湘教版八年级上册全套数学教案

2．1 函数和它的表示法（第一课时）

〖教学目标〗

1、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在。

2、了解函数与自变量的概念能在某一简单的过程中辨别函数与自变量。

〖教学重点与难点〗

教学重点：

教学难点：〖教学方法〗

〖教学过程〗

小结回顾，反思提高

常量和变量的概念。

常量与变量必须存在与一个变化过程中。常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言的。

函数与自变量的概念。

作业：课后反思：

2．1

〖教学目标〗

〖教学重点与难点〗

教学重点：函数的表示法，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点．

教学难点：用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点．

〖教学方法〗观察、比较、合作、交流、探索.

〖教学过程〗教学过程分以下6个环节：

创设情境

问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表：

工作时间t

1 5 10 15 20 …t…（时）

报酬m（元）

然后回答下列问题：

（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量t、m）（2）能用t的代数式来表示m的值吗？（能，m=16t）

教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应．

问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s (米)与助跑的速度v (米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2

085.0v s =(0（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v 、s ） (2)计算当v 分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s 是多少(结果保留3个有效数字)?

(3)给定一个v 的值，你能求出相应的s 的值吗?

教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v ，s ，对v 的每一个确定的值，s 都有唯一确定的值与它对应．

本环节设计的意图：通过对两个学生熟悉的问题的讨论，既巩固了上一节课中常量、变量的概念，又为本节课学习函数的概念作好准备． 探究新知 函数的表示法

①解析法：问题1、2中，m =16t 和2085.0v s =这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．

②列表法：有时把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．如表（图7-2）表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．

月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 1

2

平均气温T （℃） 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 1

2.2

6

.3 ③图象法: 我们还可以用法来表示函数，

解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法． 教师指出：（1）解析法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．

（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法． （3）函数值概念

与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．

若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值． 例如对于函数m =16t ，当t =5时，把它代人函数解析式，得m =16×5=80(元)． m =80叫做当自变量t =5时的函数值． 4．作业 课本P34练习第1，2，3． 5、课后反思：

〖教学目标〗

知识技能目标

1.会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式；

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值；

3.会在简单的情况下根据实际背景对自变量的求出自变量的取值范围.

过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．

〖教学重点与难点〗

教学重点：求函数解析式是重点．

教学难点：根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式(组)学生不易理解．

〖教学方法〗观察、比较、合作、交流、探索.

〖教学过程〗

一、创设情境

问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，你能写出y与x的函数关系式吗?

解如图能发现涂黑的格子成一条直线．

函数关系式为： y＝10－x．

问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．解 y与x的函数关系式：y＝180－2x．

二、探究归纳

思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有吗？如果有，写出它的取值范围．

(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

分析问题1，观察加法表涂黑的格子的横向的加数的数值范围．

问题2，因为三角形内角和是180°所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．

解 (1)问题1，自变量x的取值范围是：1≤x≤9；

问题2，自变量x的取值范围是：0＜x＜90；

(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4．

上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：

s＝60t， S＝πR2．

在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，但如果式子表示圆面积S 与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．

三、交流反思

1.求函数自变量取值范围的两个依据：

(1)要使函数的解析式有意义．

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．

(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

2.求函数值的方法：跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．

四、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式； (3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积． 2.求下列函数中自变量x 的取值范围：

(1)y ＝－2x －5x2； (3) y ＝x(x ＋3)；

(3)

36+=

x x y ； (4)12-=x y ． 3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离s （米）由下式给出：s

＝10t ＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？ 4.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：

(1) y ＝(x+1)(x －2)；(2)y ＝2x2－3x ＋2； (3)12-+=

x x y ． 五、作业布置

P36～37习题2。1 六、课后反思：

2.2 一次函数和它的图象(1)

〖教学目标〗

◆1、理解正比例函数、一次函数的概念。

◆2、会根据数量关系，求正比例函数、一次函数的解析式。 ◆3、会求一次函数的值。 〖教学重点与难点〗

◆教学重点：一次函数、正比例函数的概念和解析式。

◆教学难点：例2的问题情境比较复杂，学生缺乏这方面的经验。 〖教学方法〗观察、合作、交流、探索. 〖教学过程〗

比较下列各函数，它们有哪些共同特征？

,

6t m = ,2x y -= ,32+=x y 9362.3+-=t Q

提示：比较所含的代数式均为整式，代数式中表示自变量的字母次数都为一次。 定义：一般地，函数)0(≠+=k b k b kx y 都为常数，且、叫做一次函数。当

0=b 时，一次函数b kx y +=就成为)0(≠=k k kx y 为常数，叫做正比例函数，

常数k 叫做比例系数。

强调：（1）作为一次函数的解析式

b kx y +=，其中y b x k ,,,中，哪些是常量，

哪些是变量？哪一个是自变量，哪一个是自变量的函数？其中b k ,符合什么条件？

（2）在什么条件下，)

0(≠+=k b kx y 为正比例函数？

（3）对于一般的一次函数，它的自变量的取值范围是什么？ 做一做：

下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k 和常数项b 的值各为多少？

,2r C π= ,20032

+=x y

,

200v t = (),32x y -= ()x x s -=50 例1：求出下列各题中x 与y 之间的关系，并判断y 是否为x 的一次函数，是否

为正比例函数：

某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数y 与种植面积

)(2m x 之间的关系。

正方形周长x 与面积y 之间的关系。

假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。本钱元）

(y 与所存月数x

之间的关系。

此例是为了及时巩固一次函数、正比例函数的概念，相对比较容易，可以让学生自己完成。

解：（1）因为每平方米种玉米6株，所以x 平方米能种玉米x 6株。得x y 6=，y 是x 的一次函数，也是正比例函数。

（2）由正方形面积公式，得

2

4⎪

⎭⎫ ⎝⎛=x y ，y 不是x 的一次函数，也不是正比例函数。

（3）因为该种储蓄的月利率是0.16%，存x 月所得的利息为1000%16.0⨯x ，

所以本息和x y 6.11000+=，y 是x 的一次函数，但不是x 的正比例函数。

练习：1.已知

,2

-=m mx y 若y 是x 的正比例函数，求m 的值。

2.已知y 是x 的一次函数，当1-=x 时，2=y ；当2=x 时，3-=y

求y 关于x 的一次函数关系式。

求当10

=y 时，x 的值。

例2：按国家1999年8月30日公布的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额不超过500元的税率为5%，超过500元至2000元部分的税率为10%

设全月应纳税所得额为x 元，且2000500≤小明妈妈的工资为每月2600元，小聪妈妈的工资为每月2800元。问她俩每月应纳个人所得税多少元？

提示：此题较为复杂，而有关个人所得税的计算方法和一些专有名词学生可能很生疏。所以讲解时，首先要帮助学生理解问题，对个人所得税，应纳税所得额这

些名词的含义要予以说明。尤其是根据累进税率计算个人所得税的方法，要举例说明。

解：（1）()251.0%10500%5500-=⨯-+⨯=x x y )2000500(≤答：小明妈妈每月应纳个人所得税155元，小聪妈妈每月应纳个人所得税175元。

