高中数学新课程中数学建模教学设计案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计

（一）

呈现实际情境

（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0. 1）

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为   4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

（二）

正确理解实际问题

请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？

小组合作发现，代表发言。可能结果：

1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。

 2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。

 3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。

4） 学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。（研究数据的两种形式）

5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？追问为什么类似正弦型函数（排除法，关键在于周期性）。

 （学生活动，求解解析式）A=2.5,h=5,T=12, =0;

          .

 　得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程，教师点明：建模过程——选模，求模，验模，应用。有了这个模型，我们大致可以知道哪些情况？学生小组合作讨论回答，如周期、单调性、每时每刻的水深。

　学生计算几个值，最后教师呈现水深关于整点时间的数值表

【师】有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：

问题探究2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？

 （师生一起分析）用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数学问题？水深米

   得出，即，

 （师生齐分析）解三角不等式的方法 

   令学生活动：操作计算器计算， 结合电脑呈现图象

 　　发现：在[0，24]范围内，方程的解一共有4个，从小到大依次记为：　

 　得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？

 　（学生讨论，交流）

可能结果：【生1】货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。

　【生2】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港。

……

 （学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）

　　刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？请看下面问题：

问题探究3：在探究2条件中，若该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

 　　（学生讨论）安全即需要：实际水深安全水深，即：

 　　       ,

 　　讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现）

 　　通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求 P点横坐标即解方程

数形结合，二分法求近似解：

  由图得点P点横坐标在[6，7]，故我们只需要算出6，6.5，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。

时间

设计意图:水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律,得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型.

（三）

建立并完善数学模型

观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表中的数据作出图象，从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如　的函数来刻画，其中是时间，是水深.根据数据可以具体确定A，的值.

（四）

求解并验证数学模型

  从数据和图象可以得出：A=2.5,h=5,T=12, =0;

  由T=

所以，这个港口的水深与时间的关系可以用

     近似描述.

（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），

      所以当y≥5.5时就可以进港.

令=5.5，得 

由函数的周期性易得：

因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.

 (3)设在时刻货船的安全水深为，那么在同一坐标系内作出这两个函数的图象.可以看到在6～7时之间两个函数有一个交点.

    通过计算，为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域。