2020年广西梧州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）

1．（3分）（2020•梧州）6-的倒数是( )

A ．6-

B ．6

C ．16-

D ．16

2．（3分）（2020•梧州）下列计算正确的是( )

A ．33x x -=

B ．2235x x x +=

C ．22(2)4x x =

D ．222()x y x y +=+

3．（3分）（2020•梧州）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是( )

A ．圆柱

B ．圆锥

C ．球

D ．正方体

4．（3分）（2020•梧州）下列函数中，正比例函数是( )

A ．8y x =-

B ．8y x =

C ．28y x =

D ．84y x =-

5．（3分）（2020•梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是( )

A ．30︒

B ．60︒

C ．90︒

D ．120︒

6．（3分）（2020•梧州）直线31y x =+向下平移2个单位，所得直线的解析式是( )

A ．33y x =+

B ．32y x =-

C ．32y x =+

D ．31y x =-

7．（3分）（2020•梧州）正九边形的一个内角的度数是( )

A ．108︒

B ．120︒

C ．135︒

D ．140︒

8．（3分）（2020•梧州）如图，DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8AC =，5BC =，则BEC ∆的周长是( )

A ．12

B ．13

C ．14

D ．15

9．（3分）（2020•梧州）不等式组26020x x +>⎧⎨-⎩

的解集在数轴上表示为( ) A ． B ．

C ．

D ．

10．（3分）（2020•梧州）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是( )

A ．众数是108

B ．中位数是105

C ．平均数是101

D ．方差是93

11．（3分）（2020•梧州）如图，在半径为13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )

A ．26

B ．210

C ．211

D ．4312．（3分）（2020•梧州）已知0m >，关于x 的一元二次方程(1)(2)0x x m +--=的解为1x ，212()x x x <，则下列结论正确的是( )

A ．1212x x <-<<

B ．1212x x -<<<

C ．1212x x -<<<

D ．1212x x <-<<

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13．（3分）（2020•38 ．

14．（3分）（2020•梧州）如图，已知在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、AE 的中点，且2FG cm =，则BC 的长度是 cm ．

15．（3分）（2020•梧州）化简：2282a a a --=+ ． 16．（3分）（2020•梧州）如图，ABCD 中，119ADC ∠=︒，BE DC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，BE 与DF 交于点H ，则BHF ∠= 度．

17．（3分）（2020•梧州）如图，已知半径为1的O 上有三点A 、B 、C ，OC 与AB 交于点D ，85ADO ∠=︒，20CAB ∠=︒，则阴影部分的扇形OAC 面积是 ．

18．（3分）（2020•梧州）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ，则DP 的长是 ．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）

19．（6分）（2020•梧州）计算：1523(1)3

-⨯+÷--． 20．（6分）（2020•梧州）先化简，再求值：32443()2a a a a a

-，其中2a =-． 21．（6分）（2020•梧州）解方程：226122

x x x ++=--． 22．（8分）（2020•梧州）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字1-，

1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M 的横坐标x ；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M 的纵坐标y ．

（1）用列表法或树状图法，列出点(,)M x y 的所有可能结果；

（2）求点(,)M x y 在双曲线2y x

=-上的概率． 23．（8分）（2020•梧州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为BC 上一点，5AB =，1BD =，3tan 4

B =． （1）求AD 的长；

（2）求sin α的值．

24．（10分）（2020•梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件(6x ，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．

（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．

25．（10分）（2020•梧州）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，AF 平分DAC ∠，分别交DC ，BC 的延长线于点E ，F ；连接DF ，过点A 作//AH DF ，分别交BD ，BF 于点G ，H ．

（1）求DE 的长；

（2）求证：1DFC ∠=∠．

y ax x c

=-+过点A，与A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB AC

⊥，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；

（2）直线1

y kx

=+经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD AE

=，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线

11

y k x

=-与A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

2020年广西梧州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）

1．（3分）6-的倒数是( )

A ．6-

B ．6

C ．16-

D ．16

【考点】倒数

【分析】根据倒数的定义，a 的倒数是1(0)a a

≠，据此即可求解． 【解答】解：6-的倒数是：16-． 故选：C ．

2．（3分）下列计算正确的是( )