练习：教科书P40第1，2题。 作业：教科书P45第1，2，3题 课后反思：

2．2 一次函数和它的图象(第2课时)

〖教学目标〗

1、通过具体操作，感受一次函数的图象是一条直线；

2、学会选择的点，正确地画出一次函数的图象；

3．在现实情境中会列一次函数解析式并画出其图象解决实际实际问题。 〖教学重点与难点〗

◆教学重点：了解一次函数的图象是一条直线并会画一次函数的图象。 ◆教学难点：画一次函数的图象选点的技巧。 〖教学方法〗观察、比较、合作、交流、探索. 〖教学过程〗

（一）复习回顾，感受一次函数的图象

某地1千瓦·时电费为0.8元，豕公式法表示电费y （元）与所用的电x （千瓦时）之间的函数关系式是： ，你能画出这个函数的图象吗？ 学生活动：在教师的指导下，学生有序地动手操作实践。 （二）做一做，会画图象

1．画出正比例函数y=-2x 的图象

学生活动：在练习本上完成，一名学生上台板演，教师查视全体同学练习的情况。

教师活动：教师与学生共议。

学生活动：学生在练习本上完成，充分讨论交流结果，教师查巡了解情况，师生共议

教师活动：探讨后点出结论给出板书。

解：略。

教师小结：一般地y=kx+b (k≠0),通常选取它与两轴的交点（0，b），(-b/k,0),即横纵坐标为0 的点，当然，选其它在象限内的点也可以。

三．学以致用，范例分析

P42例3

教师活动：引导学生积极分析和思考，针对答题情况师生共同评判；

学生活动：鼓励学生在练习本上完成将解答与同伴交流，指定一名学生上台板演。

提醒学生：（1）具体问题中，列出函数关系式后，会找准自变量的取值范围；

由自变量取值范围会在所作的直线上找到表示函数图象的部分。

四．随堂练习：课本P42练习

五．小结：本节课学习了一次函数的图象是一条直线，会用两点法作其图象，对具体问题会用一次函数的相关知识求解。

六．作业：课本P45习题2。2

七、课后反思：

2．2 一次函数和它的图象(第3课时)

〖教学目标〗

◆1、使学生掌握一次函数的性质．

◆2、通过画一次函数，探究一次函数的性质，体验学习的乐趣．

◆3、培养学生的观察、比较、归纳能力．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：一次函数的性质．

◆教学难点：例2的问题情境及函数的图象和性质等多方面知识的应用．

〖设计理念〗

◆从画一次函数图象着手，理解一次函数的性质：函数y=Kx+b(k≠0),当k>0时，函数值随自变量的增加而增大；当k<0时，函数值随自变量的增加而减小。并运用这一性质判别函数的增减变化．

〖教学方法〗观察、比较、合作

〖教学过程〗（一）回顾

1. 画函数图象的一般步骤有哪些？

2. 请你快速画出函数y=2x+3的图象。

（二）探究

1. 从你画的函数图象中能否看出，对于一次函数y=2x+3,当自变量的取值由小变大时，对应的函数值怎样变化？

2.画出函数y=-2x+3的图象。

演示动画，帮助学有困难的学生巩固画函数图象知识。

刚才画的函数图象上，你能不能看出，当自变量x由小变大时，对应的函数值怎样变化？

3.猜猜看：一次函数y=kx+b(k≠0)中，k的取值与函数变化有什么关系？

（三）归纳：

一次函数的性质：一次函数y=kx+b(k≠0),当k>0时，函数值随自变量的增加而增大；当k<0时，函数值随自变量的增加而减小。

学生做一做，巩固一次函数的性质。

（四）例题分析：

例2 我国某地区现有人工造林面积12万顷，规划今后10年新增造林61000—62000公顷。请估算6年后该地区的造林总面积达到多少公顷？

分析：1、有造林面积和时间得到什么？（用怎样的函数解析式来表示）

2、6年后的造林总面积应该怎样算？

例3 要从甲、乙两仓库向A，B两工地运送水泥。已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥。两仓库到A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如下：

路程（千米）运费（元/吨.千米）

甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A地20 15 1．2 1．2

B地25 20 1 0．8

（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，求总运费y关于x的函数解析式，并画出图象；

（2）当甲、乙两仓库各运往A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？

1、库运出的水泥吨数和运费列表分析。

2、利用图象法求出最小值。

（五）练习：P45 练习

（六）小结：学生归纳本堂学到的知识

（七）作业：P46作业题

过程评价

根据画图情况，肯定学生成绩

对于积极思考，勇于回答的同学予以肯定，对于学有困难的同学加以引导

引导学生积极思考，认真归纳

练习中肯定成绩，发现问题，及时纠正给学生合理评价（八）拓展：课后学生探索函数y=kx+b(k≠0)中b 的变化对

函数图象影响。

（九）课后反思：

2．3 建立一次函数模型(第1课时)

〖教学目标〗

◆1、理解和掌握一次函数的图像及其性质

◆2、学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识

〖教学重点和难点〗

教学重点：一次函数图像及其性质

教学难点：体会函数、方程、不等式在解决实际问题时的密切联系，并在一定条件下互相转化的各种情形，感受贴近生活的数学，培养解题能力。

〖教学方法〗观察、交流、探索.

〖教学过程〗

一、课前预习

1、判断题（1）正比例函数是一次函数（√）

（2）一次函数是正比例函数（×）

（3）一次函数图像是一条直线 （ √ ）

2、已知直线y= —1

2X ，下列说法错误的是 （ D ） A 比例系数为-1/2 B 图像不在一、三象限 C 图像必经过（-2 ，1）点 D y 随x 增大而增大 二、新课教学 1、引出概念

确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是利用图象去获得经验公式，这种方法步骤是：

（1）通过实验，测得获得数量足够多的两个变量的对应值。

（2）建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像。

（3）观察图像特征，判定函数的类型。 2、例题分析：

例1、生物学家测得7条成熟雄性鲸的全长y 和吻尖到喷水孔的长度x 的数据如下表（单位：m ）

吻尖到喷水孔的长度X （m ） 1.78 1.91 2.06 2.32 2.59 2.82 2.95 全长y （m ） 10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.

