嘉兴期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝47°，则∠BGP＝　   　．

26．（2021春•无锡期末）已知AB∥CD，P是平面内一点，作PE⊥AB，垂足为E，F为CD上一点，且∠PFD＝130°，则∠EPF的度数是 　   　．

27．（2021春•东台市月考）平面内∠A和∠B的两边互相平行，且∠A＝40°，则∠B＝　   　．

28．（2021春•金坛区期末）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为 　   　．

29．（2021春•玄武区校级期中）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．现有下列五个式子：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β，在这五个式子中，可以表示成∠AEC的度数的是　   　．（请填序号）

30．（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝　   　°．

31．（2021春•天宁区校级月考）“浏阳河弯过九进有，五十里水路到湘江．”如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝6∠CDE，∠BCD＝4∠CDE，则∠CDE＝　   　．

32．（2021秋•吴江区月考）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝　   　．

33．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　   　秒时，射线AM与射线BQ互相平行．

三．解答题（共6小题）

34．（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明

如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．

求证：∠F＝90°．

证明：∵AG∥CD（已知）

∴∠ABC＝∠BCD（ 　   　）

∵∠ABE＝∠FCB（已知）

∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB

即∠EBC＝∠FCD

∵CF平分∠BCD（已知）

∴∠BCF＝∠FCD（ 　   　）

∴　   　＝∠BCF（等量代换）

∴BE∥CF（ 　   　）

∴　   　＝∠F（ 　   　）

∵BE⊥AF（已知）

∴　   　＝90°（ 　   　）

∴∠F＝90°．

35．（2020秋•米易县期末）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学．王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．请你用所学知识证明：AD∥BC．

36．（2021秋•农安县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．

（1）求证：AD∥BC；

（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．

37．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．

（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；

（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　   　．

（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．

38．（2020秋•石狮市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．

（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；

以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：

解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．

∵AB∥CD（已知），

∴PE∥CD（ 　   　），

∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ 　   　），

∴∠BAE+∠DCE＝　   　+　   　（等式的性质）．

即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 　   　．

（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．

①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；

②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．

39．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；

（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；

（2）线段PH的长度是点P到　   　的距离，　   　是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是　   　（用“＜”号连接）

2022年7.2探索平行线的性质

参与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．（2021春•澧县期末）如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（　　）

A．∠F＝100° B．∠C＝140° C．∠A＝130° D．∠D＝60°

【解答】解：∵BE∥CD，

∴∠2+∠C＝180°，∠3+∠D＝180°，

∵∠2＝50°，∠3＝120°，

∴∠C＝130°，∠D＝60°，

∵AF∥BE，∠1＝40°，

∴∠A＝180°﹣∠1＝140°，

∠F的值无法确定．

故选：D．

2．（2021春•南京期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝65°，则∠2的度数是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°

【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，

∴∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，

∵BC平分∠ABD，

∴∠ABD＝2∠ABC＝130°，

∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，

∴∠2＝∠BDC＝50°．

故选：D．

3．（2021•庐阳区校级模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°

【解答】解：∵∠3＝60°，∠1＝55°，

∴∠1+∠3＝115°，

∵AD∥BC，

∴∠1+∠3+∠2＝180°，

∴∠2＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣115°＝65°．

故选：A．

4．（2021春•醴陵市期末）如图，下列结论不正确的是（　　）

A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠B

C．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180° D．若∠1＝∠2，则AD∥BC

【解答】解：A：∵∠2＝∠C，

由同位角相等两直线平行，

可得AE∥CD，

故A正确，

B：∵AD∥BC，

∴∠1＝∠2，

而∠2和∠B不一定相等，

故B错误，

C：∵AE∥CD，

由两直线平行同旁内角互补，

可得：∠1+∠3＝180°，

故C正确，

D：∵∠1＝∠2，

由内错角相等两直线平行，

可得：AD∥BC，

故D正确．

故选：B．

5．（2021秋•东西湖区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠EFB+∠HGC＝116°，则∠IPK的度数为（　　）