A ．33x x -=

B ．2235x x x +=

C ．22(2)4x x =

D ．222()x y x y +=+

【考点】幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；合并同类项

【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．

【解答】解：A 、32x x x -=，故此选项错误；

B 、235x x x +=，故此选项错误；

C 、22(2)4x x =，正确；

D 、222()2x y x xy y +=++，故此选项错误；

故选：C ．

3．（3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是( )

A ．圆柱

B ．圆锥

C ．球

D ．正方体

【考点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体

【分析】根据几何体的主视图和左视图都是矩形，得出几何体是柱体，再根据俯视图为圆，易判断该几何体是一个圆柱．

【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体．

故选：A ．

4．（3分）下列函数中，正比例函数是( )

A ．8y x =-

B ．8y x =

C ．28y x =

D ．84y x =-

【考点】正比例函数的定义

【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答案．

【解答】解：A 、8y x =-，是正比例函数，符合题意；

B 、8y x

=，是反比例函数，不合题意； C 、28y x =，是二次函数，不合题意；

D 、84y x =-，是一次函数，不合题意；

故选：A ．

5．（3分）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是( )

A ．30︒

B ．60︒

C ．90︒

D ．120︒

【考点】钟面角

【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30︒即可解答．

【解答】解：钟面分成12个大格，每格的度数为30︒，

∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60︒． 故选：B ．

6．（3分）直线31y x =+向下平移2个单位，所得直线的解析式是( )

A ．33y x =+

B ．32y x =-

C ．32y x =+

D ．31y x =-

【考点】一次函数图象与几何变换

【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．

【解答】解：直线31y x =+向下平移2个单位，所得直线的解析式是：31231y x x =+-=-． 故选：D ．

A．108︒B．120︒C．135︒D．140︒

【考点】多边形内角与外角

【分析】先根据多边形内角和定理：180(2)

n

︒-求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．

【解答】解：该正九边形内角和180(92)1260

=︒⨯-=︒，

则每个内角的度数

1260

140

9

︒

==︒．

故选：D．

8．（3分）如图，DE是ABC

∆的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且8

AC=，5

BC=，则BEC

∆的周长是()

A．12B．13C．14D．15

【考点】线段垂直平分线的性质

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE BE

=，进而得出答案．

【解答】解：DE是ABC

∆的边AB的垂直平分线，

AE BE

∴=，

8

AC=，5

BC=，

BEC

∴∆的周长是：13

BE EC BC AE EC BC AC BC

++=++=+=．

故选：B．

9．（3分）不等式组

260

20

x

x

+>

⎧

⎨

-

⎩

的解集在数轴上表示为()

A．B．

C．D．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．

【解答】解：26020x x +>⎧⎨-⎩

①②， 由①得：3x >-；

由②得：2x ，

∴不等式组的解集为32x -<，

表示在数轴上，如图所示：

故选：C ．

10．（3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是( )

A ．众数是108

B ．中位数是105

C ．平均数是101

D ．方差是93

【考点】众数；算术平均数；中位数；方差

【分析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中位数、平均数和方差，即可得出结论．

【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110， ∴众数是108，中位数为1021081052

+=，平均数为82961021081081101016+++++=， 方差为2222221[(82101)(96101)(102101)(108101)(108101)(110101)]94.3936

-+-+-+-+-+-≈≠； 故选：D ．

11．（3分）如图，在半径为13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )

A ．26

B ．210

C ．211

D ．43

【考点】垂径定理；勾股定理

【分析】过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，由垂径定理得出DF CF =，132AG BG AB ===，得出2EG AG AE =-=，由勾股定理得出222OG OB BG =-=， 证出EOG ∆是等腰直角三角形，得出45OEG ∠=︒，222OE OG ==，求出30OEF ∠=︒，

由直角三角形的性质得出122

OF OE ==，由勾股定理得出11DF ==，即可得出答案． 【解答】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，如图所示： 则DF CF =，132

AG BG AB ==

=， 2EG AG AE ∴=-=， 在Rt BOG ∆中，221392OG OB BG =-=-=，

EG OG ∴=，

EOG ∴∆是等腰直角三角形，

45OEG ∴∠=︒，222OE OG ==，

75DEB ∠=︒，

30OEF ∴∠=︒，

122

OF OE ∴==， 在Rt ODF ∆中，2213211DF OD OF =-=-=，

2211CD DF ∴==；

故选：C ．

12．（3分）已知0m >，关于x 的一元二次方程(1)(2)0x x m +--=的解为1x ，212()x x x <，则下列结论正确的是( )