90

能否利用一次函数刻画这两个变量x 和y 的关系？如果能，请求出这个一次函数的解析式

解：在直角坐标系中画出以表中x 的值为横坐标，y 的值为纵坐标的7个点。

1

2

3

4

5

2

4681012141618Y (m )

X(m )

(2.95,13.90)(2.59,12.50)(1.91,10.25)

过7个点几乎在同一条直线上所以所求的函数可以看成一次函数，即可用一次函数来刻画这两个量x 和y 的关系。

设这个一次函数为y=kx+b,把点（1.91，10.25），（2.59,12.50）的坐标分别代入

y=kx+b 得 ⎩⎨

⎧+=+=b k b k 59.250.1291.125.10

解得：k ≈3.31 b ≈3.93 所以所求函数解析式为y=3.31x+3.93

相应练习：通过实验获得u,v 两个变量的各对应值如下表 u

0.5

1

1.5

2

2.5

3

4

判断变量

u,v 是否近似地满足一次函数关系式，如果是，求v关于u的函数关系式，并利用函数解析式求出当u=2.2时，函数v的值。

3、小结与练习

本节课主要学习了从现实情境中建立一次函数模型，并用待定系数法求解。判定是否为一次函数模型的关键是因变量是不是随自变量均匀变化的或者看函数图象是否为直线型（干线，射线，线段，成直线形状的孤立的点）

课本P49练习

4、作业

课本P54习题第2，3题

5、课后反思：

2.3 建立一次函数模型(第2课时)

教学目标：

1、在具体情景中，会建立一次函数模型，并会运用所建立的模型进行预测。

重点：建立一次函数模型。

难点：分析变量间的关系抽象出函数模型

教学方法：观察、比较、合作、交流、探索

教学过程：

一．创设问题情境引入

国际奥林匹克运动会早期，撑杆跳高的记录近似地由下表给出：

年份1900 1904 1908

高度（米） 3.33 3.53 3.73

问题：观察表格中第二行数据，可以为奥运会的撑杆跳高记录与时间的关系建立函数模型吗？

学生活动：学生讨论，交流结果，师生共议。

教师引导学生发现：上表中每一届比上一届的记录提高了0.2米，即成绩是随年份均匀地变化，由此可建立一次函数的模型。

教师提示：用T表示从1900年起增加的年份，则在奥运会早期，撑杆跳高的主记录Y与时间的函数关系式是怎样的？

学生写出两个变量的函数关系式，并用待定系数法求解，做完后，与同伴交流结果，教师点评。

教师规范地板书解的过程。

二．做一做，学会预测

学生活动：1，试用上述所求的公式预测1912年奥运会的撑杆跳高记录。

学生在练习本上完成，做完后与同伴讨论交流结果，教师作出评价。

教师提供1912年奥运会撑杆跳高主记录约为3.93米。这说明所建立的函数模型在已知数据邻近作预测是与实际事实比较吻合的。

试用所求公式预测1988年的奥运会撑杆跳高记录，求得结果为7.73米，但当年的记录只有6.06米，经比较远低于所求的结果，这表明用所建立的函数模型，远离已知数据作预测是不可靠的。

2．展开讨论，为什么用公式预测1988的奥运会的撑杆跳高会不可靠？（让同学们展开激烈讨论，畅所欲言，此乃开放性问题，教师应作出鼓励性评价。）三．随堂练习

P51练习

四．小结

本节课主要学习了在具体的情境中建立一次函数模型，并用此模型进行预测，但预测要求在已知数据邻近预测结果才与事实更好吻合。

五．作业 P54习题

六、课后反思

2.3建立一次函数模型（第3课时）

〖教学目标〗

◆1、会综合运用一次函数的解析式和图象解决简单实际问题．

◆2、了解直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系．

◆3、会用一次函数的图象求二元一次方程组的解（包括近似解）．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：本节教学的重点是运用一次函数的解析式和图象等解决简单实际问题．

◆教学难点：构造数学

模型（包括函数解析式和

图象）与实际问题情景之

间的对应关系，是本节教

学的难点．

教学方法：观察、合作、

交流、探索

〖教学过程〗

一．创设情景，引入新

课：

我们知道在日常生活和

生产实践中有不少问题

的数量关系可以用一次

函数来刻画。比方说行程问题，如果速度是常量，则路程与时间成一次函数关系。

二．合作学习，思考探究

活动一：思考以下几个问题：

1．涉及几个一次函数关系？

2．各个函数关系中，包含哪些常量，哪些变量？

3．小聪和小慧出发的时刻是否相同？出发的地点呢？

4．如果这两个一次函数都用t 表示自变量，那么t=0的实际意义是什么?如果分别用s1, s2表示小聪与小慧的行驶的路程，那么当t=0时，s1, s2分别是多少？ 小组讨论后汇总，一起制定解题的和方法，老师做启发：

1．如果能求出经过多少时间小聪能追上小慧，那么问题解决了吗？

2．对于求小聪追及小慧的时间，可以用几种不同的方法来解决？

（用方程s1 =s2，或图象法，这里学生不一定想到图象，给予提示）

3．不管是采用方程（s1 =s2），还是利用图象（图象交点的横坐标表示追及所经过时间，交点的纵坐标表示追及时两人行驶的路程），解决问题首先要做的工作是什么？

教师总结，板书解题过程。（见书本）

三．应用新知，拓展提高

1．一次招聘会上，A ，B 两公司都在招聘销售人员。A 公司给出的工资待遇是：每月1000元基本工资，另加销售额的2﹪作为奖金；B 公司给出的工资待遇是：每月600元基本工资，另加销售额的4%作为奖金。如果你去应聘，那么你将怎样选择？

小组讨论，然后请同学黑板上板书。

2．利用一次函数的图象，求下列二元一次方程组的解（或近似解）：

（1）⎩⎨⎧+==+602x y y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+1212x y y x

3．某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费。

（1）分别写出两厂的收费y （元）与印制数量x （份）之间的关系式；

（2）在同一直角坐标系中画出它们的图象。

（3）根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3000元用于印刷宣传材料，找哪一家印刷厂能印刷宣传材料多一些？

四．课堂练习

P54练习。

五．知识整理

1．直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系。

2．会用一次函数的图象求二元一次方程组的解（包括近似解）。

六．作业

P54习题2.3

七、课后反思：

[教学目标]

1．进一步感受生活中的常量与变量，领会变量之间的相互依存与制约的函数关系．

2．进一步明确函数表示法的灵活性与多样性．

3．进一步领会一次函数的定义、图象、性质、应用以及它与正比例函数的关系．

4．进一步感知本章课本体现和渗透的重要数学思想方法。

教学方法：合作、交流、探索、复习

[教学过程(第一课时)]

1．情境创设

可以用问题引导学生回顾、梳理本章的基础知识，例如：

(1)本章学习了常量、变量、函数、一次函数、正比例函数以及一次函数的图象、性质和应用，请你根据知识的发生发展过程，梳理本章基础知识，然后与同学交流．

展示学生成果，结合学生梳理的知识结构图，也可按下面框图制作的课件，逐步展示本章结构，用问题串的方式，帮助学生回顾知识要点．例如：

(2)请举例说明什么是常量?什么是变量?什么是函数?

(3)我们可用怎样的方式表达变量之间的函数关系?

(4)什么样的函数是一次函数?它与正比例函数有什么关系?

