(完整word版)高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案),推荐文档

1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕ

ϕϕ

=+⎧⎨=⎩为参数）

．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；

（2）直线l 的极坐标方程是

C 的交点为

O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．

解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分

(2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有

设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有

由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2.

2．已知直线l 的参数方程为431x t a

y t =-+⎧⎨=-⎩

（t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极

点，

x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为

26sin 8ρρθ-=-．

（1）求圆M 的直角坐标方程；

（2）若直线l 截圆M

a 的值．

解：（1）∵2

222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2

2

(3)1x y +-=；(5分）

4

31

x t a

y t

=-+

⎧

⎨

=-

⎩

（t为参数）化为普通方程得：34340

x y a

+-+=，

∵直线l截圆M所得弦长

为，且圆M的圆心(0,3)

M到直线l的距

离

|163|19

522

a

d a

-

===⇒=或

37

6

a=，∴

37

6

a=或

9

2

a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

α

α

sin

5

1

cos

5

2

y

x

(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求曲线c的极坐标方程

（2）若直线l的极坐标方程为

ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。

解：(1)∵曲线c的参数方程为

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

α

α

sin

5

1

cos

5

2

y

x

(α为参数)

∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5

将⎩

⎨

⎧

=

=

θ

ρ

θ

ρ

sin

cos

y

x

代入并化简得：

ρ=4cosθ+2sinθ

即曲线c的极坐标方程为

ρ=4cosθ+2sinθ

(2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0

∴圆心c到直线l的距离为d=2

2

=2∴弦长为22

5-=23

4．已知曲线C：

2

21

9

x

y

+=

，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为

sin()

4

π

ρθ-=

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；

（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.

解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨

=⎩（α为参数），

直线l 的直角坐标方程为20x y -+= （2）设(3cos ,sin )P αα，

P 到直线l

的距离

d =

ϕ为锐角，且

1

tan 3ϕ=

）

当cos()1αϕ+=时，P 到直线l

的距离的最大值

max d =5．设经过点(1,0)P -的直线l 交曲线C

：2cos x y θθ=⎧⎪⎨

=⎪⎩

(θ为参数)于A 、B 两点．

（1）写出曲线C 的普通方程；

（2）当直线l 的倾斜角60α=时，求||||PA PB +与||||PA PB ⋅的值．

解：（1）C ：22

143x y +=．

（2）设l

：112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩（t 为参数）

联立得：

254120t t --=

1216

||||||5PA PB t t +=-=

=

，

1212||||||5PA PB t t ⋅==

6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为

(1,2)，点M 的极坐标为(3,)

2π

，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．

（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；

（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB

⋅．

解：（1）直线l

的参数方程为1,12,

2x y t ⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪

⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）

圆的极坐标方程为θρsin 6=. （2

）把1,12,2x y t ⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪

⎩代入22(3)9x y +-=

，得

21)70

t t +--=，

127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12,PA t PB t ==,

∴7.PA PB ⋅=

7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O

为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C

的极坐标方程为

)

4

ρθπ

=+.

（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求

11PA PB

+的值.

解：（1

）由

)

4ρθπ

=+，展开化为

2(cos sin )4(cos sin )2ρρθρθρθρθ=-=-，

将代入,得

22440x y x y +-+-， 所以，圆C 的直角坐标方程是

22

440x y x y +-+-. cos sin x y ρθ

ρθ=⎧⎨=⎩

（2）把直线l

的参数方程2x y ⎧=+

⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩（t 为参数）代入圆的方程并整理，

可得：2

40t +-=. 设A ，B 两点对应的参数分别为12

,t t ，

则

121240t t t t +=-⋅=-<，

所以

12t t -==

∴121212111142

t t PA PB t t t t -+=+===⋅.

8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y α

α=⎧⎨

=⎩（α为参数）．

（1）求曲线

1

C 的标准方程；

（2）若点M 在曲线

1

C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．

解：（1）曲线1C 的标准方程是：22

1

94x y +=

（2）曲线C 的标准方程是：2100x y +-= 设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：

)10

d αϕ=

=--其中

34

cos ,sin 55ϕϕ==

0αϕ∴-=

时，min

d =98

(,)55M

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为1222x t y ⎧

=-+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩（t 为参数），直

线l 与曲线C ：

22

(2)1y x --=交于A ，B 两点. （1）求

AB

的长；

（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P

的极坐标为

34π⎛

⎫ ⎪

⎝

⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.

解：（1）直线l

的参数方程为1222x t y ⎧

=-+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩，（t 为参数），

代入曲线C 的方程得2

4100t t +-=．

设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，

，则124t t +=-，1210t t =-，

所以12||||AB t t =-=

（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，

， 所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为12

22t t +=-，

由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =．

10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=，

（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆42

2

=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ

⎧

=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

，即12112

x t y t ⎧=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩

（2

）把直线12112

x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x 得

2221(1)(1)4,1)202

t t t ++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2

11．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．

解：(1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)，

M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.

∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．

(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32

的圆，易得|RP |的最小值为1.

12．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22

. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．

解： (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2

＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.

直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪

⎧ x ＝0，y ＝1.

故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2

)．