A．129° B．128° C．127° D．126°

【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，

∴∠B＝∠C＝90°，

由折叠可知：

∠IPF＝∠B＝90°，∠KPG＝∠C＝90°，

EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，

∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，

∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝116°，

∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝232°，

∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣232°＝128°，

∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣128°＝52°，

∴∠IPK＝360°﹣∠IPF﹣∠KPG﹣∠FPG＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°．

故选：B．

6．（2021春•盐城期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（　　）

A．30° B．60° C．50° D．40°

【解答】解：由折叠的性质得∠ADB＝∠EDB，

∴∠ADF＝2∠ADB，

∵∠ADB＝20°，

∴∠ADF＝2×20°＝40°，

∵AD∥BC，

∴∠DFC＝∠ADF＝40°，

故选：D．

7．（2021春•高新区月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠D＝35°，则∠E的度数为（　　）

A．75° B．35° C．110° D．40°

【解答】解：过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠DEF＝180°，

∵∠B＝75°，∠D＝35°，

∴∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣75°＝105°，∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣35°＝145°，

∴∠BED＝∠DEF﹣∠BEF＝145°﹣105°＝40°，

故选：D．

8．（2021春•金乡县期末）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE；其中正确的是（　　）

A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④

【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，且∠ABC＝∠ADC，

∴AB∥CD且∠ACB＝∠CAD，

∴BC∥AD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴答案①正确；

∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，

∴∠ACE＝∠D，

而∠D＝∠ABC，

∴∠ACE＝∠D＝∠ABC，

∴答案②正确；

又∵∠CEF+∠CBF＝90°，∠AFB+∠ABF＝90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，∠AFB＝∠CFE，

∴∠CEF＝∠AFB＝∠CFE，

∴答案④正确；

∵∠ECD＝∠CAD，∠EBC＝∠EBA，

∴∠ECD+∠EBC＝∠CFE＝∠BEC，

∴答案③正确．

故选：D．

9．（2021春•莱阳市期末）如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（　　）

A．134° B．124° C．114° D．104°

【解答】解：∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE＝34°，

∵ED∥AC，

∴∠CAE+∠AED＝180°，

∴∠DEA＝180°﹣34°＝146°，

∵BE⊥AE，

∴∠AEB＝90°，

∵∠AEB+∠BED+∠AED＝360°，

∴∠BED＝360°﹣146°﹣90°＝124°，

故选：B．

10．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（　　）

A．45° B．36° C．72° D．18°

【解答】解：设∠MFB＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，

∵x+2x+2x＝180，

∴x＝36，

∴∠MFE＝72°＝∠CFE，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠CFE＝72°，

又∵NE∥MF，

∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．

故选：B．

11．（2021•金坛区模拟）如图，已知a∥b，m∥n，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°

【解答】解：∵m∥n，

∴∠1+∠3＝180°，

∵∠1＝70°，

∴∠3＝180°﹣∠1＝110°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝110°，

故选：B．

12．（2021•常州一模）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝44°时，∠1的大小为（　　）

A．56° B．46° C．36° D．34°

【解答】解：∵直尺的对边互相平行，∠2＝44°，

∴∠2＝∠3＝44°，

∵∠1+∠3＝90°，

∴∠1＝46°，

故选：B．

13．（2021•阜宁县二模）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．40° D．30°

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠1＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，

又∵∠A＝120°，

∴∠ACD＝60°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝30°，

∴∠1＝30°，

故选：D．

14．（2021•焦作模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）

A．60° B．65° C．72° D．75°

【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，

∵AB∥CD，

∴∠AEF＝∠1，

∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，

∴5x＝180°，

∴x＝36°，

∴∠AEF＝2x＝72°，

故选：C．

15．（2021•建湖县二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE＝γ，则（　　）

A．β＜α＜γ B．β＜γ＜α C．α＜γ＜β D．α＜β＜γ

【解答】解：由图知，∠FBG＜45°，

∴α＝∠ABF＝180°﹣45°﹣∠FBG＞90°；

由图知，∠DGF＝45°，∠EGH＝45°，

∴γ＝∠DGE＝180°﹣∠DGF﹣∠EGH＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

由图知，∠MCH＜45°，∠BCF＝45°，

∴β＝∠FCH＝180°﹣∠BCF﹣∠MCH＝180°﹣45°﹣∠MCH＜90°，

∴β＜γ＜α，

故选：B．

二．填空题（共18小题）

16．（2020秋•滨海县期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝°，则∠DEF＝　58　°．