在回顾图象与性质时，无

非是探讨一次函数关系式中的k

与b对函数图象的升降趋势及

图象位置的影响，要特别注意帮

助学生进一步从“形”与“数”

的两个方面去认识．例如，如果

从“形”上看具有上升的特征，

那么从“数”上看函数值随自变量的增大而增大，究其原因是因为“k>0”．在“k>0”的条件下，“形”与“数”的特征得到了统一，构成了一次函数的一个特有的性质．

复习课教学也应注重知识发生发展的过程，而不只是注意结论．

2．例题教学

课本没有配置例题，教学时可以选择“复习巩固”中的部分基础习题为例题，更提倡教师根据教学班学生的实际情况编制一些体现基本要求的问题，穿插在基础知识回顾的过程中，使本节复习课上的生动活泼、有血有肉．

[教学过程(第二课时)]

本课时可以选编一些例题和习题，通过学生动脑动手的课堂活动，帮助学生进一步落实本章对基本技能的要求．可以选择诸如“复习题”中的第7题、第9题、第12题、第14题等体现本章基本技能要求的习题，还可以补充1-2个实际应用问题，提升学生分析问题、解决问题及：书写表达能力。

一次函数单元测试（3课时）

(一)填空题：

1.已知如图①，直线y=kx+b过点(0,2)、(3，-1)，当y≥-1时，x的取值范围是___。

2.如图②，直线y=kx+b与x轴交于点(-5，0)当x>-5时，y的取值范围是____。

3.假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图③所示，下列说法：

①甲比乙先出发②乙比甲跑的路程多

③甲、乙两人的速度相同④甲先到达终点

其中，错误说法的序号是_____。

4.如图④所示，l甲、l乙分别是甲、乙两弹簧的长y(cm)与挂物体质量x(kg)之间的函数关系图像，设甲弹簧每挂1kg物体长的长度为k甲(cm)，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙(cm)，则k甲与k乙的大小关系是k甲____ k乙。

5.购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y=kx，则这种国债的年利率为_____。

6.长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李重量x(kg)的一次函数，其图像如图⑤所示，则y与x之间的函数关系式是_____，自变量x的取值范围是____。

(二)选择题

7.图⑥中，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图像判断该公司盈利时销售量为( )

A.小于4件

B.大于4件

C.等于4件

D.大于或等于4件

8.三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106m升至135m，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图像中，能正确反映这10天水位h(m)随时间t/天变化的是( )

9.某城市按以下规定收取每月煤气费；限定每户每月用煤如果不超过60m3，按每立方米0.8元收费；如果超过60m3，超过部分按1.2元/m3收费，每平每月煤气费y(元)与用煤气量x(m3)的函数图像示意图是( )

10.无论m为何实数，直线y=3x-2m与直线y=-x+6的交点不可能在( )

A.第三象限

B.第四象限

C.第一象限

D.第二象限

11.如图⑦，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图像，下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是( )

A.①②

B.②③④

C.②③

D.①②③

12.从甲地向乙地打长途电话的收费标准为：不超过3min收费2.4元，以后每增加1分钟加收1元(不足min按1min计算)，若通话时间不超过5min，则表示电话费y(元)与通话时间x(min)之间的函数关系的图象正确的是

( )

(三)解答题

13.某报纸报道了“养老保险执行新标准”的

消息，西河中学数学课外活动小组根据消息中提供的数据，绘制出该市区企业职工养老保险个人月缴费y(元)随个人月工资x(元)变化的图像(如图⑧)，请你根据图像解答回答：

(1)胡总工程师五月份工资是3000元，这月他个人应缴养老保险____元；

(2)小方五月份工资为500元，这月他个人应缴养老保险____元；

(3)张师傅五月份个人缴养老保险56元，求他的五月份工资

14.4×100m接力赛是学校运动会最精彩的项目之一图⑨中的实践和虚线分别是初三(1)班、初三(2)班代表队在比赛时运动员所

跑的路程y(m)与所用时间x(s)的函数图像假设

每个运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不计

(1)初三(2)班跑得最快的是第_____接力棒

的运动员；

(2)发令后经过多长时间两班运动员第一次

并列；

15.为了缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定

了新的用电收费标准，每月用电量x(kWh)与应付

电费y(元)的关系，如图⑩所示

(1)根据图像，请分别求出当0≤x≤50和

x>50时，y与x的函数关系式；

(2)请回答：当每月用电量不超过50kWh时，

收费标准是____；当每月用电量超过50kWh时，

收费标准是____。

16.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B

地，所行的路程与时间的函数图像如图⑾所示，

试根据图像，回答下列问题：

(1)慢车比快车早出发____h，快车追上慢车

行驶了____km，快车比慢车早_____h到达B地；

（2）快车需要多久就能追上慢车？

(3)求慢车、快车的速度；

(4)求A、B两地之间的路程。

17.某药品研究所开发了一种新药，在试验

药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那

么服药后2h血液中含药量最高，达16μ

g/mL，接着逐步衰减，10h血液中含药量3

μg/mL，每毫升血液中含药量y(μg)随时间

x(h)的变化如图⑿所示，当成人按规定剂量

服药后

(1)分别求出x≤2和x≥2时，y与x之

间的函数关系式；

(2)如果每毫升血液中含药量为4μg以上在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？

18.如图⒀，l1，l2分别表示一种白炽灯和一种

节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照

明时间x(h)的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是

2000h，照明效果一样。

(1)根据图像分别求出l1,l2的函数关系式；

(2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？

(3)小亮房间计划照明2500h，他买了一个白帜灯

和一个节能灯，请你设计最省钱的用灯方法(直接给出

答案，不必写出解答过程)

19.已知雅关服装厂有A种布料70m，B种布料52m，

现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80

套，已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6m，B

种布料0.9m，可获利润45元；做一套N型号的时装需用A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利润50元，若生产N型号的时装x套，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元。

(1)求y(元)与x(套)之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围；

(2)雅关服装厂在生产这批时装时，当N型号的时装为多少套时，所获总利润最大？最大总利润是多少？第三章全等三角形

旋转

【教学目标】：

1．认识图形的旋转变换，掌握它的基本性质.

2．认识旋转对称图形，并能够按要求作出简单的平面图形旋转后的图形.3.培养学生创造图案的设计能力

【过程与方法目标】：

1.、通过具体实例认识图形的旋转变换，探索它的基本性质.引导学生，探索发现原图形经过旋转后的对应点、对应线段之间的位置关系与数量关系.体验感受图形旋转的主要因素是旋转中心和旋转的角度，从而体会到图形在旋转过程中，图形中的每一点都绕着旋转中转动了相同的角度

2．认识旋转对称图形，理解旋转对称图形的概念，重视对学生自行设计旋转对称图形的能力的培养，并能够按要求作出简单的平面图形旋转后的图形.