B ．1212x x -<<<

C ．1212x x -<<<

D ．1212x x <-<<

【考点】抛物线与x 轴的交点；根与系数的关系；根的判别式

【分析】可以将关于x 的方程(1)(2)0x x m +--=的解为1x ，2x 看作是二次函数(1)(2)m x x =+-与x 轴交点的横坐标，而与x 轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出1x 与2x ，当函数值0m >时，就是抛物线位于x 轴上方的部分所对应的x 的取值

范围，再根据12x x <，做出判断．

【解答】解：关于x 的一元二次方程(1)(2)0x x m +--=的解为1x ，2x ，可以看作二次函数(1)(2)m x x =+-与x 轴交点的横坐标，

二次函数(1)(2)m x x =+-与x 轴交点坐标为(1,0)-，(2,0)，如图： 当0m >时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时1x <-，或2x >； 又12x x <

11x ∴=-，22x =；

1212x x ∴<-<<，

故选：A ．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13．（338 2 ．

【考点】立方根

【分析】根据立方根的定义即可求解．

【解答】解：328= ∴382=

故答案为：2．

14．（3分）如图，已知在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、

AE 的中点，且2FG cm =，则BC 的长度是 8 cm ．

【考点】三角形中位线定理

【分析】利用三角形中位线定理求得12FG DE =，12

DE BC =． 【解答】解：如图，ADE ∆中，F 、G 分别是AD 、AE 的中点， 24DE FG cm ∴==，

D ，

E 分别是AB ，AC 的中点，

DE ∴是ABC ∆的中位线，

28BC DE cm ∴==，

故答案为：8．

15．（3分）化简：2282

a a a --=+ 4a - ． 【考点】分式的加减法

【分析】直接将分式的分子分解因式，进而约分得出答案．

【解答】解：原式22(4)2(2)(2)22

a a a a a a a -+-=-=-++ 24a a =--

4a =-．

故答案为：4a -．

16．（3分）如图，ABCD 中，119ADC ∠=︒，BE DC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，BE 与DF 交于点H ，则BHF ∠= 61 度．

【考点】平行四边形的性质

【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．

【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，

//AD BC ∴，//DC AB ，

119ADC ∠=︒，DF BC ⊥，

90ADF ∴∠=︒，

则29EDH ∠=︒，

BE DC ⊥，

90DEH ∴∠=︒，

902961DHE BHF ∴∠=∠=︒-︒=︒．

故答案为：61．

17．（3分）如图，已知半径为1的O 上有三点A 、B 、C ，

OC 与AB 交于点D ，85ADO ∠=︒，20CAB ∠=︒，则阴影部分的扇形OAC 面积是 536

π ．

【考点】圆周角定理；扇形面积的计算

【分析】根据三角形外角的性质得到65C ADO CAB ∠=∠-∠=︒，根据等腰三角形的性质得到50AOC ∠=︒，由扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：85ADO ∠=︒，20CAB ∠=︒，

65C ADO CAB ∴∠=∠-∠=︒，

OA OC =，

65OAC C ∴∠=∠=︒， 50AOC ∴∠=︒，

∴阴影部分的扇形OAC 面积501536036

ππ⨯==， 故答案为：536

π． 18．（3分）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ，则DP 的长是 31 ．

【考点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；菱形的性质

【分析】连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出2CD AB ==，60BCD BAD ∠=∠=︒，

1302

ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒，OA OC =，AC BD ⊥，由直角三角形的性质求出112

OB AB ==，33OA OB ==，得出23AC =，由旋转的性质得：2AE AB ==，60EAG BAD ∠=∠=︒，得出232CE AC AE =-=，证出90CPE ∠=︒，由直角三角形的性质得出1312