【解答】解：∵∠AEG＝°，

∴∠DEG＝180°﹣∠AEG＝116°，

由折叠得：EF平分∠DEG，

∴∠DEF＝∠DEG＝58°，

故答案为：58°．

17．（2021•射阳县二模）将一副直角三角板如图摆放，点D落在AC边上，BC∥DF，则∠1＝　105　°．

【解答】解：如图，

根据题意得，∠EDF＝45°，

∵BC∥DF，∠B＝60°，

∴∠2＝∠B＝60°，

∴∠1＝∠2+∠EDF＝60°+45°＝105°，

故答案为：105．

18．（2021•阜宁县模拟）如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝130°，则∠1＝　50°　．

【解答】解：如图：

∵∠2＝130°，

∴∠3＝180°﹣∠2＝50°，

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠3＝50°．

故答案为：50°．

19．（2021•姑苏区校级二模）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝　40°　．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠A+∠ACD＝180°，∠2＝∠3，

∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，

又∵∠1＝∠2，

∴∠2＝40°，

∴∠3＝∠2＝40°．

故答案为：40°．

20．（2021•常州二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝°，则∠EGD的大小是　122°　．

【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝°，

∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，

∵EG平分∠BEF，

∴∠BEG＝∠BEF＝58°，

∵AB∥CD，

∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．

故答案为：122°．

21．（2021春•江宁区月考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，则∠A的度数为　130°　．

【解答】解：∵AB∥CD，∠BCD＝25°，

∴∠ABC＝∠BCD＝25°，

∵CB平分∠ACD，

∴∠ACB＝∠BCD＝25°，

∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝130°，

故答案为：130°．

22．（2021春•常熟市期中）如图，直线a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是　70　°．

【解答】解：

∵∠1＝110°，

∴∠3＝180°﹣∠1＝70°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝70°，

故答案为：70．

23．（2021春•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝　56　°．

【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠DEF+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠EFB＝62°，

∴∠EFC＝118°，

由翻折可得：∠EFC′＝∠EFC＝118°，

∴∠C'FD'＝118°﹣62°＝56°，

故答案为：56．

24．（2021•姑苏区校级一模）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝　117　°．

【解答】解：如图，

∵∠1＝27°，∠CAB＝90°，

∴∠BAD＝∠1+∠CAB＝117°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠BAD＝117°．

故答案为：117．

25．（2021春•嘉兴期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝47°，则∠BGP＝　86°　．

【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFG＝47°，∠BGP＝∠AEP，

由折叠的性质得到∠GEF＝∠DEF＝47°，

∴∠AEP＝180°﹣∠DEF﹣∠GEF＝86°，

∴∠BGP＝86°．

故答案为：86°．

26．（2021春•无锡期末）已知AB∥CD，P是平面内一点，作PE⊥AB，垂足为E，F为CD上一点，且∠PFD＝130°，则∠EPF的度数是 　140°或40°　．

【解答】解：（1）点P在直线AB、CD之间，过点P作PM∥AB，

∵AB∥CD，

∴PM∥CD，

∴∠FPM+∠PFD＝180°，

∵∠PFD＝130°，

∴∠FPM＝50°，

∵PE⊥AB，

∴∠PEB＝90°，

∵PM∥AB，

∴∠PEB+∠EPM＝180°，

∴∠EPM＝90°，

∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝90°+50°＝140°；

（2）点P在直线AB、CD外，延长PE交CD于点M，

∵PE⊥AB，

∴∠PEB＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠PMF＝∠PEB＝90°，

∵∠PFD＝∠EPF+∠PMF，∠PFD＝130°，

∴∠EPF＝∠PFD﹣∠PMF＝40°，

故答案为：140°或40°．

27．（2021春•东台市月考）平面内∠A和∠B的两边互相平行，且∠A＝40°，则∠B＝　40°或140°　．

【解答】解：如图1所示，

∵∠A和∠B的两边互相平行，

∴∠A＝∠1，∠1＝∠B．

∴∠B＝∠A＝40°；

如图2所示，

∵∠A和∠B的两边互相平行，

∴∠A＝∠1，∠1+∠B＝180°．

∴∠B＝140°；

故答案为：40°或140°．

28．（2021春•金坛区期末）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为 　75°或25°　．