【重点】：旋转变换的基本性质，并能根据性质作出简单的平面图形旋转后的图形。【难点】：旋转变换的基本性质的探索，作出简单的平面图形旋转后的图形。

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

程序教师活动

创设问题情景课件演示，旋转而动产生的奇妙画面。你能自己举出日常生活中的一些事例吗？

探究新知1 1．观察图形找出这些图形的共同特征：2.概念：旋转、旋转中心

探究新知2

用一张半透明的薄纸，覆盖在画有任意△AOB的纸上，在薄纸上画出与△AOB重合的一个三角形。然后用一枚图钉在点O处固定，将薄纸绕着图钉（即点O）转动一个角度45 ，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上A′、O′、B′，我们可以认为△AOB旋转45 后到了上△A′O′B′。在这样的旋转过程中，你发现了什么？做一做

后，讨论回答：图中，可以看到点A旋转到点A′，OA旋转到OA′, ∠AOB旋转到∠A′OB′，这些都是互相对应的点、线段与角。那么点B的对应点是___________；线段OB的对应线段是线段______；

线段AB的对应线段是线段______；

∠A的对应角是___________；

∠B的对应角是___________；

旋转中心是点____________；

旋转的角度是____________。

探究新知3

如图，如果旋转中心在△ABC的外面点O处，转动60 ，将整个△ABC旋转到△A′B′C′的位置。那么这两个三角形的顶点、边与角是如何对应的呢？

探究新知4

1、如图，△ABC是等边三角形D是BC上一点，

△ABD经过旋转后到ACE的位置。旋转中心是哪一点？旋转了多少度？如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？2、如图，点M是线段AB上一点，将线段AB绕着点M顺时针方向旋转90 ，旋转后的线段与原线段的位置有何关系？如果逆时针方向旋转90 呢？

小结提高说说“旋转”的概念，旋转的等量关系。说说描述“旋转”的过程要注意哪几方面？

课后反思图案设计

【教学目标】：

1、了解图案最常见的构图方式：轴对称、平移、旋转……，理解简单图案设计的意图。认识和欣赏平移，旋转在现实生活中的应用，能够灵活运用轴对称、平移、旋转的组合，设计出简单的图案。

2、经历收集、欣赏、分析、操作和设计的过程，培养学生收集和整理信息的能力，分析和解决问题的能力，合作和交流的能力以及创新能力。

3、经历对典型图案设计意图的分析，进一步发展学生的空间观念，增强审美意识，培养学生积极进取的生活态度。

【教学重点】：

灵活运用轴对称、平移、旋转……等方法及它们的组合进行的图案设计。

【教学难点】：分析典型图案的设计意图。

【教学准备】：

提前一周布置学生以小组为单位，通过各种渠道收集到的图案、图标的剪贴、临摹以及。多种常见的图案及其形成过程的动画演示。

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】：

1、情境导入：逐个展示生活中常见的典型图案，并让学生试着说一说每种图案标志的对象。明确在欣赏了图案后，简单地复习平移、旋转的概念，为下面图案的设计作好理论准备。对教材给出的六个图案通过观察、分析进行议论交流，让学生初步了解图案的设计中常常运用图形变换的思想方法，为学生自己设计图案指明方向。其中图（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都可以通过旋转适合角度形成（可以让学生自己说说每个旋转的角度和旋转的次数及旋转中心的位置），另外图（2）、（3）、（5）也可以通过轴对称变换形成（可以让学生指出对轴对称及对称轴的条数），而图（2）可以通过平移形成。

2、课本例1 欣赏课本的图案，并分析这个图案形成过程。

评注：图案是密铺图案的代表，旨在通过对典型图案的分析欣赏，使学生逐步能够进行图案设计，同时了解轴对称、平移、旋转变换是图案制作的基本手段。例题解答的关键是确定“基本图案”，然后再运用平移、旋转关系加以说明，注意旋转中心可以为图形上某一特征的点。

评注：可以取其中的任何一个为基本图案，然后通过变换得到。而且变化方式也可以是：左下角的图案通过轴对称变换得到左上图和右下图。

（二）课内练习

（1）以小组为单位，由每组指定一个同学展示该组搜集得到的图案，并在全班交流。（2）利用下面提供的基本图形，用平移、旋转、轴对称、中心对称等方法进行图案设计，并简要说明自己的设计意图。

（三）议一议

生活中还有那些图案用到了平移或旋转？分析其中的一个，并与同伴进行交流。

（四）课时小结：本课时的重点是了解平移、旋转和轴对称变换是图案设计的基本方法，并能运用这些变换设计出一些简单的图案。

通过今天的学习，你对图案的设计又增加了哪些新的认识？（可以利用平移、旋转、轴对称等多种方法来设计，而且设计的图案要能表达自己的创作意图，再就是图案的设计一定要新颖，独特，这样才能使人过目不忘，达到标志的效果。）

延伸拓展：进一步搜集身边的各种标志性图案，尝试着重新设计它，并结合实际背景分析它的设计意图。

全等三角形的性质

【教学目标】：

（1）知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

（2）知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

（3）能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。

【教学重点】：全等三角形的性质。

【教学难点】：找全等三角形的对应边、对应角

【教学准备】：直尺、

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】：

1、全等形及全等三角形概念的引入

（1）显示：

问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的。

（2）学生自己动手

画一个三角形：边长为4cm，5cm，7cm.然后剪下来，

同桌的两位同学配合，把两个三角形放在一起重合。

（3）获取概念

让学生用自己的语言叙述：

全等三角形、对应顶点、对应角以及有关数学符号。

2、全等三角形性质的发现：

问题：对应边、对应角有何关系？

由学生观察发现，两个三角形的三组对应边相等、

三组对应角相等。

3、找对应边、对应角以及全等三角形性质的应

用

（1）题目：

D、AD∥BC，且AD＝BC

分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此AD＝BC。C符合题意。

说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置

上，易错点是容易找错对应角。

分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将

从复杂的图形中分离出来

说明：根据位置元素来找：有相等元素，其即为对应元素：

然后依据已知的对应元素找：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

说明：利用“运动法”来找

翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三

角形，易发现其对应元素

旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素

平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素

求证：AE∥CF

分析：证明直线平行通常用角关系（同位角、内错角等），为

此想到三角形全等后的性质――对应角相等

∴AE∥CF

说明：解此题的关键是找准对应角，可以用平移法。

分析：AB不是全等三角形的对应边，

但它通过对应边转化为AB＝CD，而使AB+CD＝AD－BC

可利用已知的AD与BC求得。

说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等。

5、小结：

(1)如何找全等三角形的对应边、对应角（基本方法）

(2)全等三角形的性质

(3)性质的应用

让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

6、布置作业

7、课后反思：全等三角形

【教学目标】1、说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号表示两个三角形全等。2、知道全等三角形的有关概念，会在两个全等三角形中正确找出对应顶点、对应边、对应角

3、会说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质

【教学准备】（引导性材料）

让学生在举出（拿出、剪出图形）实际例子，感悟和感知全等图形。

【教学方法】观察、比较、合作、探索.

【教学过程】

1、全等形：

下面描述“全等形”的三种不同说法，哪种是恰当的？

①形状相同的两个图形叫全等形，②大小相同的两个图形叫全等形

③能够完全重合的两个图形叫全等形

2、全等三角形的概念、表示方法

3、三角形的全等变换

指导学生用自己制作的两个全等三角形作全等变换

4、全等三角形的性质

全等三角形的相等，相等，

如果△ABC≌△DEF，那么AB= ,BC= ,AC= ,

∠A= ,∠B= ，∠C= .

【知识运用与测试】

1、能够的两个三角形叫全等三角形。互相重合的顶点叫，叫对应边，叫对应角。

2、全等三角形的相等，相等。

3、若△AOC≌△BOD，对应边，对应角；

若△ABC≌△CDA，对应边，对应角；

4、若△ABC≌△DAE的对应边，对应角；5、如图，已知△OCA≌△OBD,C和，A和是对应顶点，写出两个三角形中相等的边和角

6、如图，已知△ABC≌△DAE,∠C=∠E,BC=AE,

则两个全等三角形的其他对应边为和，

和；其他对应角为和，和。

7、如图，已知△DAB≌△CBA,

对应边:

对应角:

8、如图，已知△AEC≌△ADB,△BEC≌△CDB,

写出它们的对应边和对应角。

全等三角形的判定（一）

【教学目标】：

（1）熟记边角边公理的内容；

（2）能应用边角边公理证明两个三角形全等.