PE CE ==，333PC PE == 【解答】解：连接BD 交AC 于O ，如图所示：

四边形ABCD 是菱形，

2CD AB ∴==，60BCD BAD ∠=∠=︒，1302

ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒，OA OC =，AC BD ⊥，

112

OB AB ∴==， 33OA OB ∴==

23AC ∴=

由旋转的性质得：2AE AB ==，60EAG BAD ∠=∠=︒，

232CE AC AE ∴=-=，

四边形AEFG 是菱形，

//EF AG ∴，

60CEP EAG ∴∠=∠=︒，

90CEP ACD ∴∠+∠=︒，

90CPE ∴∠=︒，

1312

PE CE ∴=，333PC PE =

2(33)31DP CD PC ∴=-=--=-； 故答案为：31-．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）

19．（6分）计算：1523(1)3

-⨯+÷--． 【考点】有理数的混合运算

【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式1011=-++ 8=-．

20．（6分）先化简，再求值：32443()2a a a a a

-，其中2a =-． 【考点】分式的化简求值

【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：原式65

432a a a a

=- 222a a =-

2a =-，

当2a =-时，原式4=-．

21．（6分）解方程：226122

x x x ++=--． 【考点】解分式方程

【分析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．

【解答】解：方程两边同乘以(2)x -得：2226x x ++-=，

则260x x +-=，

(2)(3)0x x -+=，

解得：12x =，23x =-，

检验：当2x =时，20x -=，故2x =不是方程的根，

3x =-是分式方程的解．

22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字1-，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M 的横坐标x ；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M 的纵坐标y ．

（1）用列表法或树状图法，列出点(,)M x y 的所有可能结果；

（2）求点(,)M x y 在双曲线2y x =-上的概率． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法

【分析】根据摸秋规则，可借助树状图表示所有的情况数，然后再根据坐标，找出坐标满足2y x

=-的点的个数，由概率公式可求． 【解答】解：（1）用树状图表示为：

点(,)M x y 的所有可能结果；(1-，1)(1-，2)(1，1)(1-，2)(2，1)(2-，1)共六种情况．

（2）在点M 的六种情况中，只有(1-，2)(2，1)-两种在双曲线2y x

=-

上， 2163P ∴==； 因此，点(,)M x y 在双曲线2y x =-上的概率为13

．

23．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为BC 上一点，5AB =，1BD =，3tan 4

B =

． （1）求AD 的长；

（2）求sin α的值．

【考点】解直角三角形

【分析】（1）根据3tan 4B =，可设3AC x =，得4BC x =，再由勾股定理列出x 的方程求得x ，进而由勾股定理求AD ；

（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ，解直角三角形求得BE 与DE ，进而求得结果．

【解答】解：（1）3tan 4B =，可设3AC x =，得4BC x =， 222AC BC AB +=，

222(3)(4)5x x ∴+=，

解得，1x =-（舍去），或1x =，

3AC ∴=，4BC =，

1BD =，

3CD ∴=，

2232AD CD AC ∴=+=；

（2）过点作DE AB ⊥于点E ，

3tan 4

B =，可设3DE y =，则4BE y =， 222AE DE BD +=，

222(3)(4)1y y ∴+=，

解得，15y =-（舍)，或15

y =， ∴35

DE =， 1sin 210DE AD α∴=

=． 24．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售

单价统一为x 元/件(6x ，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．

（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用

【分析】（1）根据总利润=每件利润⨯销售量，列出函数关系式，

（2）由（1）的关系式，即240y ，结合二次函数的性质即可求x 的取值范围

（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率=（售价-进价）÷售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．

【解答】解：

由题意

（1）26(5)(1005)102108000.5

x y x x x -=--⨯=-+- 故y 与x 的函数关系式为：210210800y x x =-+-

（2）要使当天利润不低于240元，则240y ，

221021080010(10.5)302.5240y x x x ∴=-+-=--+=

解得，18x =，213x =

100-<，抛物线的开口向下，

∴当天销售单价所在的范围为813x

（3）每件文具利润不超过80% ∴50.8x x -，得9x ∴文具的销售单价为69x ，

由（1）得221021080010(10.5)302.5y x x x =-+-=--+

对称轴为10.5x =

69x ∴在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大

∴当9x =时，取得最大值，此时210(910.5)302.5280y =--+= 即每件文具售价为9元时，最大利润为280元

25．（10分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，AF 平分DAC ∠，分别交DC ，BC 的延长线于点E ，F ；连接DF ，过点A 作//AH DF ，分别交BD ，BF 于点G ，H ．