【解答】解：如图1：

∵AE∥BF，

∴∠A+∠1＝180°，

∴∠1＝180°﹣∠A，

∵∠A﹣2∠B＝15°，

∴∠1＝180°﹣（2∠B+15°）＝165°﹣2∠B，

∵AC⊥BC，

∴∠1+∠B＝90°，

∴165°﹣2∠B+∠B＝90°，

∴∠B＝75°；

如图2：

∵AE∥BF，

∴∠A＝∠1，

∵∠A﹣2∠B＝15°，

∴∠1＝2∠B+15°，

∵AC⊥BC，

∴∠1+∠B＝90°，

∴2∠B+15°+∠B＝90°，

∴∠B＝25°；

综上，∠B的度数为75°或25°．

故答案为：75°或25°．

29．（2021春•玄武区校级期中）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．现有下列五个式子：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β，在这五个式子中，可以表示成∠AEC的度数的是　①②③⑤　．（请填序号）

【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，

∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，

∴∠AE1C＝β﹣α．

（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，

∴∠AE2C＝α+β．

（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，

∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，

∴∠AE3C＝α﹣β．

（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，

∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．

（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC＝α﹣β或β﹣α．

综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β，一共4个．

故答案为：①②③⑤．

30．（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝　61或119　°．

【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，

∵∠MFD＝∠BEF＝58°，

∴CD∥AB，

∴∠GEB＝∠FGE，

∵EG平分∠BEF，

∴∠GEB＝∠GEF＝∠BEF＝29°，

∴∠FGE＝29°，

∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；

②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，

同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．

则∠PGF的度数为61°或119°．

故答案为：61或119．

31．（2021春•天宁区校级月考）“浏阳河弯过九进有，五十里水路到湘江．”如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝6∠CDE，∠BCD＝4∠CDE，则∠CDE＝　20°　．

【解答】解：由题意得，AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，

∴∠BCF+∠ABC＝180°，

∵∠ABC＝6∠CDE，

∴∠BCF＝180°﹣6∠CDE，

∵∠CDE＝∠DCF，

∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝180°﹣6∠CDE+∠CDE＝180°﹣5∠CDE，

∵∠BCD＝∠4CDE，

∴180°﹣5∠CDE＝4∠CDE，

∴∠CDE＝20°．

故答案为：20°．

32．（2021秋•吴江区月考）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝　40°　．

【解答】解：由题意得：∠D′EF＝∠DEF＝，∠EFC＝∠EFC′．

∵∠AED'＝40°，

∴∠DED′＝180°﹣∠AED'＝140°．

∴∠DEF＝＝70°．

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC．

∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∠EFC＝180°﹣∠DEF＝110°．

∴∠EFC′＝110°．

∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝110°﹣70°＝40°．

故答案为：40°．

33．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　或18　秒时，射线AM与射线BQ互相平行．

【解答】解：∵|a﹣6|+（b﹣1）2＝0；

∴a＝6，b＝1，

设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．

如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝15×6°＝90°，

分两种情况：

①当＜t＜15时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝（6t）°，

∵PQ∥MN，

∠BAN＝45°＝∠ABQ，

∵∠MAM'＝90°，

∴∠M'AB＝45°，

∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝（6t）°﹣45°，

当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，

此时，45°﹣t°＝（6t）°﹣45°，

解得t＝；

②当15＜t＜时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝（6t）°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣[（6t）°﹣90°]＝135°﹣（6t）°，

∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，

∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝135°﹣（6t）°，

当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，

此时，45°﹣t°＝135°﹣（6t）°，

解得t＝18；

综上所述，射线AM再转动秒或18秒时，射线AM、射线BQ互相平行．

故答案为：或18．

三．解答题（共6小题）

34．（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明

如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．

求证：∠F＝90°．

证明：∵AG∥CD（已知）

∴∠ABC＝∠BCD（ 　两直线平行，内错角相等　）

∵∠ABE＝∠FCB（已知）

∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB

即∠EBC＝∠FCD

∵CF平分∠BCD（已知）

∴∠BCF＝∠FCD（ 　角平分线的定义　）

∴　∠EBC　＝∠BCF（等量代换）

∴BE∥CF（ 　内错角相等，两直线平行　）

∴　∠BEF　＝∠F（ 　两直线平行，内错角相等　）

∵BE⊥AF（已知）

∴　∠BEF　＝90°（ 　垂直的定义　）

∴∠F＝90°．

【解答】证明：∵AG∥CD（已知），

∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），

∵∠ABE＝∠FCB（已知），

∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，

即∠EBC＝∠FCD，

∵CF平分∠BCD（已知），

∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），

∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），

∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），

∵BE⊥AF（已知），

∴∠BEF＝90°（垂直的定义），

∴∠F＝90°．

故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．

35．（2020秋•米易县期末）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学．王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．请你用所学知识证明：AD∥BC．

【解答】证明：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠CFE，

∵∠CFE＝∠E，

∴∠BAE＝∠E，

∴∠E＝∠DAE，

∴AD∥BC．

36．（2021秋•农安县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．

（1）求证：AD∥BC；

（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．

【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，

∴∠ABC+∠A＝180°，

∴AD∥BC；

（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，

∴∠DBC＝∠ADB＝36°，

∵BD⊥CD，EF⊥CD，

∴BD∥EF，

∴∠DBC＝∠EFC＝36°

37．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．

（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；

（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°　．

（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．

【解答】解：（1）如图1，过点P作EF∥AB，

∵∠A＝50°，

∴∠APE＝∠A＝50°，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠CDP+∠EPD＝180°，

∵∠D＝150°，

∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，

∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；

（2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，

∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，

∵∠FPA＝∠DPF﹣APD，

∴∠DPF﹣APD+∠PAB＝180°，

∴∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，

故答案为：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；

（3）如图3，PD交AN于点O，

∵AP⊥PD，

∴∠APO＝90°，

∵∠PAN+∠PAB＝∠APD，

∴∠PAN+∠PAB＝90°，

∵∠POA+∠PAN＝90°，

∴∠POA＝∠PAB，

∵∠POA＝∠NOD，

∴∠NOD＝∠PAB，

∵DN平分∠PDC，

∴∠ODN＝∠PDC，

∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN

＝180°﹣（∠PAB+∠PDC），

由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，

∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，

∴∠AND＝180°﹣（∠PAB+∠PDC）

＝180°﹣（180°+∠APD）

＝180°﹣（180°+90°）

＝45°．

38．（2020秋•石狮市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．

（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；

以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：

解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．

∵AB∥CD（已知），

∴PE∥CD（ 　平行于同一条直线的两条直线平行　），

∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ 　两直线平行，内错角相等　），

∴∠BAE+∠DCE＝　∠1　+　∠2　（等式的性质）．

即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 　∠AEC＝∠BAE+∠DCE　．

（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．

①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；

②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．

【解答】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，

两直线平行，内错角相等，

∠1，∠2，

∠AEC＝∠BAE+∠DCE，

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，

两直线平行，内错角相等，

∠1，∠2，

∠AEC＝∠BAE+∠DCE，

（2）①由（1）得：

∠AEC＝∠BAE+∠DCE，

∠AFC＝∠BAF+∠DCF，

∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，

∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，

∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF

＝∠BAE+∠DCE

＝∠AEC

＝×74°

＝37°；

②由①得：∠AEC＝2∠AFC，

∵∠AEC+∠AFC＝126°，

∴∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，

∵CG⊥AF，

∴∠CGF＝90°，

∴∠GCF＝48°，

∵CE平分∠DCG，

∴∠GCE＝∠ECD，

∵CF平分∠DCE，

∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，

∴∠GCF＝3∠DCF，

∴∠DCF＝16°，

∴∠DCE＝32°，

∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．

39．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；

（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；

（2）线段PH的长度是点P到　OA　的距离，　线段CP的长度　是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是　PH＜PC＜OC　（用“＜”号连接）

【解答】解：（1）如图：

（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，

线段CP的长度是点C到直线OB的距离，

根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，

故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．