(3) 通过“边角边”公理的运用，提高学生的逻辑思维能力；

(4) 通过观察几何图形，培养学生的识图能力.

（5) 通过几何证明的教学，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯；

(6) 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧.

【教学重点】：学会运用公理证明两个三角形全等.

【教学难点】：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件.

【教学准备】：直尺、

【教学方法】观察、比较、合作、探索.

【教学过程】：

1、公理的发现

（1）画图：

教师点拨，学生边学边画图.

（2）实验

让学生把所画的剪下，放在原三角形上，发现什么情况？（两个三角形重合）这里一定要让学生动手操作.

（3）公理

启发学生发现、总结边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）

作用：是证明两个三角形全等的依据之一.

应用格式：

强调：1、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论.

2、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看.3、平面几何中常要证明角相等和线段相等，其证明常用方法：

证角相等――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等地.

证线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质.

2、公理的应用

（1）讲解例1.学生分析完成，教师注重完成后的总结.

分析：（设问程序）“SAS”的三个条件是什么？已

知条件给出了几个？由图形可以得到几个条件？

解：（略）

（2）讲解例2如图2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：

学生思考、分析，适当点拨，找学生代表口述证明思路让学生在练习本上定出证明，一名学生板书.教师强调证明格式：用大括号写出公理的三个条件，最后写出结论

课后反思：全等三角形的判定（二）

【教学目标】：

（1）熟记角边角公理、角角边推论的内容；

（2）能应用角边角公理及其推论证明两个三角形全等.

（3）通过“角边角”公理及其推论的运用，提高学生的逻辑思维能力；

（4）通过观察几何图形，培养学生的识图能力.

（5）通过几何证明的教学，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯；

（6）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧.

【教学重点】：学会运用角边角公理及其推论证明两个三角形全等.

【教学难点】：SAS公理、ASA公理和AAS推论的综合运用.

【教学准备】：直尺、

【教学方法】观察、比较、合作、探索.

【教学过程】：

1、新课引入显示

这样几个问题让学生议论后，他们的答案或许只是一种感觉“行或不行”.于是教师要引导学生，抓住问题的本质“分别带去了三角形的几个元素？”学生通过观察比较就会容易地得出答案.

2、公理的获得

问：恢复后的三角形和原三角形全等，那全等的条件是不是就是带去的元素呢？

让学生粗略地概括出角边角的公理.然后和学生一起做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证.

公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

强调：

（1）、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论.

（2）、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看.

（3）、公理与前面公理1的区别与联系.以上几点可运用类比公理1的模式进行学习.

3、推论的获得

改变公理2的条件：有两角和其中一角的对边对应相等这样两个三角形是否全等呢？

学生分析讨论，教师巡视，适当参与讨论.

4、公理的应用

（1）讲解例1.学生分析完成，教师注重完成后的总结.

注意区别“对应边和对边”

解：（略）

（2）讲解例2

学生思考、分析，适当点拨，找学生代表口述证明思路。让学生在练习本上定出证明，一名学生板书.教师强调证明格式：用大括号写出公理的三个条件，最后写出结论.

课后反思：角边角定理推论

【教学目标】：

1．会说出三角形全等判定的角边角及其推论。

2．会应用角边角和角角边证明两个三角形全等，进而证明线段相等或角相等。

此外，在帮助学生熟悉角边角的应用中，进一步渗透综合法和分析法的思想方法，从而提高学生演绎推理的条理性和逻辑性。

【引导性材料】

每个学生用硬纸板任意剪一个三角形，如图把三角形纸板撕成两部分。尝试利用其中的一部分能否再剪一个与原三角形全等的三角形？

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】

问题1：从上面的实践中容易发现利用第Ⅱ部分可以剪出与原来三角形全等的三角形。观察、比较第Ⅰ、Ⅱ两部分有什么不同？

问题2：观察第二次剪出来的三角形与原三角形的第Ⅱ部分，

有哪些边和角是重合的？

问题3：从利用第Ⅱ部分可以剪出与原三角形全等的三角形

的事实中，你得到什么启发？

从上面的动手实践中，可以发现两个三角形有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。我们把这个事实作为判定两个三角形全等的另一个条件──角边角。角边角可以简写成“ASA”。

问题4：从利用第Ⅰ部分不能剪出与原三角形全等的三角形的事实中，你又可以得出什么结论？

问题5：把一个三角分成如图中的两部分，尝试用其中的一

部分能否剪出与原三角形全等的三角形？

问题6：利用中的两部分，都不能剪出与原三角形全等的三

角形，你又可以得出什么结论？

从问题4、问题6的探究中，不难发现，两个三角形中，只

有一个元素相等不能判定两个三角形全等；只有两个元素对

应相等也不能判定两个三角形全等。

说明：问题4、5、6似乎与“角边角”的教学无关，但设计这几个问题有助于让学生主动发现判定两个三角形全等需要三个元素对应相等。同时也有助于培养学生思维的批判性。

练一练：1．（由课本第36页练习第2题改编）填空完成下列分析和证明：

已知：如图中，∠1＝∠2，∠C＝∠D。求证：AC＝AD

分析：要证AC＝AD，只要证△____≌△____。由已知条件不

能直接推证这两个三角形全等，还需∠____=∠_____。由已

知∠1＝∠2，∠C＝∠D，可知180°－（____）=180°－（____）,

即∠____=∠_____，于是可以根据“_____”判定这两个三角

形全等。（由学生完成证明）

由于两个三角形中，如果有两个角对应相等，由三角形内角

和定理，可以推出第三对角也相等，由此可得“角边角”的推论：

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”。

2．（由课本练习第1题改编）已知：如图中，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：AC＝AD 证明：（1）∵∠3＝∠4（已知）

∴180°－∠____=180°－∠____，即∠____=∠_____。

在△ABC和△ABD中，∠____=∠_____，____=_____，∠____=∠_____，∴△ABC≌△ABD（ASA）。

（2）∵∠3＝∠1+∠____，∠4=∠2+∠____。

(__________________________________)。

又∵∠1=∠2 ∴∠____=∠____

在△ABC和△ABD中，

∠_____＝∠_____, ∠____=∠_____, ____=_____。

∴△ABC≌△ABD（AAS）。

[例题解析]

例：（即课本例1）

[小结]

1．两个三角形全等的判定依据有：全等三角形定义、

SAS、ASA、AAS。

2．判定两个三角形全等，要有三个元素对应相等。

3，用角边角、角角边判定两个三角形全等时，要十分

注意边和角“对应相等”，而不是“分别相等”，也就是

两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序，比如图

3．6－4中，AD＝BC，DE∥BC，于是∠1＝∠B。在△ABC

和△ADE中，虽有∠A＝∠A，AD＝BC，∠1＝∠B，但是

△ABC与△ADE不全等。

课后反思：三角形全等的判定（三）

【教学目标】：

（1）掌握已知三边画三角形的方法；

（2）掌握边边边公理，能用边边边公理证明两个三角形全等；

（3）会添加较明显的辅助线.