（1）求DE 的长；

（2）求证：1DFC ∠=∠．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质

【分析】（1）由//AD CF ，AF 平分DAC ∠，可得FAC AFC ∠=∠，得出5AC CF ==，可证出ADE FCE ∆∆∽，则AD DE CF CE

=，可求出DE 长； （2）由ADG HBG ∆∆∽，可求出DG ，则

DE DC DG DB =，可得//EG BC ，则1AHC ∠=∠，根据//DF AH ，可得AHC DFC ∠=∠，结论得证．

【解答】（1）解：矩形ABCD 中，//AD CF ，

DAF ACF ∴∠=∠， AF 平分DAC ∠，

DAF CAF ∴∠=∠，

FAC AFC ∴∠=∠，

AC CF ∴=，

4AB =，3BC =， ∴2222345AC AB BC =++=，

5CF ∴=，

//AD CF ，

ADE FCE ∴∆∆∽， ∴AD DE CF CE

=，

设DE x =，则354x x

=-， 解得32x =

∴32

DE =； （2）//AD FH ，//AF DH ，

∴四边形ADFH 是平行四边形，

3AD FH ∴==，

2CH ∴=，5BH =，

//AD BH ，

ADG HBG ∴∆∆∽， ∴

DG AD BG BH =， ∴355

DG DG =-， 158DG ∴=

， 32DE =， ∴45

DE DC DG DB ==， //EG BC ∴，

1AHC ∴∠=∠，

又//DF AH ，

AHC DFC ∴∠=∠，

1DFC ∠=∠．

26．（12分）如图，已知A 的圆心为点(3,0)，抛物线2376y ax x c =-+过点A ，与A 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ，且AB AC ⊥，B 、C 两点的纵坐标分别是2、1．

（1）请直接写出点B 的坐标，并求a 、c 的值；

（2）直线1y kx =+经过点B ，与x 轴交于点D ．点E （与点D 不重合）在该直线上，且AD AE =，请判断点E 是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线11y k x =-与A 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

【考点】二次函数综合题

【分析】（1）证明RtBRA △Rt ASC(AAS)≅∆，即可求解；

（2）点E 在直线BD 上，则设E 的坐标为1(,1)2

x x +，由AD AE =，即可求解； （3）分当切点在x 轴下方、切点在x 轴上方两种情况，分别求解即可．

【解答】解：（1）过点B 、C 分别作x 轴的垂线交于点R 、S ， 90BAR RAB ∠+∠=︒，90RAB CAS ∠+∠=︒，

RAB CAR ∴∠=∠，又AB AC =，

RtBRA ∴△Rt ASC(AAS)≅∆，

2AS BR ∴==，1AR CS ==，

故点B 、C 的坐标分别为(2,2)、(5,1)，

将点B 、C 坐标代入抛物线2376

y ax x c =-

+并解得： 56a =，11c =， 故抛物线的表达式为：25371166

y x x =-+； （2）将点B 坐标代入1y kx =+并解得：112

y x =+，则点(2,0)D -， 点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(3,0)、(2,2)、(5,1)、(2,0)-， 则5AB =5AD =，

点E 在直线BD 上，则设E 的坐标为1(,1)2

x x +， AD AE =，则22215(3)(1)2

x x =-++， 解得：2x =-或6（舍去2)-，

故点(6,4)E ，

把6x =代入253711466

y x x =-+=， 故点E 在抛物线上； （3）①当切点在x 轴下方时，

设直线11y k x =-与A 相切于点H ，直线与x 轴、y 轴分别交于点K 、(0,1)G -，连接GA ，

5AH AB ==10GA =

90AHK KOG ∠=∠=︒，HKA HKA ∠=∠，KOG KHA ∴∆∆∽， ∴KO OG KH HA =25(3)5

KO =+- 解得：2KO =或12

-（舍去1)2-， 故点(2,0)K -，

把点K 、G 坐标代入11y k x =-并解得：

直线的表达式为：112

y x =--； ②当切点在x 轴上方时，

直线的表达式为：21y x =-；

故满足条件的直线解析式为：112

y x =--或21y x =-．