（4）通过尺规作图使学生得到技能的训练；

（5）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力.

（6）在公理的形成过程中渗透：实验观察归纳

（7）通过变式训练培养学生“举一反三”的学习习惯.

【教学重点】：

SSS公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。

【教学难点】：如何根据题目条件和求证的结论，灵活地选择四种判定方法中最适当的方法判定两个三角形全等。

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】：

1、新课引入

问题：有一块三角形玻璃窗户破碎了，要去配一块新的，你最少要对窗框测量哪几个数据？如果你手头没有测量角度的仪器，只有尺子，你能保证新配的玻璃恰好不大不小吗？

这个问题让学生议论后回答，他们的答案或许只是一种感觉。于是教师要引导学生，抓住问题的本质：三角形的三个元素――三条边。

2、公理的获得

问：通过上面问题的分析，满足什么条件的两个三角形全等？

让学生粗略地概括出边边边的公理。然后和学生一起画图做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证。（这里用尺规画图法）

公理：有三边对应相等的两个三角形全等。

强调说明：

（1）、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论。

（2）、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边）

（3）、此公理与前面学过的公理区别与联系

（4）、三角形的稳定性：演示三角形的稳定性与四边形的不稳定性。在演示中，其实可以去掉组成三角形的一根小木条，以显示三角形条件不可减少，这也为下面总结“三角形全等需要有3全的条件”做好了准备，进行了沟通。

（5）说明AAA与SSA不能判定三角形全等。

3、公理的应用

（1）讲解例1。学生分析完成，教师注重完成后的点评。

例1 如图△ABC是一个钢架，AB=ACAD是连接点A与BC中点D的支架。求证：AD ⊥BC

分析：（设问程序）

(1)要证AD⊥BC只要证什么？(2)要证∠1=只要证什么？

(3)要证∠1=∠2只要证什么？

(4)△ABD和△ACD全等的条件具备吗？依据是什么？证明：（略）

课后反思：全等三角形判定定理精讲精练

【教学目标】：全面复习全等三角形及有关性质，掌握三角形全等的判定的四个方法。能综合运用各种判定方法来证明线段和角相等。掌握常规的作辅助线的方法。

【教学重点】：综合运用各种判定方法来证明线段和角相等.

【教学难点】：常规的作辅助线的方法。

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】：引入新课复习前面所学内容：

三角形三边关系定理；

三角形的内角和及推论；

三角形的外角和；

全等三角形的性质；

全等三角形对应元素的寻找方法；

全等三角形的判定（四种方法）。

注意有边边角和角角角是不能用的。

讲解新课

一．全等三角形的判定了用定义，实质上只需要三个条件，注意至少有一个条件是边，就能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等在几何证时中常常不是结论，而通常是通过证明两个三角形全等，证明两条线段相等或两个角相等，这恰是判定两个三角形全等的目的所在

课前练习：

1、下列命题中，不正确的是（）

（A）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

（B）面积相等的两个直角三角形全等

（C）有一边相等的两个等边三角形全等

（D）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。

2、如图，在∆ABC中，AB=AC，D、E、F依次是各边的中点，AD、BE、CF相交于G，那么图中的全等三角形共有（）

（A）5对（B）6对（C）7对（D）8对

3、已知：如图，∆ABC中，∠C=90︒,，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6CM，则∆DEB的周长为（）

（A）4 （B）6 （C）10 （D）以上全不对

二．例题解析

例1 已知：如图，在∆ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC 于E，AD与BE相交于H，且

BH=AC ，求∠HCD 的度数。

A

B

C

D

E H

已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BD

例3如图，在∆ABC 中∠ACB=90︒，∠BAC=30︒，AD 、 CE 分别为∆ABC 的角平分线，AD 、CE 交于点F ，求证：EF=DF

A

B

D

C

E 1

2

课后反思：

【教学目标】：

1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。

2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

【教学重点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

【教学难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】：

引入

复习提问：（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?

二、新授

（一）直角三角形性质定理1

请学生看图形：

1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？

2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。

3、巩固练习：

练习1

（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数

（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。

练习2 如图，在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B相等的角有。

（二）直角三角形性质定理2

1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片

（l）量一量斜边AB的长度

（2）找到斜边的中点，用字母D表示

（3）画出斜边上的中线

（4）量一量斜边上的中线的长度

让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？

三、巩固训练：

练习3 ：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

练习4：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB

（3）图中有哪些等腰三角形？

练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?

四、小结：

这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？

1、直角三角形的两个锐角互余？

五、课后反思：直角三角形的性质（二）

一、【教学目标】：

1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。

4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力。

二、【教学重点】与难点：

直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

三、【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

四、【教学过程】：

（一）引入：

如果你是设计师：（提出问题）

2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？

（通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引发学生的学习兴趣。）

动一动想一想猜一猜（实验操作）

请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。

请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。

通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系？（通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。）（二）新授：

提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）

应用定理：

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC的中点。求证：DE=DF

分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）

练习变式：

1、已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，F是BC

的中点。求证：FD=FE

练习引申：（1）若连接DE，能得出什么结论？

F

E

D

C B

A

E

D

C

B

A （2）若O 是DE 的中点，则MO 与DE 存在什么结论吗？ 上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？

2、已知：∠ABC=∠ADC=90º，E 是AC 中点。你能得到什么结论？ 三）、小结：

通过今天的学习有哪些收获？ 四）、作业：

五）、课后反思：

O

F

E

D

C

B A

【教学目标】

1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法．

【教学重点和难点】

1．重点：“斜边、直角边”公理的掌握．

2．难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用．

【教学手段】：剪好的三角形硬纸片若干个

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】

(一)复习提问

1．三角形全等的判定方法有哪几种？2．三角形按角的分类．

(二)引入新课

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等.

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？

1．可作为预习内容

如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？

研究这个问题，我们先做一个实

验：

把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合

在一起(教具演示)如图3-44，因为

∠ACB=∠A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、

C(C＇)、B＇三点在一条直线上，

因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC ≌Rt△A＇B＇C＇．

3．两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理．

(三)讲解新课

斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．

这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理．

练习1具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇(其中∠C=∠C＇=Rt∠)是否全等？如果全等在()里填写理由，如果不全等在()里打“×”．

(1)AC=A＇C＇，∠A=∠A＇ ( )

(2)AC=A＇C＇， BC=B＇C＇ ( )

(3)∠A=∠A＇，∠B=∠B＇ ( )

(4) AB=A＇B＇，∠B=∠B＇ ( )

(5) AC=A＇C＇， AB=A＇B＇ ( )

2．如图3-46，已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB ≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．

理由：( )( )( )( )

例2 已知：如图3-47，在△ABC和△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别是高，并且AC=A＇C＇，CD=C＇D＇，∠ACB=∠A＇C＇B＇．

求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．

分析：要证明△ABC≌△A＇B＇C＇，还缺条件，或证出∠A=∠A＇，或∠B=∠B＇，或再证明边BC=B＇C＇，观察图形，再看已知中还有哪些条件可以利用，容易发现高CD和C＇D＇可以利用，利用它可以证明△ACD≌△A＇C＇D＇或△BCD≌△B＇C＇D＇从而得到∠A=∠A＇或∠B=∠B＇，BC=B＇C＇．找出书写顺序．

证明：(略)．

小结：由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、LH”

(四)练习练习1、2、3．

(五)作业

(六)板书设计

（七）课后反思直角三角形判定(二)

【教学目标】

1、探索两个直角三角形全等的条件

2、掌握两个直角三角形全等的条件（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

3、了解角平分线的性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，在这个角的平分线上，及其简单应用

【教学重点】直角三角形的判定方法“HL”

【教学难点】直角三角形的判定方法“HL”的说理过程

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】

一、引课

如图，AD是△ABC的高，AD把△ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角全等吗？问题1：图中的两个直角三角形有可能全等吗？什么情况下这两个直角三角形全等？由于学生对等腰三角形有初步的了解，因此教学中，学生根据图形的直观，认为这两个直角三角形全等的可能情况有四种:BD＝CD,∠BAD＝∠CAD；∠B＝∠C；AB＝AC。

问题2：你能说出上述四种可能情况的判定依据吗？

说明：1．从问题2的讨论中，可以使学生主动发现判定两个直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件，同时由于有一个直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只要两个条件。

2．当“AB＝AC”时，从图形的直观可以估计这两个直角三角形全等，这时两个直角三角形对应相等的元素是“边边角”，从而有利于学生形成新的认知的冲突──在上学期中我们知道，已知两边及其一边的对角，画出了两个形状、大小都不同的三角形，因此得到“有两边及其一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等”的结论，那么当其中一边的对角是特殊的直角时，这个结论能成立吗？

二、新授

把两个直角三角形按如图摆放，

已知，在△ABC与△AB′C中，CB⊥AB，CB′⊥AB′，

B C =B′C，请说明∠BAC=∠B′AC。

请学生自行思考解决证明过程。

延长AB′和AB，

归纳出结论：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（板书）

四巩固练习：

课内练习1

作业题：T4 （到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，角平分线上的点到两边的距离相等，等腰三角形的判定的综合应用）

五、变式训练

变式一请学生根据图形出一道证明题，然后不改变条件，让学生探究还可以证明什么？

四、巩固练习课内练习2 、3

五小结

l．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法____“HL”公理。

2．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件占至少有一个条件是一对边相等）。

3、角的内部，到两边距离相等的点在这个角的平分线上。

六、布置作业

七、课后反思

勾股定理【教学目标】：

（1）掌握勾股定理；

（2）学会利用勾股定理进行计算、证明与作图

（3）了解有关勾股定理的历史.

（4）在定理的证明中培养学生的拼图能力；

（5）通过问题的解决，提高学生的运算能力

（6）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（7）通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育．

【教学重点】：勾股定理及其应用

【教学难点】：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】：

1、新课背景知识复习

（1）三角形的三边关系

（2）问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？

2、定理的获得让学生用文字语言将上述问题表述出来．

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

强调说明：

（1）勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边

（2）学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）

3、定理的证明方法

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.

方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,

方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形

以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指

导.最后总结说明

4、定理的应用

例1 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝，AB＝

5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有

∴

又∠2＝∠C

∴CD的长是2.4cm

例 2 如图，△ABC中，AB＝

AC，∠BAC＝，D是BC上任一

点，求证：

证法一：过点A作AE⊥BC于E

则在Rt△ADE中，又∵AB＝AC，∠BAC＝

∴AE＝BE＝CE即

证法二：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F 则DE∥AC，DF∥AB

又∵AB＝AC，∠BAC＝∴EB＝ED，FD＝FC＝AE

在Rt△EBD和Rt△FDC中

在Rt△AED中，

∴

5、课堂小结：

（1）勾股定理的内容

（2）勾股定理的作用

已知直角三角形的两边求第三边已知直角三角形的一边，求另两边的关系

6、课后反思：

勾股定理的逆定理【教学目标】：

（1）理解并会证明勾股定理的逆定理；

（2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；

（3）知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数

（4）通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力；

（5）通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力. （6）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（7）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征．

【教学重点】：勾股定理的逆定理及其应用

【教学难点】：勾股定理的逆定理及其应用

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学过程】：

1、新课背景知识复习：

勾股定理的内容、文字叙述、符号表述、图形

2、逆定理的获得

（1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来

（2）学生自己证明

逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：

那么这个三角形是直角三角形

强调说明：（1）勾股定理及其逆定理的区别

勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理．

（2）判定直角三角形的方法：①角为②垂直③勾股定理的逆定理

2、定理的应用

例1 如果一个三角形的三边长分别为

则这三角形是直角三角形

证明：∵∴∵∠C＝

例2 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，

CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积

解：连结AC

∵∠B＝，AB＝3，BC＝4

∴∴AC＝5

∵

∴∴∠ACD＝

例3 如图，已知：CD⊥AB于D，且有

求证：△ACB为直角三角形证明：∵CD⊥AB

∴

又∵

∴∴△ABC为直角三角形

以上例题，分别由学生先思考，然后回答．师生共同补充完善．（教师做总结）4、课堂小结：

（1）逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边（最大边）

（2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用．

5、布置作业：

6、课后反思：

勾股定理的应用

【教学目标】：

1、准确运用勾股定理及逆定理．

2、经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决．

3、培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用

【教学重点】：掌握勾股定理及其逆定理

【教学难点】：正确运用勾股定理及其逆定理．

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.

【教学准备】：

教师准备：直尺、圆规

【教学过程】：

一、创设情境，激发兴趣

教师道白：在一棵树的l0m 高的D 处有两只猴子，其中一只

猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另一只爬到树顶后直

接跃向池塘A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵

树有多高？

评析：如图所示，其中一只猴子从D →B →A 共走了30m ，

另一只猴子从D →C →A 也共走了30m,且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决．

教师提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题．

解：设DC=xm ，依题意得：BD+BA=DC+CA CA=30－x ，BC=l0＋x 在RtnABC 中

222BC AB AC +=AC' =AB' +BC 即()()222102030x x ++=- 解之x=5 所以树

高为15m.

二、范例学习

如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1） 从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．

教师分析 只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．

解（1） 图1中ＡＢ长度为22．

（2） 图2中△ＡＢＣ、 △ＡＢD 就是所要画的等腰三角形．

例如图，已知CD ＝６m ， AD ＝８m ， ∠ADC ＝９０°， BC ＝２

４m ， ＡＢ＝２６m ．求图中阴影部分的面积．

教师分析：课本图14.2.7中阴影部分的面积是一个不规则的图

形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形，这是方

向，同学们记住，实际上阴S =ABC S ∆－ACD S ∆，现在只要明确怎样

计算ABC S ∆和ACD S ∆了。

解 在Rt △ADC 中，